讓學(xué)生形成“|a|-數(shù)軸-距離”思維

筆者第一次教授人教版七年級(jí)上冊(cè)第一章第二節(jié)第4課“絕對(duì)值”時(shí)，對(duì)絕對(duì)值概念的理解不深刻，未引領(lǐng)學(xué)生突破絕對(duì)值概念的理解壁壘一—絕對(duì)值的幾何意義，導(dǎo)致教學(xué)效果不佳.

經(jīng)過進(jìn)一步挖掘教材和課標(biāo)，聚焦學(xué)生在絕對(duì)值概念上的理解壁壘一—絕對(duì)值的幾何意義，精心轉(zhuǎn)化書本知識(shí)，順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律，創(chuàng)設(shè)以“|α|一數(shù)軸一距離”為主線的探究活動(dòng)，讓學(xué)生真正理解絕對(duì)值的幾何意義和代數(shù)意義，并能掌握求解絕對(duì)值相關(guān)問題的方法.現(xiàn)與大家分享“絕對(duì)值”教學(xué)設(shè)計(jì)的改進(jìn)與思考.

1學(xué)生在絕對(duì)值概念學(xué)習(xí)上存在的主要問題

（1）對(duì)絕對(duì)值的幾何意義理解較為膚淺，較難將絕對(duì)值與距離建立聯(lián)系.（2）對(duì)絕對(duì)值的代數(shù)意義理解不夠深入，特別是絕對(duì)值的非負(fù)性.（3）對(duì)絕對(duì)值知識(shí)的運(yùn)用不熟練，尤其是對(duì)于含字母形式的絕對(duì)值問題，無法綜合利用絕對(duì)值的知識(shí)以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想去解決.

2教學(xué)設(shè)計(jì)改進(jìn)思路

2.1設(shè)置導(dǎo)入絕對(duì)值的問題情境

“絕對(duì)值\"是七年級(jí)上冊(cè)第一章的內(nèi)容，學(xué)生正處于由具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段過渡的時(shí)期，且大多數(shù)學(xué)生更偏向于具體運(yùn)算，思維形式無法擺脫思維內(nèi)容，不具備成熟的抽象思維，形成心理疑難，具體的問題情境更有利于他們學(xué)習(xí)與整合絕對(duì)值的概念.

2.1.1注重新舊知識(shí)的銜接

問題情境1：

① 把下列各數(shù)及它們的相反數(shù)在數(shù)軸上表示出來： L₄，-3.5，2.5，0，-1.5，（ ② 分別說出 ① 中的數(shù)在數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離是多少？ ③ 數(shù)軸上4與—1.5的距離是多少？ ④ 數(shù)軸上2.5與它的相反數(shù)的距離是多少？

引導(dǎo)學(xué)生逐步解答以上問題，為引入絕對(duì)值概念奠定基礎(chǔ)，讓學(xué)生從已有知識(shí)（數(shù)軸、距離、相反數(shù)等概念）自然過渡到新知，實(shí)現(xiàn)新舊概念的銜接，2.1.2引入學(xué)生熟知的生活情境

問題情境2：

周五17時(shí)，7（4）班的2位老師駕駛汽車從黃陵中學(xué)出發(fā)，戴老師向東行駛 3km 回到家中，廖老師向西行駛 4km 回到家中，假設(shè)廖老師和戴老師的汽車行駛1km 消耗汽油量均為 0.08L ，思考并回答下列問題：① 若規(guī)定向東為正，則戴老師和廖老師行駛路線如何用正數(shù)和負(fù)數(shù)來表示？ ② 兩輛汽車所消耗的汽油分別是多少升？ ③ 兩輛小汽車所消耗的汽油與戴老師、廖老師的駕駛方向有沒有關(guān)系？ ④ 兩輛小汽車所消耗的汽油與什么有關(guān)？

問題情境2可以轉(zhuǎn)化為圖1，學(xué)生理解從學(xué)校出發(fā)回家，雖然戴老師行程路線是 +3 ，廖老師的行駛路線是一4，但兩輛汽車消耗的汽油量分別是 0.24L 和0.32L ，都是正數(shù)，兩輛汽車消耗的汽油量與行駛方向無關(guān)，僅與行駛距離有關(guān).

引入學(xué)生熟知的生活情境，有利于理解在實(shí)際生活、生產(chǎn)中，有時(shí)并不需要考慮方向，僅需要知道距離即可[2]，為學(xué)習(xí)絕對(duì)值概念做鋪墊.

