學(xué)科實(shí)踐理念下高中數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的教學(xué)研究

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）06-0031-06引用格式：，．學(xué)科實(shí)踐理念下高中數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的教學(xué)研究：以“祖晅原理與空間圖形的體積”的教學(xué)為例[J]．中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（6）：31-35，41.

一、問題提出

課程改革提倡學(xué)習(xí)方式從知識(shí)傳授轉(zhuǎn)向探究學(xué)習(xí)，一線教師普遍認(rèn)同自主、合作、探究的理念，但現(xiàn)實(shí)中存在虛假探究，即僅有探究的形式而缺乏探究的實(shí)質(zhì)．通過學(xué)科實(shí)踐，學(xué)生能夠在“做中學(xué)、用中學(xué)”的真實(shí)情境中提高關(guān)鍵能力，形成適應(yīng)未來社會(huì)發(fā)展需求的核心素養(yǎng)，學(xué)科實(shí)踐并非對(duì)探究學(xué)習(xí)的否定或替代，而是對(duì)學(xué)科教育的深化研究，其本質(zhì)是以實(shí)踐為載體落實(shí)探究目標(biāo)．下面，以“祖晅原理與空間圖形的體積”的探究活動(dòng)為例，探索如何在學(xué)科實(shí)踐理念指導(dǎo)下優(yōu)化探究學(xué)習(xí)的路徑，通過具體任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生操作、驗(yàn)證和反思，從而有效促進(jìn)學(xué)生的探究學(xué)習(xí).

二、學(xué)科實(shí)踐理念下探究學(xué)習(xí)的教學(xué)分析

1.教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容結(jié)合了蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）和人教A版教材，兩版教材均在之前的章節(jié)中給出了柱體、錐體和球體的體積公式，但并未提供詳細(xì)的證明．蘇教版教材在“13.3空間圖形的表面積和體積”的閱讀欄目中介紹了祖晅原理，從學(xué)科實(shí)踐角度來看，祖恒原理是很好的探究素材．人教A版教材在“8.3簡單幾何體的表面積與體積”的探究與發(fā)現(xiàn)欄目中引導(dǎo)學(xué)生探究柱體、錐體等幾何體體積公式的證明過程，讓學(xué)生重新發(fā)現(xiàn)知識(shí).通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能夠掌握祖晅原理及其應(yīng)用，還能體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和實(shí)踐能力，落實(shí)學(xué)科實(shí)踐理念.

2.教學(xué)目標(biāo)分析

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）通過觀察、猜想和驗(yàn)證的探究過程，理解祖晅原理的內(nèi)涵，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).（2）能夠借助信息技術(shù)工具，將祖晅原理應(yīng)用于柱體、錐體、球體的體積公式的推導(dǎo)過程中，發(fā)展直觀想象與邏輯推理素養(yǎng).

（3）通過合作探究和數(shù)學(xué)史的融入，激發(fā)團(tuán)隊(duì)意識(shí)與創(chuàng)新思維，感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.

3.學(xué)情分析

學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)：本節(jié)課的授課對(duì)象是江蘇省重點(diǎn)高中的高一學(xué)生．他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了柱體、錐體、球體的概念和相應(yīng)體積的計(jì)算公式，具有一定的問題發(fā)現(xiàn)能力、空間想象能力和運(yùn)算求解能力.

達(dá)成目標(biāo)所需的認(rèn)知：祖晅原理中“冪勢(shì)既同，則積不容異”的抽象概念，以及如何將其應(yīng)用于復(fù)雜圖形的體積求解，對(duì)學(xué)生提出了較高要求，這也是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)．通過尋找生活實(shí)例、進(jìn)行沙子實(shí)驗(yàn)探索球體體積、運(yùn)用動(dòng)態(tài)幾何軟件構(gòu)建圖形關(guān)系等實(shí)踐探究活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和合作探究能力，設(shè)計(jì)階梯式問題鏈，鍛煉學(xué)生邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

4.理論支持和教學(xué)方法分析

驗(yàn)證式實(shí)踐在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中扮演著重要角色，它要求學(xué)生在掌握一定的基礎(chǔ)知識(shí)后，親自體驗(yàn)知識(shí)的形成和演進(jìn)過程．這種實(shí)踐有助于學(xué)生在親身體驗(yàn)中構(gòu)建穩(wěn)固的學(xué)科觀念和價(jià)值體系．應(yīng)用式實(shí)踐則專注于利用工具解決現(xiàn)實(shí)世界中的復(fù)雜問題，旨在縮小學(xué)習(xí)與應(yīng)用之間的差距，要求學(xué)生運(yùn)用工具解決學(xué)科內(nèi)的綜合問題.遷移式實(shí)踐分為低通路遷移和高通路遷移，前者側(cè)重于在相似情境中解決問題，而后者則要求學(xué)生能在復(fù)雜環(huán)境中靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．為了避免學(xué)生局限于考試環(huán)境而導(dǎo)致出現(xiàn)難以將知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活的問題，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強(qiáng)調(diào)了創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境的重要性.

