探源·問徑·破繭：HPM視角下三維教學模式的實踐與啟示

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）06-0036-06引用格式：.探源·問徑·破繭：HPM視角下三維教學模式的實踐與啟示：以復數章起始課為例[J].中國數學教育（高中版），2025（6）：36-41.

一、問題提出

數學教育的目標不僅是知識的傳遞，還是思維能力的培養與文化價值的傳承．在數學的發展歷程中，復數的引入是一個重要的里程碑，其概念的發展歷經數百年的爭議與突破，最終在代數、幾何、物理及工程領域展現出強大的生命力．然而，在實際教學中，教師往往將復數的抽象性與歷史背景割裂，甚至忽略不教，導致學生陷入“為學而學”的困境，機械記憶i²=-1 的符號規則，雖能熟練進行復數相關運算，但難以理解其本質意義．這種去情境化的教學模式，不僅削弱了學生的探究興趣，還妨礙了學生數學思維、創新能力和遷移能力的發展．

在復數章起始課的學習中，遇到的困難可能有二：一是因缺乏現實中的具體應用實例，復數的概念對學生來說顯得較為抽象，難以被掌握；二是由于高中生的認知基礎和認知能力有限，他們對數系擴充的核心邏輯缺乏足夠的理解，虛數單位概念的引人也容易使其產生認知困惑.

二、教學設想

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）指出，如何將數學史融入中小學數學教學是數學教育領域的一個重要課題．在教學中，教師通過數學概念和思想方法的歷史發生發展過程，不僅可以使學生感受豐富多彩的數學文化，激發學生學習數學的興趣，還有助于學生對數學概念和思想方法的理解．近年來，數學史與數學教育 （HPM）的融合、探究式學習理念的推廣，以及以核心素養為導向的課程改革，為復數教學提供了新的視角．為此，筆者從探源（歷史溯源）、問徑（問題鏈驅動）、破繭（思維突破）三個維度出發，提出以下教學設想.

歷史維度：從卡爾丹（GirolamoCardano）的“分十問題”和萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz）得到的方程引發的數學危機重構教學情境，類比從自然數系逐步擴充到實數系的過程和方法，實現從實數系到復數系的擴充，讓學生了解復數的數學史，激發學生的學習興趣，幫助學生理解數學知識的生長性.

問題鏈維度：復數的抽象性與學生的固有認知存在斷層，通過設計階梯式問題鏈，將復雜概念分解為可以探究的認知階梯，分解學習難點，引導學生在解決矛盾的過程中逐步突破思維障礙，促使學生對復數概念的認識從被動接受轉向主動建構.

思維維度：借助幾何直觀（復平面旋轉模型）與類比遷移，幫助學生突破實數思維的局限，打破“虛數即虛構”的思維定式，引導學生建立代數、幾何的雙向聯結，在幾何直觀與邏輯推理的協同作用下突破固有思維局限，發展學生的邏輯推理和直觀想象素養.

三、教學實錄

1.情境引導，再現歷史

數是人類社會與科學活動中不可或缺的基礎語言和工具．到目前為止，我們一直在實數的領域中探索，實數似乎能夠應對所有問題，但這真的可以嗎？早在16世紀，意大利數學家卡爾丹提出了這樣一個問題.

問題1：能否將10分成兩部分，使兩者的乘積為40？

生i：設其中一個數為 x ，則另一個數為 10-x ，于是得到關于 x 的一元二次方程 x²-10x+40=0 ．這個方程的判別式 ，說明該方程在實數范圍內無解.

【設計意圖】引領學生重溫歷史，感受數學的發現并非神秘莫測，數學家也是從常規性問題開始研究的.

師：卡爾丹當時也覺得該方程沒有實數解，說明要找的兩個數根本不存在.但是后來他竟然找出了兩個數，即 ， ．拋開這兩個數的合理性，我們先來檢驗一下它們是否符合方程的條件．這兩個數的和與積分別是多少？

生2：這兩個數的和是10，積是40.

師：說明這兩個數能滿足問題1的要求，但是出現了負數開平方的問題．因此，當年卡爾丹雖然找出了這樣兩個數，并稱為“詭辯式的數”，但是并未完全接受．負實數的開平方問題，數學家們一直在回避，直到17世紀德國數學家萊布尼茨研究了另一個數學問題，得到了一個矛盾的結果時，才不得不面對這個問題，

問題2：已知 x ， y 滿足 x²+y²=2，xy=2 ，求 x ， y 的值.

