精心選編學材，追求思維進階

最近參加某地名師工作室課堂教學研討活動，觀摩了一位青年教師執教的銳角三角函數（第1課時）.該教師為了突出“一境多用”的設計理念，對教材上的生活情境進行了改編，但是在“正弦\"等新知生成之后，又讓學生進行探究度量、計算近似值等思維層次較低的課堂活動，與教學設計要符合思維進階的認知規律不符.因此，探究精心選編學材，追求思維進階的教學策略至關重要.

1銳角三角函數（第1課時）的觀課流程

1.1教學環節（一）：創設情境，引入新知

問題一次數學綜合實踐活動課上，為了測量學校旁邊某小山的高度 AC （如圖1），九年級2班數學研究小組查閱到索道 AB 的長約 600m ，并測量了索道與地平面的夾角約為 40^° ，能否求出 AC ？

斜邊的一半\"性質.通過對話追問，讓學生確認“只要直角三角形中有一個銳角為 30^° ，則不管直角三角形的三邊長怎樣變化， 30^° 角所對的直角邊都等于斜邊的一半.\"在此基礎上，教師又將銳角 30^° 變為 45^° ，組織學生確認了“在直角三角形中， 45^° 角所對的直角邊與斜邊的比值也是一個定值

繼續出示圖3，在兩個直角三角形中，將 ∠B 和∠B^′ 的度數記為 α ，組織學生確認“在兩個直角三角形中， α 角所對的直角邊與斜邊的比值是相等的，且為一個定值.\"師生共同歸納出性質：在直角三角形中，當一個銳角的度數一定時，無論這個直角三角形的大小如何，這個銳角的對邊與斜邊的比都是一個固定值.接下來，教師講授并板書正弦的概念、符號表示.

學生理解題意后表示能夠求出小山高度，但沒有想到好的方法.教師啟發學生，關鍵就是在直角三角形ABC中思考.啟發之后，學生還是沒有進展.教師提出“如果圖1中 ∠ABC 是一個特殊角度，如 30^° .你們能求出 AC 的長嗎\"的問題.有學生立即報出答案應該是 300m. 教師肯定了這位學生的解答.

接著，教師在課件上出示圖2，讓學生回顧八年級已熟知的“直角三角形中， 30^° 角所對的直角邊等于

1.2教學環節（二）：例題講評，鞏固新知教師組織講評以下兩道例題

例1求特殊角 30^°，45^°，60^° 的正弦值.

例2直角邊長分別為3，4的直角三角形，求該直角三角形中兩個銳角的正弦值.

教師先安排學生求解例1，并啟發學生可以借助三角尺進行求解.在學生求解之后，教師組織學生匯報并核對結果.對于例2，學生根據正弦定義，很快也解決了問題.到這里，本課時的教學已進行了30分鐘，

1.3教學環節（三）：回看情境，解決問題

教師組織學生繼續回看最初的小山測高問題，讓學生在草稿本上畫出一個含 40^° 的直角三角形，分組度量該直角三角形中三邊的長度，從而計算 40^° 角的正弦值.各小組匯報度量結果并計算得出的sin 40^° 的近似值，不同小組學生出現一些近似數值.教師先建議取各組算出的平均值，再利用這個平均值去解出小山高度的近似值.這個教學過程共用去10分鐘左右，學生分組交流、全班匯報展示，課堂上學生踴躍展示的氛圍很好，

1.4教學環節（四）：課堂小結，布置作業

教師引導學生總結本節課所學內容，增強學生對新知的理解.在學生完成梳理后，教師布置相應的作業

2觀課簡評

從以上幾個教學環節來看，這節課是認真打磨過的，對教材上第1課時的內容進行了改編，體現了“學材再建構”的設計理念.然而，作為銳角三角函數的第1課時，不少初中數學教材上也是與測高相關的生活情境，且所給的銳角度數正是 30^° .本次研討課將教材上的特殊角度 30^° 改為一般角度 40^° 作為導人情境，雖更加貼近學生的生活現實，但是開課即遇到一個不熟悉的角度，影響了新知的引入與生成，只能由教師比較生硬地將 40^° 再特殊化為 30^° ，回歸教材預設的知識建構路徑.在教學環節（三）中，教師引導學生回看開課情境，讓學生分組度量、計算近似值，并借助所學正弦的方法求解開課問題，看似不同教學環節之間的前后呼應、“一境多用”，但是違背了課堂教學活動在思維層面上的拾級而上、循序漸進，沒有讓學生的數學思維有序進階.

