初中數(shù)學幾何最值問題的解題思路分析

在初中數(shù)學學科中，幾何最值問題囊括了眾多核心知識點，包括兩點間線段距離最短的基本定理、三角形任意兩邊長度之和大于第三邊的原則，以及圓、直線、角度等幾何要素的綜合應用與分析.因幾何教學內容較為抽象，學生在解題過程中經(jīng)常因抽象問題受到瓶頸桎梏，不利于提高學生解題能力[1].對此，本文提出初中數(shù)學幾何最值問題的解題思路研究，旨在為有關學者提供幫助及建議.

1利用軸對稱與平移等量轉化線段

例1在直角坐標系中，矩形OABC定點 O 在坐標原點，頂點 ^A，C 分別在 x 軸， y 軸上， B，D 兩點坐標分別為 （-4，6），D（0，4） ，線段 EF 在邊 OA 上移動，保持 EF=3 ，如四邊形BDEF的周長最小時，點 E 的坐標為 ：

解析將線段 BF 向右平移3個單位長度至B^′E ，作點 D 關于 x 軸的對稱點 D^′ ，連接 ED^′ ，由平移性質知 B^′E=BF ，軸對稱性質知 D^′E=DE ，四邊形BDEF的周長為 =EF+FB+BD+DE=B^′E ，如 B^′，E，D^′ 共線時，四邊形BDEF的周長最小為 ，由 B（-1，6） ， D^′（0 -4）得，直線 B^′D^′ 的解析式為 y=-10x-4 ，與 x 軸交于點

從上述分析可以看出，通過作圖找到點 E 位置，可進行定量運算求出點 E 坐標.此外，除運用解析法求得直線 B^′D^′ 的解析式外，還可由 ΔD^′OE^° ΔD^′CB^′ 得 ，求得 ，繼而求得點 E 的坐標為 ：

2利用旋轉等量轉化線段

例2對于三角形而言，存在一個特殊的點，該點到三角形三個頂點的距離之和最小，這個點被稱為三角形的費馬點.當三角形為銳角三角形或直角三角形時，其費馬點 P 位于三角形的內部.例如ΔABC 為銳角（直角）三角形，則其費馬點 P 是三角形內一點，且滿足 ∠APB=∠BPC=∠CPA= 120^° ；等邊三角形的費馬點則是其三條高的交點.若 . . P 為 ΔABC 的費馬點，則 PA+PB+PC=

解析“根據(jù) 得出AB=AC2+AC²gt;BC² ，故 ΔABC 為銳角三角形，結合題意， ΔABC 的費馬點 P 滿足∠APB=∠CPA=120^° ，而鈍角 ΔAPB 、鈍角ΔAPC 有 AB=AC，AP=AP ，對此可通過添加垂線說明兩個鈍角三角形全等，因此得出點 P 應在∠BAC 的角平分線上，過點 A 作等腰 ΔABC 的角平分線 AD ，根據(jù)三線合一的性質可以得出， AD 垂直平分 BC ，以此確定 P 的位置，并得出 BD=DC= BC=√3，AD=√AB2-BD2=2，又PD=tan30°·

，且 AP=AD-PD Φ=1 故 PA+PB+PC=5. （2

3利用三角比縮放線段

例3在 ΔABC 中 ?AB=5，AC=4，sinA= 于點 D ，點 P 作為線段 BD 上的動點，則 的最小值為

解析 過點 P 作 PE⊥AB 于點 E ，過點 C 作CE^′⊥AB 于點 E^′ ∵，RtΔADB 中 ，在 RtΔPEB 中 ，進而得出 （204號 ，如當 Ψ_C，P，E 三點共線， E 與 E^′ 重疊，取等號， RtΔCE^′A 中 CE^′= 因此得出 的最小值為

4利用反演變換縮放線段

例4在扇形 OAB 中， OA=4 ∠AOB=120^° .C 為 OA 中點，點 D 在 OB 上，且 OD=3，P 為弧AB上一動點（不與 A，B 重合），求 3CP+2DP 的最小值[2].

解析 由于 PC 與 PD 均在扇形 OAB 內，如作

反演變換 ，則

；如作反演變換 D

，則 0

，為將目標轉化為成線段和最小的問題，需要進行同時變換， 3CP+ 2DP= （PC'+PD'），又 PC' +PD^′?C^′D^′ ，如僅當 C^′，P，D^′ 共線即點 P 在 C^′D^′ 上時取等號，在△C'OD'中，OC'=8，OD'=16，∠C^′OD^′=120^° ，過點 C^′ 作 C^′G⊥D^′O 于 G ，RtΔC^′GO 中， cos60^°?C^′O=4，RtΔC^′GD^′= 中， GD=OG+OD^′ ，故 3CP+2DP的最小值為4√19[3].

5 結語

綜上所述，與幾何圖形有關的最值問題，既能考查學生對幾何圖形的掌握情況，也能探查學生的代數(shù)運算能力，具有十分重要的意義.誠然，幾何知識點較為抽象，在解題過程中需要學生具備較強的空間想象能力和邏輯推理能力.誠然，初中階段多數(shù)學生的這些能力尚未完全成熟，導致在理解和解決幾何最值問題時將面臨較大的困難.本文分析了初中數(shù)學幾何最值問題的解題思路，教師應積極革新自身教育理念及方法，運用科學、合理的解題思路展開教學，以此提高學生解題能力.

參考文獻：

[1]胥鳳霞.例談初中數(shù)學幾何最值問題的兩種解題思路[J].數(shù)理天地（初中版），2024（5）：24-25.

[2]劉桂景.初中數(shù)學幾何最值問題的解題思路分析[J].數(shù)理天地（初中版），2024（1）：49—50.

[3]田海霞.初中數(shù)學幾何圖形中有關最值問題的解題思路分析[J].數(shù)學學習與研究，2022（25）：155-157.