“最值” 妙計：數學最值問題解題思路

在數學的浩瀚星空中，最值問題猶如一顆璀璨的明珠，散發著獨特的魅力。無論是在日常的課堂學習中，還是在高考考場上，頻繁出現的最值問題一直都是我們無法回避的挑戰。它不僅考查我們對數學知識的掌握程度，還十分鍛煉我們的邏輯思維和創新能力。

想象一下，當我們規劃一次旅行的路線時，應該如何選擇最短的路程？當我們設計一個容器時，應該怎樣使其容積最大？這些實際問題的背后都隱藏著數學最值問題的身影。掌握最值問題的解題思路是我們學習的重中之重。

一、尋根究底一認識最值問題的本質

（一）定義與分類

最值問題即求函數或變量在一定條件下的最大值或最小值，根據問題的性質及其涉及的數學知識，可分為函數最值問題、不等式最值問題和幾何最值問題三大類。

函數最值問題主要通過研究函數的性質，如單調性、奇偶性、周期性等，來確定函數的最值。

不等式最值問題主要利用各種不等式的性質，如均值不等式、柯西不等式等，來求解變量的最值。

幾何最值問題主要借助幾何圖形的性質，如兩點間距離公式、圓的性質等，來確定幾何圖形中的最值。

（二）特點分析

以函數 y=x²-2x+3 為例，這是一個二次函數。通過配方可得 y=（x-1）²+2 。從這個式子可以看出，當 x=1 時，函數取得最小值2。這個例子體現了函數最值問題的解題特點：函數的最值往往與函數的極值點、對稱軸等特殊點有關。

對于不等式最值問題，以均值不等式 （ a，bgt;0 ，當且僅當 a=b 時取等號）為例。當我們求兩個正數 a 和 b 的和的最小值時，就可以考慮利用均值不等式。例如，已知 a+2b=6 ，求 a²+2b² 的最小值。我們可以將 a=6-2b 代入 a²+2b² 中，得到關于 b 的函數后，再利用均值不等式求解。這個例子展示了不等式最值問題的解題特點：通過巧妙運用不等式的性質，將問題轉化為可求解的形式。

幾何最值問題則常常需要我們發揮空間想象力。例如，在平面直角坐標系中，求點 P（x，y） 到直線Ax+By+C=0的距離的最小值。我們可以利用點到直線的距離公式d=14++C| 來求解。這個例子體現了幾何最值問題的解題特點：借助幾何圖形的性質和公式，將問題轉化為數學表達式進行求解。

二、利器在手一常用解題方法剖析

（一）函數法

1.一次函數與最值

一次函數 y=kx+b（k≠0） 的最值取決于 k 的正負。當 kgt;0 時，函數單調遞增， y 無最大值，只有最小值；當 klt;0 時，函數單調遞減， y 無最小值，只有最大值。

例如，對于一次函數 y=-2x+5 ，因為 k=-2lt;0 ，所以函數單調遞減，當 x 取最大值時， y 取得最小值。

假設 x 的取值范圍是[1，3]，那么當 x=3 時， x 取得最小值為 -2×3+5=-1 ○

2.二次函數與最值

二次函數 y=ax²+bx+c（a≠0） 的最值與函數的開口方向和對稱軸有關。當 agt;0 時，函數開口向上，有最小值；當 alt;0 時，函數開口向下，有最大值。對稱軸公式為

例如，對于二次函數 y=2x²-4x+3 ，因為 a=2gt;0 ，所以函數開口向上。對稱軸為 當 x=1 時，函數取得最小值為 2×1²-4×1+3=1 。

3.反比例函數與最值

反比例函數 在不同的區間有不同的最值。當 kgt;0 時，函數在一、三象限，且在每個象限內單調遞減，無最大值和最小值；當 klt;0 時，函數在二、四象限，且在每個象限內單調遞增，也無最大值和最小值。例如，對于反比例函數y=-2， 在區間 （-∞，0） 和 （0，+∞） 上都是單調遞增，但無最值。

（二）不等式法

1.均值不等式的應用

均值不等式 （ a，bgt;0 ，當且僅當 a=b 時取等號）是求最值的有力工具。

例如，求函數 的最小值。根據均值不等式， ，當且僅當 士，即 x=1 時取等號，所以函數的最小值為2。

2.神奇的柯西不等式

柯西不等式為 ，當且僅當 ad=bc 時取等號。其在求最值問題中也有廣泛應用。例如，已知 x²+y²=1 ，求 2x+3y 的最大值。根據柯西不等式， 即 1×13≥（2x+3y） 2，所以 ，當且僅當 時取等號。

（三）幾何法

1.兩點間距離公式與最值

兩點間距離公式 可以用來求幾何圖形中的最值問題。

例如，在平面直角坐標系中，點 A（1，2） ，點B在直線 y=x 上運動，求AB的最小值。設點B的坐標為 （x，x） ，根據兩點間距離公式， 。對其進行化簡可得， +。當x=時，AB取得最小值

2.圓的性質與最值

圓的性質在求最值問題時也有重要作用。例如，已知點 P（x，y） 在圓 （x-2）²+y²=4 上運動，求 2x+y 的最大值。設 2x+y=b ，則 y=-2x+b ，此時可將問題轉化為求直線 y=-2x+b 在圓上運動時， b 的最大值。當直線與圓相切時， b 取得最大值。利用點到直線的距離公式可知，圓心（2，0）到直線的距離等于半徑2，即 2×（-2）+0×（-1）+b丨=2，解得b=4±25，所以2x+y的最大值為 。