對一道高三聯考橢圓試題的探究

1 試題呈現

題目 （2024年安徽省六校高三開學考試試題）已知橢圓 C （ 的左、右頂點分別為 ^A，B，R 是橢圓 C 上異于 A，B 的動點，滿足 ，當 R 為上頂點時， ΔABR 的面積為8.

（1）求橢圓 C 的標準方程;

（2）如圖1，過點 M（Σ-Σ6 ，-2）的直線與橢圓 C 交于不同的兩點 δD，E（δDδ E 與 ^A，B 不重合），直線 AD ，AE 分別與直線

圖1

x=-6 交于 P，Q 兩點，求 ∣MP∣?∣MQ∣ 的值分析 第（1）問考查橢圓基本知識，易得橢圓

C 的標準方程為

第（2）問考查綜合知識，重點考查直線與橢圓的位置關系，以及運用代數方法研究幾何問題的基本思想，體現坐標法在解析幾何問題中的強大作用，考查邏輯推理和數學運算等素養.第（2）問結論優美，具有很高的探究價值.本文對第（2）問進行深入的探究，以供參考.

2 試題第（2）問求解探究

解法1 易知直線 DE 的斜率存在，設斜率為 k 直線 DE 的方程為 .設 D（x₁，y₁） ，E（Φ_X2，y₂） ，聯立 消去 y 并整理得（4k²+1）x²+（48k²-16k）x+144k²-96k=0 由韋達定理得 ，直線 AD 的方程為

令 x=- 6 ，解得 所以丨 MP∣= .

同理得 所以 9，所以 ∣MP∣?∣MQ∣ 的值為9.

評注解法1體現了坐標法研究解析幾何問題的一般流程，同時也加強了依據圖形分析點、線運動的規律的能力.

解法2 設 D（4cosα，2sinα），E（4cosβ，2sinβ）， 則直線 AD 的方程為 （2 .令 x=-6 得 ，則 同理 又因為M，D，E三點共線，則 sina +1 ，展開得 2sin（α-β）+3（sinα-sinβ）-2（cosα- cosβ）=0 ：利用和差化積公式與二倍角公式得 =0，展開得5cos 2cos ，即5 tan 所以 tan =9，故丨MPI·I MQI的值為9.

評注利用橢圓的參數方程，簡潔地表示點 P 和 Q 的坐標，避免了直線與曲線聯立的繁瑣過程，只需要熟悉三角恒等變化即可解題

解法3 設不過點 A（-4，0） 的直線 DE 的方程為 m（x+4）+ny=1 ，因為直線 DE 過點 M（--6 ，-2），則有2m +2n=-1.將橢圓C方程6

1變為 （x+4-4）²+4y²=16 ，展開整理得 （x+4）² -8（x+4）+4y²=0 ，進一步得 （x+4）²-8（x+ 4） [m（x+4）+ny]+4y²=0 ，即 （1-8m）（x+4）² -8ny（x+4）+4y²=0. （20令 ，代人上式得 4k²-8nk+1-8m= 0.設直線 ^AD，AE 的斜率分別為 k₁，k₂ ，則 k₁，k₂ 是這方程的兩個根，有 ，直線AD：y=k₁（x+4） ，令 x=-6 得 y_P=-2k₁ ，同理y_Q=-2k₂ ，所以 2m-2n+1）=9 ，所以 ∣MP∣?∣MQ∣ 的值為9.

評注解法3巧妙地構建直線 AD 和 AE 的斜率滿足的一元二次方程，構造兩個斜率的關系，結合_{M，D，E} 三點共線，代入化簡求得結果，運算量大大地降低了.

3試題推廣

在原題中，觀察到點 M 在直線 x=-6 上，自然要問，結論是否只對此點成立，是否具有一般性呢？經過探究，有以下結論

結論1 已知橢圓 的左、右頂點分別為 A，B ，過點 M（δ-6，n） 的直線 l 與橢圓 c 交于不同的兩點 D，E（D，E 與 A，B 不重合），直線 ^AD，AE 分別與直線 x=-6 交于 P，Q 兩點，則 ∣MP∣?∣MQ∣= n²+5

證明 設 D（4cosα，2sinα），E（4cosβ，2sinβ） 則直線 AD 的方程為 .令 x=-6 得 ，則

又因 _M，D，E 三點共線，則 2sinβ-n，展開得2sin（α-β）+3（sinα -sinβ） + 利用和差化積公式與二倍角公式得 =0，展開得 ncos ，即 所以 ntan tan β|=n2 +5，所以| MPI·1 MQI=n²+5.

由結論1可以看出，只要直線1所過定點在直線x=-6 上，則 ∣MP∣?∣MQ∣ 的值均為定值.一個自然的問題就是直線 x=-6 能不能改為任意直線，經過探究，有以下結論.

結論2 已知橢圓 的左、右頂點分別為 A，B ，過點 M（m，n） 的直線 l 與橢圓 c 交于不同的兩點 D，E（D，E 與 A，B 不重合），直線 _AD，AE 分別與直線 交于 P，Q 兩點，則 ∣MP∣?∣MQ∣=

證明 設 D（4cosα，2sinα），E（4cosβ，2sinβ） 0則直線AD的方程為y=2 .令 x=m 得 ，則 ，同理得」 MQ∣=

又因為 _M，D，E 三點共線，則 2sinβ-n，展開得4sin（α -β）-m（sina-sinβ）+ ，利用和差化積及二倍角公式 ，展開得 ，即 4-m+（m + 4） tan 所以 1，所以

通過結論1和結論2的探究，可將結論推廣到任意的橢圓中，即結論3.

結論3 已知橢圓 的左、右頂點分別為 _A，B ，過點 M（m，n） 的直線 ξ_l 與橢圓 c 交于不同的兩點 D，E（D，E 與 A，B 不重合），直線 ^AD，AE 分別與直線 x=m 交于 P，Q 兩點，則

證明 設 則直線 AD 的方程為 ，令 x=m 得 tan ，同理可 .又因為 _{M，D，E} 三點共線，則 展開得，absin（α-β）-bm（sinα-sinβ）+an（cosα-cosβ） =0，利用和差化積公式與二倍角公式得abcosβ ，展開化簡并代人得 所以

4 問題待探

若從橢圓的右、上、下頂點引兩條直線是否有類似的結論？本文中的結論是否可以推廣到其他圓錐曲線中？