2.2形成\" |a| 一數(shù)軸一距離”為主線的探究活動(dòng)

2.2.1引出絕對(duì)值的概念

在實(shí)際生活、生產(chǎn)中，很多情況下，不需要考慮數(shù)的正、負(fù)，比如我們坐網(wǎng)約車，到終點(diǎn)付費(fèi)時(shí)，計(jì)費(fèi)平臺(tái)上的費(fèi)用與網(wǎng)約車行駛的方向無關(guān)，與行駛的距離有關(guān)，距離只需用正數(shù)或0來表示，因此，人們引入了一個(gè)新的概念——絕對(duì)值[3].

引導(dǎo)學(xué)生感受絕對(duì)值概念的產(chǎn)生源于日常生活，幫助學(xué)生更好地感受絕對(duì)值的本質(zhì).

2.2.2理解絕對(duì)值的幾何意義

教師引出絕對(duì)值這個(gè)全新的概念后，點(diǎn)燃了學(xué)生探究絕對(duì)值的欲望，基于學(xué)生在絕對(duì)值概念上的理解壁壘，先將絕對(duì)值與數(shù)軸取得聯(lián)系，有助于學(xué)生理解絕對(duì)值的幾何意義.

（1）建立“絕對(duì)值一數(shù)軸一距離\"思維

探究活動(dòng)1：

假設(shè)把小汽車行駛的路線想象成數(shù)軸，規(guī)定向東為正，將學(xué)校定為原點(diǎn)（數(shù)軸上的1個(gè)單位長(zhǎng)度表示1km） 。 ① 請(qǐng)畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn) A （戴老師家）和點(diǎn) B （廖老師家） ② 點(diǎn) A 點(diǎn) B 表示的數(shù)分別是什么？ ③ 點(diǎn) A 點(diǎn) B 到原點(diǎn)的距離分別是多少？

通過探究活動(dòng)1，學(xué)生畫出數(shù)軸（如圖2所示），并在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn) A 和點(diǎn) B ，結(jié)合數(shù)軸可以知道點(diǎn) A 、點(diǎn) B 表示的數(shù)分別是 3，-4 ，它們到原點(diǎn)的距離分別是3和4.

此時(shí)教師可引人絕對(duì)值的定義：一般地，數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值.

圖2中表示數(shù)3的點(diǎn) A 到原點(diǎn)的距離是3，因此3的絕對(duì)值就是3；表示數(shù)一4的點(diǎn) B 到原點(diǎn)的距離是4，因此一4的絕對(duì)值就是 4^[3] ：

老師繼續(xù)補(bǔ)充：求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的過程，可分為3個(gè)步驟， ① 在數(shù)軸上找到數(shù) a 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)； ② 求出這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離； ③ 所求距離即為 Δ_a 的絕對(duì)值，從而建立“絕對(duì)值一數(shù)軸一距離\"思維，如圖3所示.

在數(shù)軸上找到 求出這個(gè)點(diǎn)到 所求距離即為數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 原點(diǎn)的距離 a的絕對(duì)值

老師給出定義和補(bǔ)充后，學(xué)生逐漸在腦海中形成“絕對(duì)值一數(shù)軸一距離\"思維，即看到絕對(duì)值會(huì)想到數(shù)軸，繼而想到數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.通過“絕對(duì)值一數(shù)軸一距離\"這條主線幫助學(xué)生將絕對(duì)值與距離建立聯(lián)系，有助于理解絕對(duì)值的幾何意義，從而突破絕對(duì)值概念的理解壁壘.

（2）鞏固“絕對(duì)值一數(shù)軸一距離\"思維

探究活動(dòng)2：

請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上分別表示出數(shù) -6，-9，7.6，0.① 說出一6的絕對(duì)值、一9的絕對(duì)值、7.6的絕對(duì)值、0的絕對(duì)值分別表示什么？它們的絕對(duì)值分別是多少？ ② 對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)，都能求出它的絕對(duì)值嗎？ ③ 一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值有幾個(gè)？ ④ 數(shù)軸上，絕對(duì)值為3的數(shù)有幾個(gè)？

學(xué)生通過剛建立的“絕對(duì)值一數(shù)軸一距離”思維可知： -6，-9，7.6，0 的絕對(duì)值即分別為數(shù)軸上表示-6，-9，7.6，0 的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，因此一6，一9，7.6，0的絕對(duì)值分別是6，9，7.6，0.

學(xué)生也能發(fā)現(xiàn)，數(shù)軸上任何數(shù)到原點(diǎn)的距離均可求出且唯一，即可求任意實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，并且任意一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值只有一個(gè).

