三角導數連手，云里霧里選才

2025全國高考數學I卷第19題是一道三角與導數結合產生的試題，對于這道有點讓人捉摸不定，說它難吧，又感覺挺簡單．說它簡單吧，又難讀懂試題.說它是導數的應用吧，又好像沒怎么用導數．說它是一道題吧，更像是三道獨立試題的組合型試題．到底是什么？讓我們近距離地“認識”一下，同時也我們一起再欣賞一下三角與導數的其它類型問題：

一、試題與求解賞

試題：設函數 f（x）=5cosx-cos5x （1）求 f（x） 在 上的最大值；（2）給定 ， α_a 為給定實數，證明：存在 y∈[a-θ，λ+θ] ，使得 cosy≤ cosθ ；（3）若存在 φ 使得對任意 x 都有 5cosx-cos（5x+ φ）≤b ，求 b 的最小值.

1．對于第1小問：由 f^′（x）=-5sinx+5sin5x= 10sin2xcos3x ，令 f^′（x）=0 結合 得 x=0 或 由于 時 f^′（x）gt;0 ，此時，函數遞增; 時 f^′（x）lt;0 ，此時，函數遞減；故 f_max （20號

或解：設 ， 由于 g^′′（x）= -cosxlt;0 ，于是， g（x）=cosx 為上凸函數，則 5cosx- cos5x=cosx+cosx+cosx+cosx+cosx+cosx+cos（π-5x）≤6cos ，當且僅當 x=π- 5x 即 時取等號.

或解：由于 cos2x=2cos²x-1 ， cos4x=2（2cos²x-1）² （2號-1=8cos⁴x-8cos²x+1

可得 cos5x=16cos⁵x-20cos³x+5cosx. （2

于是， f（x）=5cosx-cos5xcos5x=20cos³x-16 ，當且僅當 即 也就是 時取等號.

2．對于第2小問：不妨設 a∈[0， 2π） ，若 a≤ 2θ ，則 a-θ≤θ≤a+θ ，取 y=θ 即有 cosy≤cosθ 成立；若 agt;2θ ，則 θ≤a-θ ，此時 ，取 y=a- θ ，則 cosy≤cosθ 也成立，結合周期性可知 ak∈ [2kπ ， （2k+1）π） （ k∈Z ）結論都成立．于是，存在 y ?[a-θ，a+θ] ，使得 cosy≤cosθ.

或者： ?y∈[a-θ，a+θ] ，都有 cosygt;cosθ ，則2kπ-θ θ ， 2kπ+θ， 即 2kπ-θ ，使得 cosy≤cosθ 成立.

3．對于第3小問：由于 f（-x）=5cos（-x）-cos5 （-x）=5cosx-cos5x=f（x） ，所以 f（x） 是以 2π 為周期的偶函數，首先看，當 φ=2kπ ， 時， f（x） =5cosx-cos5x 的最大值．由 f^′（x）=-5sinx+5sin5x= 10sin2xcos3x ，令 f^′（x）=0 得 （20 易得 時 f（x） 單調遞增， x∈ （20 時 f（x） 單調遞減， 時 f（x） 單調遞減， 時 f（x） 單調遞增，于是 f_max（x） ，所以當 時 ，結合周期性及偶函數可知 x∈R 時 ，此時， ．再看：當 φ≠2kπ 時，在2中取 6，a=φ，則y∈ 使 令 （20 于是 5cosx-cos（5x+φ） 中存在 x 使 ，矛盾.

故 b 的最小值為

或者：不妨設 φ∈[0，2π） ，由于對任意 x 都有5cosx-cos（5x+φ）≤b ，于是，取 必有 b≥ 5 而 因此 ，由第一小問我們知道 φ=0 且 時 ，故 b 的最小值為 ：

透過三問的求解我們可以看出：第一問是利用導數求解三角函數的最值，是真正的三角與導數的美麗牽手，此類題最早出現在2016·新課標Ⅱ卷的第21題；……