師：由 x ， y 滿足 x²+y²=2 ， xy=2 ，得 x²+y²+ 2xy=6 .得到 （當時還未接受負數）.根據根與系數的關系， x ， y 是方程 的兩個根，但是這個方程的判別式 ．因此，該方程沒有實數根．萊布尼茨嘗試用一元二次方程的求根公式得到了x=√6+√-2 ， ，接著神奇的事情出現了，我們發現 ：

追問：由此你是否能夠發現神奇的地方在哪里？

生3： x+y 的值是存在的，但是 的值并不是實數.

【設計意圖】重現歷史經典故事，讓學生體驗數學家的困惑，產生思想碰撞，打破原有認知觀念，培養創新意識，為引入復數做好自然而然的鋪墊．

師：由此可見， x ， y 是真實存在的，也間接證明了盡管 不是實數，但它確實是有意義的.萊布尼茨問題重現了卡爾丹問題中負數開平方的問題，但是矛盾更明顯、更突出，在實數范圍內無法對這個問題進行解釋，實數集不夠用了，怎么辦？

生4：擴大實數的范圍.

【設計意圖】體會實數系擴充的必要性，進而引出本節課的課題.

2.類比遷移，重溫擴充

數的發展史源遠流長，歷史上對數的認識總是在矛盾中不斷發展，讓我們一起回顧歷史上數系的擴充歷程，

師：遠古人類為了計數，用“結繩”“堆石”等方法表示個數，創造了自然數，又把表示“什么也沒有”的“0”也歸入自然數，于是形成了自然數集．因此，自然數是被“數”出來的．后來，人們打獵歸來遇到了分配問題，如5個人獵獲3只羊，該如何分配獵物呢？于是產生了分數．因此，分數是被“分”出來的．那么，負數又是如何產生的呢？負數的產生與債務有關，據《九章算術》記載，用紅色算籌（正算）表示收人或盈余，用黑色算籌（負算）表示支出或債務，并提出“兩算得失相反，要令正負以名之”因此，負數是被“欠”出來的．至此，數集就擴充到了有理數集．約2500年前，古希臘畢達哥拉斯學派的成員希伯斯（Hippasus）發現邊長為1的正方形的對角線的長度是個奇怪的數，這個數既不能用整數表示，也不能用分數表示，于是開始猜想在有理數之外，是否還存在別的數．幾百年之后，無理數終見天日，形成了我們迄今為止學到的最大數集一一實數集.

師：從上面數集的擴充史可以看出，歷史上每一次數集的擴充，都來自生產生活中的需求．同時，數學內部的需求也進一步推動了數集的發展．數集從自然數到實數的擴充路徑如圖1所示.

問題3：每一次數集的擴充，都有哪些特點？

圖1

【設計意圖】學生在小學和初中階段已經學習了上述數的發展史，這是學生學習本節課知識的生長點．讓學生了解數的產生不是從天而降的，幫助學生梳理數集擴充的過程，從自然數到實數的每一次擴充都源于實際問題和數學問題的需要.

問題4：我們把一個數集連同規定的運算及滿足的運算律叫作一個數系，那么，每一次數集擴充后，在運算法則和運算律上遵循什么規則呢？試完成表1.

表1

追問：這幾次數系擴充有哪些共同特點？

生：都引入了新數，原有的運算在新的數集中可以實施，加法和乘法的運算法則和運算律仍然成立.

【設計意圖】引導學生梳理已經學習的從自然數集逐步擴充到實數集所體現的規則，培養學生的歸納、概括與表達能力，為數系的再一次擴充及如何擴充打下堅實的基礎，突破本節課的一個教學難點．

師：每一次數系的擴充都是因為原數系中的“數”不夠用了，每一次都引入了“新數”，原有的運算律在新的數系中仍然適用，解決了原數系中不能解決的運算．數學知識的發展過程就是不斷發現和解決矛盾的過程，數的發展也是如此，

3.類比實數，建構新知

問題5：回到卡爾丹和萊布尼茨所研究的數，即 和 .對于 和 ，如何讓它

們有意義呢？

生6： 可以寫成 ， 可以寫成 .要使 和 有意義，只要 有意義，那么所有負數開平方的問題就都解決了．因此，問題轉化為找一個數使得它的平方等于-1.

【設計意圖】任何一個負數都可以轉化為它的絕對值與-1之積，問題轉化為如何解決-1的開平方運算.類比有理數系的擴充，需要引入一個新數，使其平方為-1，讓學生意識到引入新數的必要性和必然性.

追問：根據數系擴充的原則，你認為應該如何合理規定新數？

生，：新數與實數進行四則運算時，加法和乘法的運算律始終保持不變.