除此之外，將絕對(duì)值與數(shù)軸建立聯(lián)系后，學(xué)生通過觀察數(shù)軸還能發(fā)現(xiàn)：0的絕對(duì)值是0；絕對(duì)值為3的數(shù)有 +3 和一3，它們是一對(duì)相反數(shù).

通過以上2項(xiàng)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生循序漸近地將絕對(duì)值與數(shù)軸、距離建立聯(lián)系，形成了“絕對(duì)值一數(shù)軸一距離”思維，清晰地理解絕對(duì)值的幾何意義，從而攻克了本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn).

（3）建立“ ∣α∣ 一數(shù)軸一距離\"思維

老師引入絕對(duì)值的符號(hào)：為準(zhǔn)確表示數(shù) Ψ_a 的絕對(duì)值，我們將其記作 ∣a∣ .如一4的絕對(duì)值記作 ∣-4∣ ，即∣-4∣=4 ；同理，7.6的絕對(duì)值記作|7.6，即 |7.6|=7.6 那么，在“絕對(duì)值一數(shù)軸一距離”思維的基礎(chǔ)上，用·|a| ”替換掉其中的“絕對(duì)值”，可建立一條新的思維，即“|a|—數(shù)軸—距離”.

老師引入 ∣α∣ ，強(qiáng)調(diào)|a|與數(shù)軸、距離的關(guān)系，讓學(xué)生感悟絕對(duì)值的幾何意義，從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)絕對(duì)值的概念[3].學(xué)生明白 |a| 只是絕對(duì)值的是一種符號(hào)表達(dá)，便會(huì)自動(dòng)將剛剛建立的“絕對(duì)值一數(shù)軸一距離”思維轉(zhuǎn)化為“ ∣α∣ —數(shù)軸—距離\"思維.

（4）鞏固“ ∣a∣ —數(shù)軸—距離\"思維課堂練習(xí) 填空：

通過由易到難的練習(xí)，學(xué)生會(huì)逐漸明白“|”與“\"不同，它與“ + \"“一\"類似，代表的是一種運(yùn)算，是求“」「”里面的數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，進(jìn)而強(qiáng)化“ ∣a∣ 一數(shù)軸一距離”思維.另外，學(xué)生也會(huì)意識(shí)到，如果在混合運(yùn)算里面出現(xiàn)“”，要先進(jìn)行絕對(duì)值的求值運(yùn)算.

2.2.3理解絕對(duì)值的代數(shù)意義

探究活動(dòng)3：

填空： ∣4∣=

① 觀察以上三組數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？② 正數(shù)、負(fù)數(shù)、0的絕對(duì)值和它們本身是什么關(guān)系？學(xué)生利用\" ∣α∣ 一數(shù)軸一距離\"思維可求出答案：|4|=4，|-4|=4;|17|=17，|-17|=17;|0|=0.

通過觀察答案，學(xué)生很快可找出一條很明顯的規(guī)律：一對(duì)相反數(shù)的絕對(duì)值是相等的.

老師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考正數(shù)、負(fù)數(shù)、0的絕對(duì)值和它們本身的關(guān)系，可歸納出絕對(duì)值的非負(fù)性：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0，即任何一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù).

待學(xué)生理解絕對(duì)值的非負(fù)性后，教師再次強(qiáng)調(diào)1 ∣a∣ 一數(shù)軸一距離\"思維，引導(dǎo)學(xué)生將 ∣a∣ 與距離畫上“等號(hào)”，學(xué)生意識(shí)到距離不可能是負(fù)數(shù)，那么 ∣a∣ 也不可能為負(fù)數(shù)，加深對(duì) ∣a∣ 的非負(fù)性的理解.

2.2.4小結(jié)

在學(xué)生理解了絕對(duì)值的幾何意義和代數(shù)意義后，便可引導(dǎo)學(xué)生在此基礎(chǔ)上總結(jié)出求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的方法：

（1）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義求解，即根據(jù)“ |α|- 數(shù)軸一距離\"思維進(jìn)行求值.

（2）根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義求解，即先確定這個(gè)數(shù)的正負(fù)，然后由絕對(duì)值的非負(fù)性求值.

