始于認(rèn)知，妙在多解，歸于本質(zhì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱\"新課標(biāo)\"指出：“數(shù)感主要是指對于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟.\"培養(yǎng)數(shù)感是提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑.在初中階段，新課標(biāo)明確要求學(xué)生“能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實數(shù)，能比較實數(shù)的大小”[2這使得\"實數(shù)大小比較”成為中考數(shù)學(xué)常見的考查題型.然而，對于一些經(jīng)典題目，學(xué)生往往難以從代數(shù)的角度進(jìn)行完整的分析論證.對此，新課標(biāo)明確指出：“課程內(nèi)容特別強(qiáng)調(diào)的代數(shù)推理和幾何直觀，需要體現(xiàn)螺旋上升”[3基于初三備考學(xué)生的認(rèn)知水平，以一道中考改編題為例，從多種視角探討“實數(shù)大小比較\"的解題策略，并嘗試剖析解法之間的通性，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì).

1原題與改編題

原題（2018年江蘇省南京市中考第3題）下列無理數(shù)中，與4最接近的是（ ）.

A. B. C. D.

改編題下列無理數(shù)中，與4最接近的是（ ）.

A. B. C. D.

2基于原認(rèn)知，探尋思維生長點(diǎn)

在初中階段，學(xué)生雖已掌握實數(shù)的基本概念、分類框架、運(yùn)算規(guī)則、大小比較方法以及實數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)關(guān)系等基礎(chǔ)知識，并初步建立了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，但仍存在明顯的認(rèn)知局限，具體表現(xiàn)為：學(xué)生在面對原題時，僅能給出“因為 ，所以 與4最接近”的表層解釋，其判斷依據(jù)是“被開方數(shù)16與17更接近”.然而，當(dāng)被開方數(shù)差值相同時，如比較 與 何者更接近4，這種經(jīng)驗性判斷就會失效.為此，筆者對原題進(jìn)行教學(xué)改編得到改編題.已知 ， ，接下來只需探究 與 哪一個與4更接近.這一改編問題促使學(xué)生不得不找到解決此類問題的普適性方法.

對于“ 與 哪一個與4更接近\"這一問題，顯然對“更接近\"的理解很關(guān)鍵.下面嘗試從不同的角度進(jìn)行理解，尋找解決問題的路徑.

（1）從“數(shù)”的角度，兩數(shù)之間的“接近\"程度可以用它們的差值大小來衡量，即“ 與 哪一個與4更接近”可以轉(zhuǎn)化為 與 哪個更小”，這樣問題就轉(zhuǎn)化為兩個非負(fù)無理數(shù)比較大小的問題，常用的比較方法有作差法、作商法等.

（2）從“形”的角度，所謂“數(shù)形不分家”，任意實數(shù)均與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，那么也可以通過數(shù)軸上點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離來直觀地看出哪個點(diǎn)與4“更接近”.

（3）從“函數(shù)”的角度來看，當(dāng)用動態(tài)變化的觀點(diǎn)審視研究對象 時，若將其表示為 、 、 等開方的形式，則更能突顯其中蘊(yùn)含的函數(shù)思想與變化規(guī)律.

（4）從數(shù)形結(jié)合的角度分析，改編題的解題突破口為被開方數(shù)差值相同這一關(guān)鍵特征，即滿足（20 的數(shù)量關(guān)系.基于這一代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，可以嘗試構(gòu)造相應(yīng)的幾何圖形，從而找到解決問題的新路徑，

3基于多視角，探究解決路徑

3.1從“數(shù)\"的角度

4 與 哪一個與4更接近\"轉(zhuǎn)化為\"非負(fù)數(shù) 與 哪個更小”

方法1：作差法（若 a-bgt;0 ，則有 agt;b ）

因為 8²=64 ， ， ，所以 ，即 8²gt; ，所以

因此 ，即 ，所以與4更接近的是 ：

方法2：倒數(shù)法（當(dāng) δ_a，bgt;0 時，若 則有agt;b ）

因為 ，又因為 ，所以 即與4更接近的是

上述兩種方法都是實數(shù)比較大小的常用方法，但要注意的是倒數(shù)法適用于兩數(shù)同號（兩數(shù)都是負(fù)數(shù)時，先取相反數(shù)再進(jìn)行比較）的情況，對于兩數(shù)異號的情形，結(jié)論顯而易見.

