指向邏輯推理能力培養的分式方程變式訓練

在新課標背景下，教師要重視培養學生的邏輯推理能力。分式方程是初中數學學科的重要內容，教師可結合分式方程知識的特點，構建“以思導學”的教學模式，并探究如何通過結構性、層次性、啟發性的變式訓練，有效培養學生的邏輯推理能力。

一、邏輯推理能力培養與分式方程教學的關聯

在新課標背景下，教師要讓學生在真實問題情境中提升數學思維的嚴密性和連貫性。在分式方程學習中，學生在面對分母含有未知數的方程時，需要通過邏輯分析區分其與整式方程的本質差異。在解方程的過程中，學生在去分母時需要有效運用等式的性質進行等價轉換，并運用逆向思維分析轉換過程的邏輯正確性。正向運算和逆向驗證有機結合的思維訓練符合數學證明的基本要求，能讓學生在解方程過程中自然形成因果推理的思維習慣。

分式方程課程中的邏輯推理要素具有多種特征。第一，在概念理解層面，邏輯推理的分析性較為明顯。學生需要通過對比分析建立概念網絡，了解分式方程與分式、整式方程的外延差異，理解分式方程的內涵。在對比分析中，學生需要運用歸納推理的方法提煉數學對象的本質屬性，并通過演繹推理的方法明確概念間的邏輯關系。第二，在解法探究層面，邏輯推理的嚴謹性較為明顯。分式方程的知識與其他知識存在密切的聯系，學生在學習本課知識時，需要結合多個方面的內容，進行嚴謹的邏輯推理。第三，在應用建模層面，邏輯推理的系統性較為明顯。學生需要將文字語言轉化為數學符號，并在假設驗證的過程中，先通過合情推理分析變量間的關系，再通過演繹推理構建方程模型，最后通過邏輯檢驗確認模型的適切性。這種完整的問題解決過程，能使學生將數學建模思維與邏輯推理要素緊密聯系起來[1]

二、開展分式方程變式訓練的基本原則

（一）以結構性變式夯實認知基礎

結構性變式設計強調在維持數學問題本質屬性的前提下，對非本質特征進行多維度的調整。在分式方程知識教學中，這種變式設計具體表現為系數符號的交替設置、分母結構的組合變化、未知數位置的策略性調整等。例如，教師可將原來的單項式分母改為多項式分母，以此引導學生發現不同代數結構下通分的共性規律。這類變式訓練能夠讓學生突破思維的限制，結合表面特征的動態變化建立穩定的概念圖式，培養學生透過現象看本質的能力[2]。

（二）以層次性遞進搭建思維階梯

在開展分式方程變式訓練時，教師要遵循層次性遞進原則，構建難度合理的問題鏈。這種遞進性體現在知識載體的復雜性、思維操作的抽象性、問題情境的真實性三個方面。在初級階段，教師可設計純數學情境的基礎變式題，聚焦分式方程的標準解法，通過逐步增加方程項數和提升分母復雜度，幫助學生掌握解題的基本過程。在中級階段，教師應設計半結構化應用題，引入現實情景與數學模型。例如，教師可設計需要篩選有效解的工程問題，讓學生經歷實際問題數學化、數學問題現實化的雙向思維過程。在高級階段，教師要整合多個知識點，設計綜合變式問題。比如，教師可將分式方程與函數圖像、不等式組等知識相結合，設計需要進行多步推理的復合型問題。教師遵循層次性遞進原則，設計難度螺旋上升的變式題目，能有效激發學生的探究動力，培養學生的邏輯推理能力。

（三）以啟發性引導激發推理興趣

在分式方程知識教學中，當學生具備一定的解題經驗后，教師要遵循啟發性引導原則，設計啟發性變式問題，以此幫助學生突破思維瓶頸，激發學生的推理興趣。啟發性變式問題能幫助學生突破程式化訓練的限制，讓學生進行自我反思：為何要選擇這種解題策略？增根產生的本質是什么？不同解法之間存在怎樣的關系？在這樣的反思性實踐中，學生能充分掌握分式方程的解法，形成基于邏輯關系的數學思維方式[3]

三、分式方程變式訓練開展策略

（一）設計方程結構變式，夯實結構認知基礎

在分式方程知識教學中，教師設計方程結構變式能有效培養學生的分類推理能力，加深學生對分式結構的認識。在培養學生邏輯推理能力的過程中，教師要設計多樣的分式方程，讓學生歸納解法的共性，培養分類討論意識。