通過設(shè)置問題情境，用類比的方法引導(dǎo)學(xué)生自主思考祖晅原理的本質(zhì)及其應(yīng)用，采用啟發(fā)式教學(xué)，借助信息技術(shù)工具，幫助學(xué)生直觀理解用祖晅原理推導(dǎo)空間圖形體積公式的過程.教師組織小組討論，促進(jìn)學(xué)生合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在交流中分享自己的想法，探究體積問題的解決方法，從而在實(shí)踐中進(jìn)行驗(yàn)證、應(yīng)用與遷移.

5.教學(xué)過程分析

環(huán)節(jié)1：截積溯源，探秘求同.

問題1：觀察圖1中截線段的特征（如長度、位置等）和兩個(gè)平面圖形的特性（如形狀、面積、相對(duì)位置等），它們之間有什么關(guān)系？你能發(fā)現(xiàn)哪些幾何規(guī)律？

圖1

通過觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖1中等高處的截線段長度相等，即 HG=OP，多邊形的面積相等，即 S四邊形ABcD = ，從而得到平面內(nèi)的規(guī)律：兩個(gè)同高的平面圖形，若它們?cè)诘雀咛幍慕鼐€段的長度相等，則這兩個(gè)平面圖形的面積相等.

問題2：能否將平面中的規(guī)律推廣到空間中？

學(xué)生類比得到猜想：空間中，兩個(gè)同高的立體圖形，若它們?cè)诘雀咛幍慕孛婷娣e相等，則這兩個(gè)立體圖形的體積相等.

問題3：能否舉出一個(gè)實(shí)際生活中的例子或設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來直觀驗(yàn)證上述猜想？

學(xué)生通過堆疊書籍構(gòu)建一個(gè)空間幾何體，每本書都可以抽象為該空間幾何體的一個(gè)截面．在改變這堆書（空間幾何體的）外觀形狀的過程中，它的體積和每個(gè)截面的面積保持恒定.學(xué)生利用這一實(shí)例驗(yàn)證了猜想．此外，也可以用磁力片、一疊A4紙等材料驗(yàn)證上述猜想.

【設(shè)計(jì)意圖】通過觀察類比、猜想驗(yàn)證，體會(huì)問題的探究過程，落實(shí)學(xué)科實(shí)踐中的驗(yàn)證式實(shí)踐．該環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生借助對(duì)二維平面的觀察直觀感知祖恒原理，類比猜想得到三維空間中的祖晅原理，空間幾何體可以看作是由無數(shù)個(gè)截面堆疊而成的，學(xué)生所舉的例子直觀驗(yàn)證了猜想．借助日常生活中的直觀體驗(yàn)來驗(yàn)證結(jié)論（猜想）的合理性，體現(xiàn)了通過實(shí)踐檢驗(yàn)理論的驗(yàn)證式學(xué)習(xí)方法.教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用學(xué)科知識(shí)細(xì)致、清晰地觀察和體驗(yàn)生活中的現(xiàn)象，能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解.

中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖晅提出的祖晅原理為：冪勢(shì)既同，則積不容異．通過GeoGebra軟件展示（如圖2），對(duì)比規(guī)則棱臺(tái)與不規(guī)則幾何體在等高處的截面面積相等，相應(yīng)的體積也相等，讓學(xué)生再次體悟祖恒原理.

圖2

【設(shè)計(jì)意圖】用數(shù)學(xué)史視角引入祖晅原理，不僅能夠讓學(xué)生領(lǐng)略中國古代數(shù)學(xué)家的非凡智慧，還能夠激發(fā)學(xué)生的民族自豪感．結(jié)合信息技術(shù)工具的可視化手段，學(xué)生能夠直觀理解祖晅原理，從而加深學(xué)生對(duì)此原理的認(rèn)識(shí)．該過程屬于驗(yàn)證式實(shí)踐.

環(huán)節(jié)2：應(yīng)用原理，探究公式.

引導(dǎo)語：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了柱體、錐體和球體的體積公式，那么如何推導(dǎo)呢？接下來，我們利用祖恒原理探究這些體積公式的證明過程.