【設計意圖】類比有理數系擴充到實數系的規則，對實數系進一步擴充，引入復數及四則運算，將實數擴充到復數，體現擴充過程中理性思維的作用．

PPT展示：瑞士數學家歐拉（LeonhardEuler）最早引入虛數單位i（取自imaginary一詞的詞頭），并規定 i²=-1 ，且實數可以與i進行四則運算，運算時原有的關于加法與乘法的運算律（包括交換律、結合律和分配律）仍然成立.

問題6：引人虛數單位i后，你能求出方程 x²=-1 的解嗎？

生8：求出方程 x²=-1 的解為i.

生：方程 x²=-1 應該還有一個根 -i 追問：能寫出卡爾丹和萊布尼茨所研究的數了嗎？生0：5±√-15=5±√I5i，√6±√-2=√6±√2i【設計意圖】呼應問題情境，讓學生體驗成功的喜悅.

我們知道，數軸上的點與實數一一對應．如圖2，數軸上的點 A 對應實數1，點 A^′ 對應實數-1．如果將^-1 表示為1乘-1，那么-1可以看作將數軸上的點 A 繞原點 o 逆時針旋轉 180^° 得到的點 A^′ ．同理，1可以看作（-1）×（-1） ，在數軸上相當于將點 A^′ 繞原點 o 逆時針旋轉 180^° 得到點 A ·

圖2

問題7： i²=-1 可以看作 -1=i×i ，類比實數的幾何意義，如何理解i的幾何意義？

生 ₁₁ ：根據實數的幾何意義， -1=1×（-1） 表示將數軸上的點 A 繞原點 o 逆時針旋轉 180^° 得到的點 A^′ 因此， -1=1×（-1）=1×i×i 相當于將數軸上的點 A 繞原點 o 逆時針作兩次 90^° 的旋轉，如圖3所示.

圖3

【設計意圖】通過類比實數的幾何意義，啟發學生思考，打破“虛數即虛構”的思維定式，引導學生建立代數與幾何的聯結.

追問1：將1乘 ^-1 ，其對應點在數軸的反方向上，那么將1乘i后的點落在哪里呢？數軸上的非零實數 α_a 乘i后的點又落在哪里呢？

生 ₁₂ ：根據前面同學的做法，1乘i后的點相當于1對應的點繞原點 o 逆時針旋轉 90^° ，該點在過原點 o 且垂直于數軸的直線上，數軸上的非零實數 Ψ_a 乘i后的點相當于數 Ψ_a 對應的點繞原點 o 逆時針旋轉 90^° ，該點也在過原點 o 且垂直于數軸的直線上，如圖4所示.

圖4

師：于是產生了一條新數軸，該數軸過原點 o 且垂直于原數軸．我們稱原數軸為實軸，新數軸為虛軸．任意一個實數 α_a 對應的點都在實軸上，任意一個ai（a≠0） 對應的點都在虛軸上.

追問2：我們知道將實軸上的數1向右平移一個單位得到實數2，那么將虛軸上的數 Δai 向上平移一個單位的數是多少呢？再向右平移一個單位的數又是多少呢？

師：我們一起來看下，ai是將實軸上的非零實數 a 繞原點 o 逆時針旋轉 90^° ，數 Ψ_a 向右平移一個單位得到 ，若將 a+1 繞原點 o 逆時針作 90^° 旋轉得到的數為 （圖5）.由此可見，上下平移與i有關，左右平移與i無關．那么，將實軸上的數 a 向上平移 b 個單位得到的數為 a+bi （圖6）.這樣一來，由實軸和虛軸確定的平面上的所有數都可以用數 表示，我們稱該平面為復平面．復平面上的點 與數 一一對應.

圖5

圖6

【設計意圖】通過兩個追問，啟發學生生長思維，培養學生的數學抽象和邏輯思維素養，從而得到復數的幾何意義，為后面學習復數相等作鋪墊．

我們把形如 的數叫作復數，其中i叫作虛數單位．全體復數構成的集合 C={a+bi|a，b∈R} 叫作復數集．復數一般用字母 z 來表示，即 z=a+bi ，其中的 Ψ_a 與 b 分別叫作復數 z 的實部與虛部.

4.運用新知，深化概念

例1說出表2中復數的實部和虛部，以及在復平面內對應的點所在的象限.

表2

問題8：你能根據例題中復數的實部和虛部的不同取值情況，對復數進行分類嗎？

生 ₁₃ ：根據復數的實部和虛部的不同取值情況，可以對復數 進行分類，如圖7所示．

圖7

追問：你能得出復數集C與實數集R之間的關系嗎？

生4：復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系，可用圖8表示.

