一道高考題的解法探究與啟示

零點問題是函數與方程領域的重要研究內容，其本質是求解方程 f（x）=0 的實數根，但大多數的高考試題涉及的函數含有參數，并不能直接求出方程的根，需要通過函數與方程、化歸與轉化思想方法將含參函數零點問題轉化為函數圖像交點問題，再通過數形結合與分類討論思想求出參數的取值范圍.

1真題呈現

題目 （2024年天津卷15）若函數 f（x）= （204號 有唯一零點，則 Ψ_a 的取值范圍為

2 解法探究

本題的難點在于函數定義域含參需要分類討論，

且含有絕對值的含參函數也需要分類討論，如果對函數直接求導找出其性質及圖像較為復雜，因此采用分離參數法.

解法1 （局部分參——逐個擊破）由題意可得x²-ax?0 令 f（x）=0 ，得

當 a=0 時， x∈R ，有 ，則 有兩個零點，不符合題意，舍去.

當 agt;0 時，由 x²-ax?0 ，可得 x?a 或 x? 0，則

故當 x?a 或 x?0 時，函數 與函數 的圖像有唯一交點.

當 x?0 時， ax-2lt;0 ，則2 ∣ax-2∣-1=1-ax ，即 4x²-4ax=（1-ax）² ，整理得 1]=0. 當 a=2 時，即 4x+1=0 ，即 當 a∈ 0（0，2）時， 或 （正值舍去）.當 a∈（2 .+∞ 時， ，有兩個解，不符合題意，舍去.

因此，當 a∈（0，2] 時， 1=0 在 x?0 上有唯一解，此時只需求方程 在 x?a 上無解時 α_a 的取值范圍即可.

易知函數 h（x） 恒過點 ，在 上單調遞減，在 上單調遞增.

令 ，即 （ y?0） ，故 g（x） 的圖像為雙曲線 在 Ψ_x 軸上方部分向右平移 個單位長度所得.因為雙曲線 的漸近線方程為 y=±2x ，所以 g（x） 的漸近線方程為 ，其斜率為 ±2

又 a∈（0，2] ，即 h（x） 在 上的斜率 a∈（0 ，

2]，令 g（x）=0 ，可得 x=0 （舍）或 a ，則函數 g（x） 在

（a，+∞） 上單調遞增.要使 h（x） 與 g（x） 在 x?a 上1aa

無解，則 解得 ，故 符合

要求.

當 alt;0 時，同理可得 符合要求.綜上， a 的取值范圍為

點解法1通過構造函數 g（x） 與 h（x） ，可知g（x） 與 h（x） 的圖像有唯一公共點，分 a= _0，agt;0 與 alt;0 三種情況進行討論，當 a=0 時，不符合題意；當 agt;0 時，計算可得函數 f（x） 的定義域為{x∣x?a 或 x?0} ，進而可得當 a∈（0，2] 時，兩個函數圖像在 y 軸左側有一個公共點，因此只需找到當a∈（0，2] 時，在 y 軸右側兩個函數圖像沒有公共點的情況即可；當 alt;0 時，按類似的方式加以討論可得出a 的取值范圍，進而可得答案.

解法2 （局部分參—數形結合）當 a=0 時，x∈R ，有 ，則 有兩個零點，不符合題意，舍去，

當 Δagt;0 時，由 x²-ax?0 ，可得 x?a 或 x?0 要使原函數只有一個零點，即！ |ax-2|-1 只有一個根，即函數 與 的圖像只有一個交點.因為 y= 2√x2-ax（≤0或x≥a）的圖像為雙曲線2 在 x 軸上方部分向右平移 個單位長度所得，且雙曲線 的漸近線方程為 y=±2x ，所以 的漸近線方程為 ），其斜率為 ±2. 易知 的圖像恒過（0，1）， 兩點，關于 對稱.令 y=0 ，可得 或 ，且函數 h（x） 雞在 ）上單調遞減，在（2，+∞ ）上單調遞增.因此，當 agt;0 時， h（x） 和 g（x） 的圖像如圖1所示.結合圖像當 0 與 的圖像在 x?0 上有且僅有一個交點.要使 與 y=∣ax-2∣-1 的圖像在 x?a 上沒有交點，則 解得

當 alt;0 時，同理可得 符合要求.綜上， a 的取值范圍為

解法2與解法1類似，不同點在于解法2畫出兩個函數的圖像，通過圖像找到只有一個共點時 Ψ_a 的取值范圍.