探究1：如圖3，利用祖晅原理解釋柱體的體積公式 V_##=Sh ：

圖3

學(xué)生觀察動(dòng)畫，經(jīng)過小組討論，發(fā)現(xiàn)可以借助已知幾何體的體積來解釋未知幾何體的體積，并給出如下證明.

證明：設(shè)柱體的底面積為 s ，高為 h ．已知長方體的體積為 V_t^?↑jt↑=Sh ．由柱體定義，知柱體的每個(gè)截面面積都與其底面面積相等，所以底面面積相等的柱體在等高處的截面面積也相等．因?yàn)殚L方體和柱體的高相等，所以由祖恒原理，知柱體體積與長方體體積相等，即柱體的體積公式為 V_E⊕E=Sh

探究2：如圖4，利用祖晅原理推導(dǎo)錐體的體積公式V=Sh.

圖4

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生通過作圖（如圖5）探究三棱柱可以分為3個(gè)三棱錐，讓學(xué)生意識(shí)到三棱錐的體積與棱柱的體積有關(guān)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)只要證明圖5中的3個(gè)三棱錐的體積相等，就可以完成公式的證明.

圖5

問題4：如何證明圖6中等底等高的三棱錐的體積相等？

圖6

學(xué)生的推理過程如下.

證明：因?yàn)?

所以 所以 ΔDEF～ΔBAC ·

所以 （20

同理，可得

因?yàn)镾△BAc=S△BAc

所以 S_ΔDEF=S_ΔQTU 因?yàn)槿忮F P-ABC 和三棱錐 P^′-A^′B^′C^′ 的高相等，

所以由祖晅原理，知VP-ABc=VP -A'BC·

追問：如何證明圖7中等底等高的錐體的體積

？

圖7

通過類比遷移，學(xué)生發(fā)現(xiàn)該證明與柱體體積公式的證明過程一致．由三棱錐的證明可以推廣到圓錐的證明，再推廣到一般錐體的證明，體現(xiàn)了從特殊到一般的思想.

探究3：利用祖晅原理推導(dǎo)球體體積公式

探究實(shí)驗(yàn)：學(xué)生利用圓柱、圓錐和球體模型，探索三者體積之間有怎樣的關(guān)系.

師生活動(dòng)：教師提供工具，引導(dǎo)小組探究．學(xué)生用模型和沙子進(jìn)行合作探究，學(xué)生代表上臺(tái)展示，發(fā)現(xiàn)球體與圓錐裝沙量之和等于圓柱裝沙量，得出球體體積等于等高的圓柱體積減去圓錐體積．由于球體沒有底面，故祖恒原理不適用.有學(xué)生建議研究半球的體積，因?yàn)榘肭蛴械酌?、有高，能夠?qū)⑶蝮w體積轉(zhuǎn)化為柱體體積和錐體體積，從而實(shí)現(xiàn)化曲為直的目的.

問題5：如何用探索出的規(guī)律和祖原理推導(dǎo)球體的體積公式？

學(xué)生的推理過程如下.

證明：如圖8，用一個(gè)與底面平行，高為 l 的平面去截這兩個(gè)幾何體，

因?yàn)閳A錐的截面圓的半徑是 l ，所以圓柱的截面圓環(huán)的面積為

因?yàn)榘肭虻慕孛姘霃綖? ，所以半球的截面圓環(huán)的面積為

由祖晅原理，知半球的體積

所以球體的體積

圖8

【設(shè)計(jì)意圖】應(yīng)用祖晅原理推導(dǎo)柱體、錐體和球體的體積公式，實(shí)施探究策略，落實(shí)學(xué)科實(shí)踐中的應(yīng)用式實(shí)踐，將三棱柱分割為3個(gè)體積相等的三棱錐的探究過程是難點(diǎn)，需要學(xué)生獨(dú)立思考并小組討論．在推導(dǎo)球體體積公式的過程中，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)增強(qiáng)學(xué)生的直觀感知和嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)能力，讓學(xué)生深入理解祖晅原理的核心，體會(huì)從不規(guī)則圖形到規(guī)則圖形的化歸思想.應(yīng)用祖恒原理推導(dǎo)體積公式，不僅強(qiáng)化了數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值，還提升了學(xué)生認(rèn)識(shí)真實(shí)世界、解決實(shí)際問題的能力.

環(huán)節(jié)3：方蓋為模，遷移理解.