3精心選編學材，追求思維進階

3.1在深刻理解教材內容的基礎上再重組學材

章建躍教授在有關“教學設計意圖\"的解讀時曾指出“加強單元教學設計基礎上的課時教學設計研究積極探索基于情境和問題導向的互動式、啟發式、體驗式等課堂教學.\"筆者以為，回歸數學本質需要教師在備課時認真研讀教材，深刻理解教材編寫意圖，而不能僅以貼近學生生活現實為由隨意選取生活情境.就像上文課例中的情境創設一樣，雖然貼近了學生生活現實，但是所選角度 40^° 對于引出“正弦\"新知沒有太多的意義，反而增加了學生理解新知的難度，沒有達到突出主干、開門見山的求簡追求.此外，教師在教學設計、重組學材時，要充分考慮思維進階的立意與“一境多用\"之間的平衡或取舍.

3.2全課教學活動要拾級而上并追求思維進階

旅美華人數學家季天巖教授有一個教學思想：“理解高深或抽象的數學必須從理解初等或具體的數學入手.這是因為任何抽象的數學概念，其源頭并不是哪個天才大腦靈光一現的無中生有，而是對具體現象基于直覺總結規律的理論提取.\"[2基于以上認識，在初中數學新授課教學設計時，教師應特別重視從一些具體的、簡單的、特殊的數學內容出發，引導學生從中提取、總結、概括出新知.以銳角三角函數的新知引出為例，不少教材都是從含特殊角的直角三角形出發，先關注這類直角三角形的三邊之比，然后有序研究某個銳角所對的直角邊與斜邊之比，最后改變直角三角形的大小并不影響上述比值，并借助相似三角形進行推理證明，從而引出正弦的概念.這樣的教學活動拾級而上，達成了思維進階的目標意圖.在此基礎上，學生可以運用新知解決問題.然而在同一節課，不宜出現上面提到的“教學環節（三）”，因為到了課堂后半段的度量、計算求近似值的思維含量顯然要低于推理證明，這樣的教學設計不太符合思維進階的認知規律.事實上，作為當前新課標所倡導的單元整體教學的要求，全課后半段完全可以繼續組織學生研究余弦、正切的概念，將銳角三角函數的主要概念都建構出來，這也符合同類概念“成果擴大\"的思維進階追求.

3.3例題習題選編要聚焦主線并突出新知運用

數學教學設計中還有一個重要環節，即例題與習題的選編.由于教材上的例題、習題的量偏少或過于簡單，目前不少規模較大學校都由備課組組織編寫每個課時的導學案或活動單.在這些資料上例題、習題的數量都較大，而且有些例題、習題是直接選自各地中考真題或縣區期中（期末）試卷.選編這些考題的意圖“很直接”一對接考試、精準教學.正如一線教師研究者指出的：“備課工作中最重要的就是精選習題、改編習題，而不能奉行簡單的‘拿來主義.\"[3]只要與本課復習內容有點聯系就可進入教學內容，這是目前很多教學設計在選題環節的典型誤區.對于新授課教學設計中的例題、習題選編，筆者以為要嚴控例題、習題的數量.通常情況下，教材上的例題、習題已能滿足教學要求，不要過早、過多直接引用各地考題嵌入新知教學中來.因為一節課中有過多的例、習題，往往會擠占新知引出生成、歸納概括的教學用時，不利于學生深刻理解數學概念.那種“一個定義、三項注意、大量練習\"的教學方式早已被批判過，所以教師在新授課教學設計時要加以傾聽和回避

參考文獻

[1]章建躍.強化思維教學，落實核心素養（一）—“第十一屆高中青年數學教師課例展示活動”總結J」中國數學教育， 2023?4- 10+32

[2]丁玖.走出混沌：我與李天巖的數學情緣[M.上海：上海科技出版社，2021.

[3]包嚴梅.復習課備課選題要特別重視\"內容效度”—從不同課型中正方形習題的選編說起[J].中學數學，2020（10）：48一49.