圖8

【設計意圖】通過具體例子的學習，引導學生根據復數的實部和虛部的取值情況對復數進行分類，學生在問題解決的過程中內化復數的概念，從而順利得出復數集與實數集的關系．

例2當實數 m 取什么值時，復數 z=m+1+ （m-1）i 滿足下列條件？

（1）實數;

（2）虛數;

（3）純虛數;

（4）在復平面內的點在第二象限.

【設計意圖】通過例題鞏固復數的分類及其幾何意義，進一步熟悉復數的分類標準，完善認知結構.

問題9：類比向量相等的定義，你能說出復數相等的定義嗎？

生 ₁₅ ：由復數的幾何意義可知，兩個復數相等就是復數在復平面上的點重合，只需復數的實部和虛部對應相等即可．因此，復數相等可以定義為 a+bi= c+di?a=c 且 b=d ：

追問：結合兩個復數相等的定義，完成例3.

例3求滿足下列條件的實數 的值.

（1） （x+y）+（y-1）i=（2x+3y）+（2y+1）i （2） （x+y-3）+（x-2）i=0. （204

【設計意圖】引入新的數學對象時，為了保證對象的確定性，需要明確兩個元素相等的含義，教師要培養學生具有這種意識．

5.課堂小結，理性升華

問題10：通過本節課，你學會了哪些知識？運用了哪些方法？

追問：回顧數系的擴充史，你有哪些感悟？

【設計意圖】通過對本節課知識的回顧、總結，以及教師補充提煉的方法，深化學生對復數知識的認

識，幫助學生體會其中蘊含的數學思想方法．同時，對數系擴充史的回顧，讓學生體會了學習復數的重要意義.

6.作業布置

必做題：人教A版《普通高中教科書·數學》必修第二冊第七章習題7.1的第1題、第2題和第3題.

拓展題1：通過網絡閱讀沈致遠先生的《說數》一文，并探尋文中最后提出的問題的答案．（問題：數的發展史是否還有新的篇章？）

拓展題2：搜集最美數學公式 e^iπ+1=0 的相關資料，了解該公式的優美之處.

【設計意圖】必做題是使學生在課后對復數的代數形式、相關概念、分類及復數相等的含義進行鞏固加強．拓展題是為了讓學生了解數的發展史，引起學生對數學更廣泛的興趣，激勵學生鉆研數學的奧秘．

四、教學啟示

復數的產生和發展是數學家們辛勤耕耘的結果，是思想觀念的一種突破．作為復數的章起始課，整節課從HPM視角出發，以探源（歷史溯源）、問徑（問題鏈驅動）、破繭（思維突破）為主線，實現由現實問題到任務生成的復數概念構建，有效培養了學生的數學核心素養，幫助學生理解“為什么學？學什么？怎樣學？學得怎么樣？”等問題，提升學生的數學思維，真正發揮了概念教學的育人功能.

1.歷史溯源，了解數學發展歷程

《標準》指出：“在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程.”單從知識獲取的層面而言，學生即使不了解數學史，也能夠在考試中完成很多與教學內容相關的問題的求解．但是，數學是自然的，在教學中通過重構數學史，創設符合學生認知規律的問題情境，讓學生了解數學的發展歷程，引發學生的認知沖突，讓他們體會數學家解決問題的歷程，幫助學生理解數學知識的生長性，對于激發學生的數學學習興趣，幫助學生形成適應終生發展和社會發展需要的必備品格發揮重要的作用.

2.問題鏈驅動，推動學生主動探究

《標準》指出：“在教學活動中，應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，使用恰當的數學語言描述問題，用數學的思想、方法解決問題.”在教學中，教師要努力探索概念背后的深層次數學問題，讓學生成為問題探究的主體，通過設置問題鏈的形式，分解學習難點，引導學生主動探究，形成知識遷移．當然，問題鏈的設置要符合學生的認知規律，兼備廣度、深度與關聯度，使問題鏈成為學生思維的觸發器，充分調動已有的經驗去解決遇到的新問題，親身經歷概念生成和生長的過程，實現學生對概念的自主探究.

3.思維突破，提升數學核心素養

《標準》明確提出：“數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.”這些素養的形成需要學生在真實的問題情境中經歷發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的完整過程，在這個過程中，要先培養學生的數學理性思維．理性思維是人類思維的高級形式，是人們把握客觀事物本質和規律的思維活動.數學概念教學的本質是思維的教學，可以有效培養學生的理性思維．因此，在教學過程中，將理性思維的培養嵌入概念建構的每個環節，才能讓學生在“知其然”“知其所以然”的過程中，真正發展數學核心素養.

參考文獻：

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[3]呂天璽，王光明．基于數學核心素養的“復數”教學設計[J].數學通報，2018，57（6）：39-43.