一道拋物線聯(lián)考題的多解探究與教學(xué)思考

1 試題呈現(xiàn)

題目（2025年江蘇四校聯(lián)考14題）已知直線l 的傾斜角為銳角，且經(jīng)過(guò)拋物線 y=x² 的焦點(diǎn)，并與拋物線交于 ^A，B 兩點(diǎn)，若在該拋物線的準(zhǔn)線上存在點(diǎn) c ，使得 ΔABC 為正三角形，則直線 ξ_l 的斜率為試題屬于探究性問題，設(shè)問新穎獨(dú)特.本題以直線和拋物線為載，1考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，檢驗(yàn)學(xué)生了對(duì)解析幾何基本思想的理解與掌握，試題具有較高的區(qū)分度.文章從多角度對(duì)試題進(jìn)行解答，并將結(jié)論推廣到一般的情形.

2試題解答

解法1 如圖1，設(shè)直線 l 的傾角為 θ ，與拋物線 （20準(zhǔn)線 相交于點(diǎn)G. 設(shè) cD 是正 ΔABC 的高，作 AH⊥OF 于點(diǎn) H 設(shè) y 軸與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)

圖1

M.由拋物線定焦半徑

則弦長(zhǎng) 0

因?yàn)?GD=GF+FD ，而 （20 （20

所 GD=GF （20（24號(hào)

在 RtΔGCD 中， GD

所以 化簡(jiǎn)得 解得 ，故直線 ξ_l 的斜率為

評(píng)注該解法從幾何的角度，利用拋物線的焦半徑公式，運(yùn)用算兩次的思想，將 _GD 計(jì)算兩次建立關(guān)于直線 l 的傾斜角的方程，求得答案.

解法2 如圖2，過(guò)點(diǎn) ^A，B 分別作準(zhǔn)線 y 的垂線，垂足分別為 M，N ，直線 AB 交準(zhǔn)線于點(diǎn) P ，設(shè)∠APC=（204號(hào) θ，∠ACP=α. 因?yàn)棣BC 為正三角形，所以

圖2

θ+α=∠APC+∠ACP=∠BAC=60^° ，由拋物線定義得 AM+BN=AF+FB=AB ，在 RtΔAMC 和Rt△BNC得 ACsinα+BCsin（α+60°）=AB. 所以sinα+sin（α+60^°）=1 ，所以 所以 所以 則 故直線 ξ_l 的斜率為

解法3如圖3，設(shè)直線 ξ_l 的傾斜角為 θ ，則∠BEC=θ. 分別過(guò)點(diǎn) ^A，B 作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A^′，B^′ ，過(guò)點(diǎn) c 作 l 的垂線，垂足為 D ，過(guò)點(diǎn) D 作準(zhǔn)線的垂線，垂足為 D^′ .在 RtΔCDE 中， ∠CDD^′=∠DEC =0，設(shè)AB=α，則DD'=

因?yàn)?ΔABC 為正三角形，所以 ，在RtΔCD^′D 中，cos∠CDD' 得 ，所以直線 l 的斜率為

圖3

評(píng)注該解法利用拋物線的定義構(gòu)造直角梯形，結(jié)合直角三角形中的銳角三角函數(shù)求得結(jié)果，解法巧妙自然.

解法4 如圖4，設(shè) y↑直線 l 的方程為 A ，代人 y=x² （204號(hào) DF得 B，則0 C xx_A+x_B=k. 設(shè) AB 的中點(diǎn)為 D ，則 圖4 直線 CD 的點(diǎn)斜式方程為 令 得 k2+k，點(diǎn)C到直線l：kx-y+ 的距離 又 CD 為正 ΔABC 的高，所以 由焦半徑公式得 AB=y_A+ =k（xa+xB）+1=h2+1，則h2+12 （ ，解得 ，故直線 l 的斜率為

評(píng)注該解法運(yùn)用代數(shù)方法，通過(guò)設(shè)直線 l 的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用正三角形的高與邊的長(zhǎng)度關(guān)系建立方程求解，屬于通性通法.

3 延伸推廣

基于試題的背景，我們給出以下推廣.

結(jié)論1已知直線 l 的傾斜角為銳角，且經(jīng)過(guò)拋物線 x²=2py（pgt;0） 的焦點(diǎn)，與拋物線交于 ^A，B 兩點(diǎn)，若在該拋物線的準(zhǔn)線上存在點(diǎn) c ，使得 ΔABC 為正三角形，則直線 l 的斜率為

證明 如圖5，設(shè) y↑

直線 l 的傾斜角為 θ. 則A

∠BEC=θ ，分別過(guò)點(diǎn)T

^A，B 作準(zhǔn)線的垂線，垂 F

足為 A^′，B^′ ，過(guò)點(diǎn) c 作 l （20號(hào) B

的垂線，垂足為 D ，過(guò)點(diǎn) EO D' B' C x

D 作準(zhǔn)線的垂線，垂足

為 D^′ ，在Rt△CDE中， 圖5

，設(shè) ，則

，因?yàn)?/p>

ΔABC 為正三角形，所以 ，在 RtΔCD^′D 中，

得 tanθ=

，所以直線 ξ_l 的斜率為 中此結(jié)冷可以看山此結(jié)冷與地物線無(wú)關(guān) 日

由此結(jié)論可以看出，此結(jié)論與拋物線無(wú)關(guān)，是一個(gè)定值.如果將頂點(diǎn) C 改為拋物線上的任一點(diǎn)，則對(duì)于拋物線的內(nèi)接三角形有如下結(jié)論

結(jié)論2 已知正三角形三個(gè) 頂點(diǎn)均在拋物線 0）上，則 ΔABC 周長(zhǎng)的最小值為 （204號(hào) （2

證明 如圖6，設(shè)

圖6

，由 ^A，C （20

在拋物線 y²=2px 上，則

艮 所以 ，當(dāng) 時(shí)， ΔABC 的周長(zhǎng)有最小值

4教學(xué)建議

（1）強(qiáng)化知識(shí)融合教學(xué)

解析幾何知識(shí)綜合性強(qiáng)，教學(xué)時(shí)應(yīng)將各類知識(shí)緊密融合.教師在授課過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到知識(shí)間的聯(lián)系.比如講解拋物線時(shí)，可融入直線斜率、傾斜角等概念，分析直線與拋物線相交時(shí)這些知識(shí)如何協(xié)同解題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從多維度思考構(gòu)建完整的知識(shí)體系.

（2）注重一題多解訓(xùn)練

授課時(shí)教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極探索多種解題思路，分析討論不同解法的思路和過(guò)程，讓學(xué)生理解不同解法的優(yōu)勢(shì)與適用場(chǎng)景.這不僅能拓寬學(xué)生解題視野，還能鍛煉思維的靈活性和創(chuàng)造性

（3）加強(qiáng)結(jié)論推廣引導(dǎo)

教師在教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型試題進(jìn)行推廣拓展.這一過(guò)程不僅能讓學(xué)生深入理解知識(shí)本質(zhì)，還能培養(yǎng)歸納總結(jié)和邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生站在更高視角認(rèn)識(shí)所學(xué)知識(shí)，從而輕松應(yīng)對(duì)各種變化題型，提升對(duì)知識(shí)的整體認(rèn)知水平.