1 例題呈現

已知橢圓 上有一點 A（0，1） ，設點 O 為坐標原點，直線 l：y=kx+t（t≠±1） 與橢圓 C 交于兩個不同點 P，Q ，直線 AP 與 x 軸交于點 M ，直線 AQ 與 x 軸交于點 N ，若 ∣OM∣?∣ON∣=2 ，求證：直線 ξ_l 恒過定點.

2 方法展示

2. 1 利用斜率乘積為定值

直線過定點的問題，一般需要將直線方程和橢圓方程聯立，通過設而不求的方式得到參數之間的關系，最后得到直線恒過定點.在此過程中要注重直線的幾何位置，利用一些橢圓的二級結論，如經過橢圓兩頂點并交于一點的直線斜率乘積為定值進行列式求解.

證明 若 k=0 則 ∣OM∣?∣ON∣≠2. 當 k≠0 時，設 P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（m 0）， N（n，0） ，則 又因為 ∣OM∣?∣ON∣=2

所以 mn=±2 .

聯立

得 （1+2k²）y²-2ty+t²-2k²=0

代人

得

若

故 2t-2=2t+2 ，矛盾，舍去；

若 ，則 t=0

于是直線 l：y=kx ，即恒過定點 （0，0）

評析掌握一些圓錐曲線中的常用結論，并補充相應的結論證明，就可以列出相關等式進行求解.

2.2 利用坐標變換

坐標變換是一種簡化問題的處理方法，通過對橢圓圖形進行改變，使得其幾何位置更加特殊，從而簡化對直線定點的求解.例如可以通過坐標變換的方式將定點轉化為新坐標系中的原點，再進行反推，證明 設 則橢圓方程變換為

艮 （20

設直線 l：mx^′+ny^′=1 （假設直線 ξ_l 在新坐標下不過原點）.

聯立

（20

得

山

換元得

即 （2+4n）s²+4ms+1=0

由韋達定理得s1S2=2+4n

結合已知條件得 n=0 或 n=-1

當 n=0 時， 即 ，此時直線 ξ_l 的斜不存在，舍去；

當 n=-1 時，直線 ξ_l 的方程為 mx^′2-y^′2=1 ，可知直線 ξ_l 過定點 （0，-1） ，即在原坐標系中的定點為（0，0）.

若直線 ξ_l 在新坐標系下過原點，則在原坐標系中過點（0，1），與題意矛盾.

評析此方法難度較大，需要學生理清兩個坐標系之間的聯系，同時保證運算的準確性.

2.3 利用坐標表示

對于題目中的已知條件，利用解析幾何的基本思想，將幾何條件代數化，從而綜合求解.為此，就需要在坐標系中利用坐標表示將相應的幾何量的大小表示出來，從而得到關于坐標的等式進行求解.

證明 設 P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）， 聯立方程

即 （2k²+1）x²+4ktx+2t²-2=0， 得 Δgt;0 而直線 令 y=0 ，得 1所以 同理 又因為 （y₁-1）（y₂-1）=[kx₁+（t-1）][kx₂+ （204號則 故 ∣t²-1∣=（t-1）² 當 t²-1gt;0 時， t²-1=t²-2t+1 ，所以 t= 1，矛盾，舍去；當 t²-1lt;0 時， 1-t²=t²-2t+1 ，即 t（t- 1）=0 ，而 t≠1 ，故 t=0

綜上所述： l：y=kx 恒過定點（0，0）.

評析合理利用坐標表示的前提是建立合適的平面直角坐標系，同時還要靈活運用直線、點之間的關系，對相應的幾何量進行求解.之后，將幾何條件代數化，如線段長度可以利用兩點之間的坐標公式得出，直線的斜率大小可以由傾斜角的正切值表示，由此即可代入運算.

3結語

上述三種方法是解答直線過定點問題的常用方法.其中方法1和方法3較為常用，教師要保證學生牢牢掌握，并且要在平時的解題訓練中不斷總結歸納常用的二級結論，便于開展解答.而方法2難度較大，有時能有意想不到的效果，可適當選用.