1.多樣的方程設計

在開展分式方程變式訓練活動時，教師要精心設計結構不同的分式方程，如 ， 等，以此讓學生了解方程結構的多樣性。

2.歸納解法的共性

在學生解結構不同的方程的過程中，教師要引導學生仔細觀察并深入分析不同方程在解法上的相同點與不同點，從而讓學生自主歸納出通用的解法。例如，在學生解 這三個方程時，教師可引導學生仔細分析，讓其明白雖然這三個方程結構不同，但在求解時，我們都可通過“去分母”將其轉化為整式方程來求解。

3.培養分類討論意識

為了培養學生的分類討論意識，提升學生邏輯思維的嚴謹性，教師要引導學生對結構不同的方程進行分析，使學生養成依據方程結構特點進行分類討論的習慣。例如，在學生完成上述案例的求解后，

教師可引導學生進行全面、深入的總結與分析，讓學生明白 個方程的求解過程的差異，學會根據方程的結構特點來選擇不同的求解方法，從而培養學生的分類討論意識。

（二）探索多樣解法，提升推理能力

在夯實學生結構認知基礎的基礎上，教師可引導學生探索多樣的解法，以此培養學生的邏輯推理能力。例如，在解 x+3+x+1=4這一變式方程時，我們既可采用直接通分求解的常規方法，也可通過設輔助未知數的方法（如設 ）對原方程進行轉化，進而求出方程的解。前者體現了代數運算的規范性，后者則展現了換元策略的靈活性。在對比分析兩種解法的邏輯鏈條后，學生能自主發現，直接通分求解的方法適用于項數較少的情況，而設輔助未知數的方法則更適用于項數較多的分式方程。這樣的教學能培養學生根據方程特征選擇最優解法的能力，提升學生的邏輯推理能力[4]

（三）問題變式設計，培養建模能力

在開展分式方程變式訓練時，教師需要創設基于真實問題情境的變式問題，以此培養學生的建模能力。以工程效率問題的講解為例，教師可從實際施工場景切入，設計生活化問題：某市有兩條受損路需要修復，分別由甲、乙兩個修路速度不同的施工隊完成。如何結合分式方程量化分析修路速度差異對工期的影響？通過引入這樣的生活化問題，教師能讓學生了解數學建模的價值，激發學生的探究動力。在此基礎上，教師可展示原題：甲隊單獨修400米所用時間是乙隊修600米所用時間的1.5倍，且甲隊每天比乙隊少修10米，求兩隊的修路速度。在解決此問題時，我們要先根據明確的條件關系寫出分式方程，如設乙隊修路速度為 x 米/天，則甲隊修路速度為 （x-10） 米／天，進而根據時間關系可得方程： ，在解題過程中，教師要讓學生從題目中提取數學要素，經歷“問題 $$ 符號 $$ 方程”的建模過程。在開展相應的變式教學時，教師可將原題調整為逆向結構的問題：已知甲隊修路速度提升 20% 后，完成400米所需時間比乙隊原本修600米所需時間少2天，且甲隊原本每天比乙隊少修10米，求兩隊原來的修路速度。此變式問題對相應的條件進行了重構，能促使學生重新梳理變量之間的邏輯關系。具體解題思路如下：設乙隊原修路速度為 x 米／天，則甲隊原修路速度為 （x-10） 米/天。根據問題條件可得，甲隊修路速度提升后為 1.2（x-10） 米／天，此時甲隊修400米所需時間比乙隊修600米的時間少2天，由此可建立方程。這樣的逆向結構問題能培養學生由結果反推條件的能力。之后，教師可引導學生對比原題與變式問題中修路速度變化的呈現方式，并讓學生通過試值法檢驗解的合理性，以此培養學生的數據敏感性。在此基礎上，教師可進行變式拓展教學，引入“多隊協作”“資源限制”等復雜場景，以此推動學生建模能力的發展。

（四）借助錯例辨析，促進邏輯推理

在分式方程教學中，教師運用錯例辨析策略能從批判的維度培養學生的邏輯推理能力。例如，對于學生在解方程 時普遍忽略檢驗增根的問題，教師可呈現典型錯誤解法，引導學生分析解題步驟。