3.2從“形”的角度

借助數(shù)軸表示 ，那么4與哪個數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)更接近，意味著數(shù)4與那個數(shù)更接近.

方法3：圖示法.

如圖1，假設(shè) 在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)分別為 A，B，C ，則 ，下面只需比較線段 _AB 與 BC 的長度即可，即比較 4- 與 的大小.由上可知， ，即 ABgt;BC ，所以數(shù)軸上表示數(shù)4的點(diǎn)與表示數(shù) 的點(diǎn)離得更近，故與4更接近的是

方法4：中點(diǎn)法.

假設(shè) 在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)分別為 A 、B，C ，記線段 AC 的中點(diǎn)為 D ，其對應(yīng)數(shù)為 .欲比較 與 哪一個與4更接近，故只需比較點(diǎn) B 與點(diǎn) D 的位置關(guān)系，進(jìn)而只需比較4與√15+√17 的大小關(guān)系.可采用作差法（同方法1），易證4gt; （20 ，即點(diǎn) B 在點(diǎn) D 的右側(cè)，故點(diǎn) B 與點(diǎn) C 更接近，進(jìn)而4與 更接近

3.3從“函數(shù)\"的角度

本題的研究對象是 、4、 ，即 / 、 三者之間的關(guān)系，若嘗試用函數(shù)的視角審視問題，也能找到解決問題的方法，

方法5：函數(shù)法.

把被開方數(shù)看成自變量 x ，用 表示這個數(shù)的算數(shù)平方根，則有 .借助畫圖軟件可得其函數(shù)圖象（如圖2），由圖象可得，從左向右看，曲線呈上升趨勢，且越來越緩，即當(dāng)自變量的增量一樣時，因變量的增加量越來越小，易得4與 更接近

函數(shù) 的圖象和相關(guān)性質(zhì)對于學(xué)生來講有一定的難度.但稍加變形，就會變成他們熟悉的函數(shù)，即對于 兩邊同時平方，得 y²= x ，也可寫為 x=y² .若我們把 看作自變量， x 看作因變量，此時 x 是 的二次函數(shù).易畫出函數(shù) x= y² 的圖象（如圖3），從左向右看，該拋物線的變化趨勢呈上升趨勢，且越來越陡，即當(dāng)自變量的增量一樣時，因變量的增加量越來越大，反之，當(dāng)因變量的增量一樣時，自變量的增加量越來越小，所以4與 更接近.

3.4從“構(gòu)圖”的角度

觀察研究對象 ，不難發(fā)現(xiàn)這三個數(shù)平方后有如下關(guān)系： 1，由式的結(jié)構(gòu)聯(lián)想圖形，可以嘗試構(gòu)造正方形或者直角三角形，利用面積或勾股定理找到解決問題的方法，具體操作如下.

方法6：構(gòu)造正方形，巧用面積.

分別以 這三個數(shù)為邊長構(gòu)造正方形且按照圖4進(jìn)行擺放（將三個正方形的左下角重合），易知圖4中兩個“7字形\"陰影部分的面積分別為 ，所以 S₁=S₂=1. 將兩個陰影部分分割重組得到兩個矩形（如圖5），其中第一個矩形的長、寬分別為 4、 ，第二個矩形的長、寬分別為 、 .因為 S₁=S₂ 且 ，所以 ，即與4更接近的是

方法7：構(gòu)造直角三角形，妙用三角形三邊關(guān)系.

