“阿氏圓”最值問題的解析策略歸納

中考?jí)狠S題常以考查“ PA+kPB ”型的最值問題為主，在本文中可應(yīng)用“阿氏圓”這一模型求解，該模型同時(shí)也是中考內(nèi)容的難點(diǎn)，需要集齊適用條件：首先確定點(diǎn) P 是否在圓上運(yùn)動(dòng)，其次確定點(diǎn) P 的具體位置及運(yùn)動(dòng)軌跡.

以下為“阿氏圓”模型的關(guān)鍵解題步驟：

（1）以現(xiàn)有條件構(gòu)造“阿氏圓”模型；

（2）綜合利用圓的性質(zhì)分析.

例1如圖1所示，有以點(diǎn) B 為圓心的圓，其半徑為2，邊長為4的正方形與其相重合一部分，而點(diǎn)P 在圓 B 上移動(dòng)， 的最大值是（ ）

（A）2. ： （C）4. （D）5.

答案 （D）.

解析 確定點(diǎn) P 在圓 B 上運(yùn)動(dòng)后，解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化 中的 ，以構(gòu)造相似三角形為主，得到三點(diǎn)共線這一重要條件.

如圖2所示，在邊 BC 上取一點(diǎn) E ，使得 BE=1 ，

因?yàn)閳A B 的半徑為2，

所以可得 ，

（204

又因?yàn)?∠PBE=∠CBP ，

所以可得 ΔPBE～ΔCBP ，

則 ，

所以

當(dāng) P，E，D 三點(diǎn)共線時(shí)，

即點(diǎn) P 在 DE 的延長線上時(shí)，

有最大值，

由勾股定理可得，其最大值為：

例2如圖3所示，有以圓 c 為圓心的一個(gè)圓，其半徑為2，與 RtΔABC 重合一部分.在 RtΔABC 中，已知 ∠ACB=90^° AC=6 CB=4 ，點(diǎn) P 為圓 C 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 AP，BP ，求出 的最小值是多少.

解析已知點(diǎn) P 在圓 C 上運(yùn)動(dòng)，可借助輔助線構(gòu)造相似三角形，再轉(zhuǎn)化 中的 ，再構(gòu)造出三點(diǎn)共線這一條件，從而得到答案.

如圖4所示，連接 PC ，在邊 BC 上取一個(gè)點(diǎn) D ，使得 CD=1 ，再連接 DP 和 AD ，由此可得 L 中

又因?yàn)?∠PCD=∠BCP ，

所以可得 ΔPCD～ΔBCP ，

所以

所以 ，

則

要想求得 的最小值，

只需要計(jì)算 AP+PD 的最小值是多少即可.當(dāng) A，P，D 三點(diǎn)共線時(shí)， AP+PD 有最小值，即 的最小值為 AD 的長，

在 RtΔACD 中，已知 AC=6，CD=1

所以 ，即 的最小值為

結(jié)語

這一最早由古希臘數(shù)學(xué)家所發(fā)現(xiàn)的“阿氏圓”能夠應(yīng)用在多個(gè)領(lǐng)域，在中考范圍內(nèi)多見于壓軸題，并需要使用轉(zhuǎn)化的核心思想.通過轉(zhuǎn)化“ ΔPAΔ+Δ kPB”型的最值問題，簡化求解步驟和過程，其解題關(guān)鍵就在于以構(gòu)造母子型相似三角形的過程轉(zhuǎn)化“kPB”，在轉(zhuǎn)化后，可得到三點(diǎn)共線這一條件，而此時(shí)的“ PA+kPB ”擁有最小值，可結(jié)合勾股定理計(jì)算得到答案.