聚焦距離公式在最值問題中的應用

求解最值問題必須講究策略，否則往往會事倍功半，甚至無功而返.尤其是遇到所求問題的代數式比較復雜時，不妨嘗試從數形結合的角度加以轉化，深挖代數式的幾何意義，這樣有利于運用幾何圖形的直觀性求解.基于此，本文談談距離公式在最值問題中的應用，供學生參考.

1兩點間距離公式在最值問題中的應用

已知 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，則 |AB|= .當最值問題中出現代數式平方和的開方形式或平方和形式時，一般可將其轉化為兩點間距離問題.

例1 已知 ，則 的最小值為

O 設 A（2，1），B（x，0），C（0，y） ，則解析 表示點 C 到點 A 的距離， 表示點 B 到點 A 的距離， 表示點 B 到點 c 的距離，即 表示 ∣AC∣+∣AB∣+

∣BC∣ ，顯然當點 B 與點 C 在 x 軸、 y 軸的非負半軸上時，原式的結果更小；當點 B 與點 c 均不在坐標原點時，如圖1所示.

考慮到求解最小值，所以 x?2，y?1. 設 B，A

兩點關于原點的對稱點為 B^′，A^′ ，所以

|AB|+|BC|+|AC|=|AC|+|B^′C|+|A^′B^′|?

當 ^B，C 中只有一個點在坐標原點時，如圖2所示，有|AC|+|BC|+|AB|gt;|AC|+|AC|= |AC|+|BC|+|AB|gt;|AB|+|AB|=

所以 ；當 B，C 都在坐標原點時，有

綜上， 的最小值為 ：

點求解形如式子 的最小值思路：1）先將問題轉化為點到點的距離之和問題；2）畫出圖示，必要時借助點關于直線的對稱知識進行分析；3）根據距離之和的最小值得到原式的最小值.

例2已知函數 f（x）=|x²-2x-1| ，若 agt; b?1，f（a）=f（b） ，則對任意的實數 ∣c∣ ， （a+c²）²+ （b-c²）² 的最小值為

作出 f （x）= ∣x²-2x-1∣ 的圖像，如圖3所示.由 f（a）= f（b） 且 agt;b?1 ，可得 a²- 2a-1=-b²+2b+1 ，即（a-1）²+（b-1）²=4 ，其中 ：

如圖4所示，圓 c ：（x-1）²+（y-1）²=4 ，易知點 P（a，b） 在劣弧 AB 上，記 M（-c²，c²） ，則點 M 在直線 Φ_y=-Φ_x 上，（a+c²）²+（b-c²）² 表示點 P（a，b） 到點 M 的距離的平方.由圖4可知 ∣PM∣² 的最小值為點 B（3，1） 到原點的距離的平方，即 3²+1²=10

點求解本題的關鍵是利用代數式的幾何意義.（a+c²）²+（b-c²）² 的幾何意義是點 Ψ（aΨ，bΨ） 與點 （-c²，c²） 的距離的平方，這樣只要確定點 （a，b） 所在曲線和點 （-c²，c²） 所在直線，即可由幾何方法得出結論.

2點到直線的距離公式在最值問題中的應用

點 A（x₀，y₀） 到直線 l：ax+by+c=0（a，b 不同時為0）的距離 ，如果有關最值問題中出現形如 或 ∣ax₀+by₀+c∣ 的代數式，一般可將其轉化為點到直線的距離問題.

例3 已知對任意的 x∈[-1，1] ，不等式 恒成立，則實數 m 的最大值為

0 設直線 l：y=mx+4 ，半圓 解析 （ （y?0） ，則 表示半圓孤上的任意一點 到直線 ξ_l 的距離大于或等于1，即原點 O 到直線 ξ_l 的距離 d 大于或等于2，即 ，解得 ，故實數 ∣m 的最大值為 ：

評 解題的關鍵是將 轉化為半圓弧上的任意一點 到直線 ξ_l 的距離大于或等于1，即原點 O 到直線 l 的距離 d 大于或等于2.

例4已知實數1，x2，y1，y2滿足x2+y2=1， ，則 ∣x₁+y₁-2∣+ 2|x₂+y₂-2| 的最大值為

記 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） .由題意可知點 A 和點 B 位于單位圓上.因為 所

以cos 則 如

圖5所示， 分別表示點 A

和點 B 到直線 l：x+y-2=0 的距離 |AA₁|，|BB₁| 不妨設 |AA₁|?|BB₁| ，則

|x₁+y₁-2|+2|x₂+y₂-2|=

分別取 AB?A₁B₁ 靠近 B，B₁ 的三等分點為 c ，C₁ ，連接 CC₁ ，過點 B 作 AA₁ 的垂線，交 AA₁ ， CC₁ 于 M，N ，則

由勾股定理可得

又點 O 到直線 ξ_l 的距離為 ，則 ，所以

從而

|x₁+y₁-2|+2|x₂+y₂-2|=

當且僅當 CC₁ 過原點 o 且點 C 在第三象限時，等號成立，故 ∣x₁+y₁-2∣+2∣x₂+y₂-2∣ 的最大值為

點求解本題，先設 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，由題意可得 ，再根據 |x₁+y₁-2|+ 2|x₂+y₂-2| 的幾何意義求出目標代數式的最大值.解題的關鍵是挖掘方程、代數式蘊含的幾何意義，將其轉化為直線與圓的位置關系中的最值問題.

（完）