如圖6，在 RtΔABD ， ∠A=90^° AD=4 ，BD= ，由勾股定理可得 在AD 上截取 ，則 .連接 BC 在 RtΔABC 中，同理可得 在 ΔBCD 中，由三邊關(guān)系可得 BD-BC ，所以與4更接近的是

3.5類比探究

因為研究的對象是 ，也就是 、 、 ，即被開方數(shù)為三個連續(xù)的整數(shù)，所以學(xué)生可以聯(lián)想到更一般的情況，即被開方數(shù)若為任意三個連續(xù)的整數(shù)，即在 與 、 中哪個更接近（其中 n 為自然數(shù)）？不妨研究最簡單的情形

因為 可知與 更接近的是 .類似地，可以大膽猜想：實數(shù) 、 、 （其中 n 為自然數(shù)）中， 與 更接近.因此 與 中，與4更接近的是 ·

該類比方法屬于不完全歸納法，具體解法仍需要進(jìn)行一般化的證明，

4基于通性分析，凸顯解題本質(zhì)

一題多解在數(shù)學(xué)問題的解決中十分常見.面對同一問題時，學(xué)生因不同的認(rèn)知理解、思維習(xí)慣，給出的解決方案也會不同.但也正因問題條件的一致性，看似各異的解法也存在著聯(lián)系.本題中“ 與 哪一個與4更接近\"本質(zhì)上就是 與 哪個更小”.上述方法看似各異，其實只是用不同的形式呈現(xiàn).上述解法主要從數(shù)和形兩個角度進(jìn)行展開，其中蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)通性

4.1通性揭示：由數(shù)到形的逐步直觀

比較兩數(shù)的大小，通常有作差法和作商法（兩數(shù)同號），如果嘗試把 在數(shù)軸上表示，則數(shù)的大小就轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的遠(yuǎn)近，此法更為直觀，但在進(jìn)行比較時依然離不開數(shù)的刻畫.如果根據(jù)特殊到一般的思考模式，本題其實是在研究 / F 的問題.回顧方法5中的圖2、圖3，數(shù) 、4、 對應(yīng)在 軸上的三個點(diǎn)，與圖1一致，但依據(jù)函數(shù)圖象的變化速率，可以更直觀地得到4與 更接近.

4.2數(shù)據(jù)特性：平方差結(jié)構(gòu)的多重關(guān)聯(lián)

考慮所給數(shù)據(jù)的特殊性，即 由式子特有的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以嘗試從不同的角度鼓勵學(xué)生進(jìn)行知識串聯(lián)，發(fā)展多種思維，如求倒數(shù)的分母有理化過程，可以出現(xiàn)上述平方差的式子.平方差的式子結(jié)構(gòu)可以聯(lián)想構(gòu)造兩個正方形的面積差，方法6兩個陰影部分構(gòu)成的矩形的面積為1，通過轉(zhuǎn)換比較兩條較長邊的大小 （4+""，進(jìn)而比較兩條較短邊的大小 （4-""，而這其實就是方法2的推理原理.

同時，平方差的結(jié)構(gòu)可先聯(lián)想直角三角形中的勾股定理，然后構(gòu)造兩個直角三角形且共邊（如圖6），""就對應(yīng)三角形的三條邊長，最后利用三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行判斷.

5結(jié)語

本文通過對一道典型例題的多維度解法探究，不僅為“實數(shù)大小比較\"這類經(jīng)典問題提供了系統(tǒng)的解題策略，更重要的是構(gòu)建了從數(shù)值計算到函數(shù)分析、從代數(shù)推理到幾何直觀的完整思維框架，使得表面直觀的問題能夠通過嚴(yán)密的邏輯推理得到驗證，進(jìn)而實現(xiàn)學(xué)生思維過程的可視化展示.在實際教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)以理解題意為基礎(chǔ)，通過一題多解的教學(xué)設(shè)計來培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建多元化解決方案的同時，注重不同方法之間的比較分析，深入探究各種解法之間的內(nèi)在聯(lián)系.這種教學(xué)方法既能優(yōu)化解題策略，又能揭示思維本質(zhì)，從而有效拓展學(xué)生的問題分析視角，全面提升其數(shù)學(xué)問題解決能力和學(xué)科思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)

[1]

[2]

[3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.