2.3安排重點(diǎn)強(qiáng)化與變式訓(xùn)練

2.3.1根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義求解

填空：若 ∣m∣=9 ，則 ；若 ∣-m∣=8 ，則 ；若 |-m|=7 ，且 mlt;0 ，則

利用絕對(duì)值的幾何意義去分析，由“ ∣a∣ 一數(shù)軸一距離\"思維可知，數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離為某值（非零）的點(diǎn)有2個(gè)，且它們互為相反數(shù)，再根據(jù)題目條件進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算即可求解出 Ψ_m ：

2.3.2含絕對(duì)值的混合運(yùn)算

求值：

∣-5∣×（-13∣）;-∣-6∣÷∣-3∣;

∣-4×8∣×∣3∣÷∣16∣;∣2.5∣×（-∣4∣）-∣5∣.

在混合運(yùn)算里出現(xiàn)“「”，將其看成一種運(yùn)算，先利用絕對(duì)值的代數(shù)意義直接求值，再根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行“ x ”“ ÷ \"等運(yùn)算.

2.3.3求解含字母形式的絕對(duì)值

填空：若 mlt;0，ngt;0，∣m∣gt;∣n∣ ，則 |-m∣= |-n|=，|m+n|=，|m ∣m-n∣= ：

對(duì)于含字母形式的絕對(duì)值，學(xué)生較難求解.解這道題目，要讓學(xué)生明白 -m，-n，m+n，m-n，n-m 這類含字母的式子代表的是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零等任意實(shí)數(shù).

先用絕對(duì)值的幾何意義去分析，畫出數(shù)軸并標(biāo)出（20 m，n，-m，-n 的大概位置，通過數(shù)軸確定：

-mgt;0，-nlt;0，m+nlt;0，m-nlt;0，n-mgt;0.

再根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義去分析，由絕對(duì)值的非負(fù)性得出答案：

∣-m∣=-m;∣-n∣=n;∣m+n∣=-（m+n）=

-m-n;|m-n|=-（m-n）=n-m;|n-m|=n-m.

解決含字母形式的絕對(duì)值問題，以數(shù)軸這個(gè)“形”作為工具，可充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想.

3教學(xué)反思

3.1精心轉(zhuǎn)化書本知識(shí)，提升概念教學(xué)價(jià)值

整體把握教材中絕對(duì)值知識(shí)的結(jié)構(gòu)與內(nèi)在聯(lián)系，挖掘其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及方法，聚焦學(xué)生在絕對(duì)值概念理解上的壁壘，創(chuàng)造性地使用書本知識(shí).

以教材知識(shí)發(fā)展順序?yàn)槌霭l(fā)點(diǎn)，重新編排和整合教科書中絕對(duì)值的定義、例題等，形成以“a「一數(shù)軸一距離”為主線的教學(xué)過程，由絕對(duì)值的幾何意義過渡到絕對(duì)值的代數(shù)意義，幫助學(xué)生精準(zhǔn)理解絕對(duì)值的概念，提升概念教學(xué)價(jià)值.

3.2用心創(chuàng)設(shè)探究活動(dòng)，突破概念理解壁壘

潛心揣摩學(xué)生，“惑其所惑，以利解惑；難其所難，以利化難”，明確學(xué)生在絕對(duì)值概念上的理解壁壘——絕對(duì)值的幾何意義.

精心創(chuàng)設(shè)探究活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中循序漸近地將絕對(duì)值與數(shù)軸、距離建立聯(lián)系，逐漸形成“a|一數(shù)軸一距離”思維，幫助學(xué)生精準(zhǔn)掌握絕對(duì)值的幾何意義，進(jìn)而突破絕對(duì)值概念的理解壁壘，攻克本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)，真正實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生在探索過程中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、理解新知識(shí)、掌握新知識(shí).

3.3順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展，促進(jìn)概念有序構(gòu)建

順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律，搭建思維過渡平臺(tái)，步步深入，促進(jìn)學(xué)生對(duì)絕對(duì)值概念的有序構(gòu)建.

在學(xué)生理解絕對(duì)值概念的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)處，引導(dǎo)學(xué)生建立“絕對(duì)值一數(shù)軸一距離\"思維，縮短學(xué)生進(jìn)人第一個(gè)“最近發(fā)展區(qū)\"的距離，再引導(dǎo)學(xué)生用“a|\"替換“絕對(duì)值”，進(jìn)而建立“a「一數(shù)軸一距離”思維，從源頭上理解絕對(duì)值的幾何意義.

在學(xué)生理解了絕對(duì)值的幾何意義后，持續(xù)開發(fā)學(xué)生的潛能，順勢(shì)向第二個(gè)“最近發(fā)展區(qū)\"跳躍，從本質(zhì)上揭示絕對(duì)值的代數(shù)意義，進(jìn)而讓學(xué)生精準(zhǔn)理解絕對(duì)值的概念.

參考文獻(xiàn)：

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