巧用均值不等式處理高中物理最值問(wèn)題

在高中物理的學(xué)習(xí)中，最值問(wèn)題頻繁出現(xiàn)，這些問(wèn)題往往具有一定的復(fù)雜性和難度.而數(shù)學(xué)工具在解決物理最值問(wèn)題時(shí)發(fā)揮著重要作用，其中均值不等式作為一種常見(jiàn)且有力的數(shù)學(xué)方法，為處理這類問(wèn)題提供了簡(jiǎn)潔而有效的途徑.

1求汽車的最小耗油量

例1耗油量是衡量汽車性價(jià)比的重要指標(biāo)之一.若某汽車在某段公路上做加速運(yùn)動(dòng)試驗(yàn)，它的耗油量與其加速度 a 之間的數(shù)量關(guān)系為 V=（Aa+ B）_t（A，B 均為常數(shù)）.若某汽車由靜止在平直公路上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)生的位移為 s ，求此段運(yùn)動(dòng)中汽車的最小耗油量.

解析 根據(jù)公式 ，可得行駛位移 s 的運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為 則消耗的油量 V=（Aa+B）t ，化簡(jiǎn)

可得

根據(jù)均值不等式知識(shí)可得，當(dāng) 時(shí)，消耗的油量

最小，即 ，最小油量 ，

評(píng)析本題考查了勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用.根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間公式求出時(shí)間，然后代人公式 V=（Aa+B）t ，再用均值不等式求其最值.

2求平拋運(yùn)動(dòng)的最大水平距離

例2有一不可伸長(zhǎng)的輕繩的一端系有質(zhì)量為m的小球，某同學(xué)站在水平地面上用手握住輕繩的另一端并甩動(dòng)手腕，使得小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)輕繩突然斷掉，小球飛出后落在地面上的位置離最低點(diǎn)的水平距離為 d ，如圖1所示.已知小球與手之間的距離為 ，手離地面的高度為 d ，不計(jì)空氣阻力和手的運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為 g ：

（1）求繩斷時(shí)球的速度大小 v₁ ：（2）求繩能承受的最大拉力 F ;（3）繩能承受的最大拉力不變的情況下，改變

繩長(zhǎng)，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng).若小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)繩

仍斷掉，求小球拋出后的最大水平距離和此時(shí)繩長(zhǎng).

解析 （1）繩斷后，豎直方向：

水平方向： d=v₁t ，

則繩斷時(shí)小球速度大小

（2）繩斷前，對(duì)小球： 1

解得 1

（3）設(shè)繩斷時(shí)球的速度為 v₂ ，繩長(zhǎng)為 ξ_l ，

繩斷后，設(shè)球的水平位移為 x ，豎直位移為 d 一l.豎直方向 ，水平方向 x=v₂t^′ 聯(lián)立解得 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，x 有最大值

評(píng)析 本題第（3）問(wèn)中，求出水平位移 x= ，可通過(guò)均值不等式求出其最大值.

3求平拋運(yùn)動(dòng)中速度的最小值

例3如圖2所示，固定在豎直平面內(nèi)的直軌道 AB 與光滑圓弧軌道 BC 相切，圓弧軌道的圓心角為 θ=37^° ，半徑為 r=1m，C 端水平， AB 段的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5.豎直墻壁 CD 高 H=0.1m ，緊靠墻壁在地面上固定一個(gè)和 CD 等高、底邊長(zhǎng) L=0，2m 的斜面.一個(gè)質(zhì)量 m=0，2kg 的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）在傾斜軌道上從距離 B 點(diǎn) s=1m 處由靜止釋放，從 C 點(diǎn)水平拋出.已知 B，C 兩點(diǎn)速度大小滿足關(guān)系 v_C= ，重力加速度 g=10m/s² ，sin37^°=0.6，cos37^°=0.8. 求：

（1）小物塊從 C 點(diǎn)拋出到擊中斜面的時(shí)間；（2）改變小物體從軌道上釋放的初位置，求小物體擊中斜面時(shí)速度大小的最小值.

解析（1）小物塊從 A 到 C 的過(guò)程，由動(dòng)能定理得 ：mgssin37^°+mg（r-rcos37^°）-μmgscos37^°=

代人數(shù)據(jù)解得

如圖3所示，設(shè)物體落到斜面上時(shí)水平位移為x ，豎直位移為 ，由幾何關(guān)系有 代人得x=0.2-2y ，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得 x=v₀t，y= gt2，代人數(shù)據(jù)解得t

（2）由上知x=0.2-2y=vt，ut2=v2.2y（0.2-2y）2，可得v2= ，由動(dòng)能定理得 ，小物體擊中斜面時(shí)動(dòng)能為 0.2mg ，當(dāng) 時(shí)，最小速度

評(píng)析本例第（2）問(wèn)中，解出小物體擊中斜面時(shí)動(dòng)能的表達(dá)式，根據(jù)均值不等式即可求出最小速度.

4結(jié)語(yǔ)

均值不等式作為一種有效的數(shù)學(xué)工具，在處理高中物理最值問(wèn)題時(shí)展現(xiàn)出了獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).通過(guò)巧妙地運(yùn)用均值不等式，學(xué)生能夠更加簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地解決力學(xué)等領(lǐng)域中的復(fù)雜最值問(wèn)題.這不僅有助于提高學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用水平，還能促進(jìn)他們對(duì)物理知識(shí)的深入理解和綜合運(yùn)用.在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握這一方法，并培養(yǎng)他們靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題的思維習(xí)慣，為學(xué)生的物理學(xué)習(xí)和未來(lái)的科學(xué)研究奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，

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