解法3（局部分參 巧用非負性）由題意可得x²-ax?0. 令 f（x）=0 ，得

當 a=0 時， x∈R ，有 ，則 ，不符合題意， f（x） 有兩個零點，舍去.

當 Φ_agt;0 時，有

上述方程中 x 的取值范圍可進一步縮小，即

則函數 與函數 有唯一公共點.

當 時， ，即 4x²- 4ax=（1-ax）² ，整理得 （4-a²）x²-2ax-1=[（2+

a）x+1][（2-a）x-1]=0， 由此方程可知 x= 為函數的唯一零點，則 即 1lt; alt;2. （204號

當 時， ，即 （a²-4） ·x²-2ax+9=0 ，此時無零點.令

M（x）=（a²-4）x²-2ax+9，

因為 M（x） 的對稱軸為 ，所以 ，解得 ，故 ：

當 alt;0 時，同理可得 符合要求.綜上， a 的取值范圍為

解法3與解法1類似，不同點在于解法3在討論 agt;0 時，巧妙利用根式的非負性，避免定義域的討論，通過 這個條件找到唯一實根，從而求出 a 的取值范圍.

解法4（完全分參）當 a=0 時， x∈R ，有 ，則 有兩個零點，不符合題意，舍去.

當 a≠0 時， x=0 不是方程 2 $| - 1 ＼rrangle$ 的根，則 x≠0 令 t=ax（t≠0） ，則 ，所以 ，即 t?0 或 t? a² ，故

即 所以

令 ，則

當 3?tlt;9 時， H（t） 單調遞增；當 tgt;9 時， H（t） 單調遞減， ，當 時，有廳

令 且 t≠-1），G^′（t）= （1+t）·當tlt;-1時，G（t）單調遞增;當-1lt;lt;0時， G（t） 單調遞減；當 0 時，有

當 t-1 時， G（t）+∞ ，且 G（0）=0，G（1）=1 ，結合圖2可知 12lt;3 ，即 或

解法4與解法3類似，不同點在于解法4通過換元法將參數完全分離成

進而只需找關于 Ψ_tΨ_Ψ 的函數與直線的交點問題，解法思路更加簡潔清晰.

3命題背景

本題若直接探究函數 f（x） 的零點，因其存在根式，較為復雜，因此考慮令 f（x）=0 ，將問題轉化為兩個函數圖像的交點問題，且這兩個函數圖像均為分段函數圖像，再通過數形結合思想來確定 Δ_a 的取值范圍.由g（x）=2√x2-ax，得（x） g（x） 由 這種根式雙曲線伸縮平移得到，所以可以利用雙曲線函數的性質分析函數 g（x） 的增長趨勢和漸進性.而 h（x）=|ax-2|-1 可由 y=|x| 伸縮平移得到，當 a 增大時， h（x） 的左半段圍繞定點 順時針旋轉， a 越大，左右兩段越陡.據此分析得出兩個函數圖像的相對位置關系和交點個數.

4高考鏈接

練習1（2015年天津卷理8）已知函數 f（x）= 函數 g（x）=b-f（2-x） ，其中b∈R ，若函數 y=f（x）-g（x） 恰有4個零點，則 b 的取值范圍是（ ）.

4 B.

答案D.

練習2（2016年天津卷理8）已知函數 f（x）= 且 a≠1 ）在 上單調遞減，且關于 x 的方程 |f（x）|=2-x 恰好有兩個不相等的實數解，則 Ψ_a 的取值范圍是（ ）.

A. B

答案C.

練習3 （2020 年天津卷9）已知函數 f（x）= （2若函數 g（x）=f（x）-∣kx²-2x∣ （2號（ k∈R 恰有4個零點，則 k 的取值范圍是（ ）.

A. B C. D.

答案D.

練習4（2023年天津卷15）若函數 f（x）= ax²-2x-∣x²-ax+1∣ 有且僅有兩個零點，則 α_a 的取值范圍為

答案 （2號

求解含參函數零點問題是天津卷的一個常考點，以上幾道高考題均考查兩個函數的交點問題，在練習時，學生不僅要會做，還要學會總結解題方法，吃透各種類型問題，以便再遇到同樣問題時能提升解題效率.

（完）