對于=1 這一方程，學生常見的錯誤解法（21如下：先兩邊同時乘以 （x-3） ，得到 ，然后對式子進行去括號運算，最終得到 x=-1 。在這個解題過程中，學生采用交叉相乘的方式求解，表面上看符合解方程的方法，但忽略了分式方程中分母不能為0這一重要條件，這是學生在解分式方程時常犯的錯誤。深入分析學生的整個解題過程我們能發現，學生在一開始面對原方程時，并沒有對分母進行分析，而是直接進行交叉相乘等運算，這樣很容易出現錯誤。對此，教師要引導學生思考相關問題，讓學生了解在去分母之前應分析分母不能為0這一條件。在這樣的引導下，學生便能充分意識到自己存在的問題。在此基礎上，教師需要找到學生的邏輯斷裂點，引導學生代入解進行檢驗，分析結果是否都是正確的。

在檢驗中我們沒有發現增根，對此，教師可引導學生思考問題：為何教材強調必須檢驗？教師可對原題進行調整，設計變式問題，讓學生解方程x-2=x+2+x-2。學生在解答時，可先兩邊同時乘以 （x+2）（x-2） ，得到 x+2=3（x-2）+2x（x+2） ，然后展開整理后得到 x²+3x-4=0 ，最終求得 _x=1 或者 x=-4 。此時，部分學生沒有對結果進行檢驗，就直接給出答案。

針對這一問題，教師可要求學生進行檢驗分析。通過檢驗分析我們能發現，當 _x=1 時，原方程分母x^-2=-1≠0. ， x+2=3≠0 ，且將結果代入原方程后，方程式成立； x=-4 時，原方程分母 x-2=-6≠0 ， x+2= -2≠0 ，且將結果代入原方程后，方程式也成立。此時，學生則會提出困惑：為何兩次檢驗均未出現增根？檢驗是否多余？

基于此，教師可引導學生進行深度的邏輯分析，讓學生明白去分母的操作可能會擴大解集，引入使

公分母為零的根，如果我們不進行檢驗，就可能會出現錯誤。那何時才會產生增根呢？對此，教師可給出相應的例子（如方程 ，讓學生明1

白當去分母后所得整式方程的解恰好使某個分母為零時，才會出現增根。

教師要讓學生明白檢驗的數學本質，了解去分母操作是在“假設分母不為零”的前提下進行的。這一假設可能會使分式方程在去分母后出現定義域擴大的情況。為此，我們需要對求得的結果進行檢驗，以此排除通過去分母操作得到的整式方程中不屬于原方程定義域的解，確保兩者的解集是相同的。這樣的教學能使學生意識到檢驗并非機械的流程，而是必要的驗證過程，促進學生邏輯推理能力的發展。

教師要通過錯誤重現，引導學生充分認識到檢驗步驟的必要性，讓學生接受系統的錯例變式訓練，同時在講解檢驗步驟的過程中讓學生明確去分母操作可能會引入非原方程的解，養成嚴謹的思維習慣，培養數學反思能力[5]

結語

總而言之，教師通過開展分式方程變式訓練，能有效培養學生的邏輯推理能力。在分式方程知識教學中，教師可通過方程結構辨析、方程解法分析、建模優化及錯例反思等策略，培養學生的邏輯推理能力，讓學生在動態問題解決過程中發展分類討論思維、因果推理思維與批判性思維。

［參考文獻]

[1]章飛，顧繼玲，馬復，等.促進學生結構化學習能力發展的初中數學教科書設計：以北師大版初中數學新教材為例［J］.天津師范大學學報（基礎教育版），2025，26（1）：7-12.

[2］李武裝，司樂凡.數學“教學評一體化”教學模式分析：以分式方程為例［J］.安陽師范學院學報，2024，26（5）：154-156.

[3］譚琳，張永勝，陳如仙，等.數學學科核心素養導向下的教育數學實證研究［J］.數學教育學報，2024，33（1）：21-27.

[4］倪軍.初中數學整體化思維的挑戰與對策：邁向深度理解之路[J].數學通報，2024，63（1）：20-23.

[5］萬志建，陳鋒.基于“三觀”結構情境的立體認知教學實踐：以“用一元二次方程解決實際問題”教學為例［J］.教育科學論壇，2023（29）：33-36.