問題6：用一個(gè)平面截球得到截面圓，與每個(gè)截面相切的正方形依次疊起形成了一個(gè)空間幾何體，如何求這個(gè)幾何體的體積？

中國古代數(shù)學(xué)家劉徽將該幾何體命名為牟合方蓋．他在《九章算術(shù)注》的“開立圓術(shù)”中指出了球體體積公式的不精確性，并引入了牟合方蓋這一著名的幾何模型．牟合方蓋是指正方體的兩個(gè)軸互相垂直的內(nèi)切圓柱體的貫交部分，利用信息技術(shù)工具將其可視化，如圖9所示．

圖9

師生活動(dòng)：基于推導(dǎo)球體體積公式的經(jīng)驗(yàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生由牟合方蓋的對(duì)稱性，先求出該幾何體的一半（如圖10）的體積再進(jìn)行求解，即將不規(guī)則圖形化歸為規(guī)則圖形進(jìn)行求解.

圖10

追問：能否找出與半個(gè)牟合方蓋等底等高的幾何體？它們之間有什么關(guān)系？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)從不規(guī)則圖形到規(guī)則圖形的化歸思想.學(xué)生探究得出與半個(gè)牟合方蓋等底等高的幾何體是長方體減去四棱錐，如圖11所示.類比球體體積的證明方法，學(xué)生猜想：半個(gè)牟合方蓋的體積等于等底等高的長方體體積減去等底等高的四棱錐體積．經(jīng)過推算，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)幾何體在等高處的截面面積相等，祖晅原理驗(yàn)證了這一猜想的正確性，具體證明如下.

圖11

證明：設(shè)截面處的高為 x ，則正四棱錐同高處的截面邊長為 2x ，

因?yàn)殚L方體高為 R ，所以長方體的截面邊長為 2R ·

所以長方體挖去正四棱錐而成的幾何體的截面面積為 S₁=4（R²-x²） ，

因?yàn)槟埠戏缴w中的截面面積為 4（R²-x²），

所以 S₁=S₂ ：

由祖晅原理，知半個(gè)牟合方蓋的體積 V_??=4R³ 一

故牟合方蓋的體積V率=16R.

【設(shè)計(jì)意圖】通過類比遷移、文化體悟，增強(qiáng)學(xué)生的探究意識(shí)，落實(shí)學(xué)科實(shí)踐中的遷移式實(shí)踐．在數(shù)學(xué)史上，雖然祖晅的研究晚于劉徽，但是其對(duì)牟合方蓋的探討并未遵循時(shí)間順序，而是將它視為一個(gè)復(fù)雜的不規(guī)則圖形進(jìn)行探究．為幫助學(xué)生深入理解，教師設(shè)計(jì)了探究性問題，旨在培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科意識(shí)和實(shí)踐意識(shí)．通過信息技術(shù)工具的輔助，學(xué)生能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)家的智慧和堅(jiān)持，并在理解祖晅原理的基礎(chǔ)上，進(jìn)行知識(shí)遷移，使所學(xué)知識(shí)變得更加生動(dòng)、實(shí)用，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)科間的有效遷移與應(yīng)用實(shí)踐.

環(huán)節(jié)4：小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu).

回顧本節(jié)課的探究過程，試回答下列問題.

（1）能否簡單敘述祖恒原理在柱體、錐體和球體的體積公式推導(dǎo)中的作用？（2）棱錐體積和球體體積的推導(dǎo)過程體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？（3）本節(jié)課的探究思路是什么？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)在公式推導(dǎo)中以等高截面面積相等為紐帶，將未知幾何體的體積轉(zhuǎn)化為已知幾何體的體積來計(jì)算．棱錐體積通過幾何分割實(shí)現(xiàn)化歸，球體體積通過模型構(gòu)造實(shí)現(xiàn)突破.

師生共同梳理本節(jié)課的探究過程，如圖12所示，

圖12

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課聚焦兩個(gè)重要內(nèi)容：探究并發(fā)現(xiàn)祖晅原理，以及應(yīng)用該原理進(jìn)行公式推導(dǎo)與證明.通過對(duì)祖晅原理的探索與驗(yàn)證，逐步將其應(yīng)用范圍從柱體、錐體拓展到球體體積公式的推導(dǎo)中，并進(jìn)一步遷移到解決更復(fù)雜的幾何體一一牟合方蓋的體積問題中．這一系列學(xué)習(xí)過程，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象與幾何直觀的深度融合，還展現(xiàn)了“做數(shù)學(xué)”的實(shí)踐智慧.

三、教學(xué)啟示

從探究學(xué)習(xí)到學(xué)科實(shí)踐的轉(zhuǎn)變，不僅是一種學(xué)習(xí)方式的更新，還是一種育人理念的轉(zhuǎn)變．在祖晅原理的探究學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生能夠像數(shù)學(xué)家一樣經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證和反思的過程．這種學(xué)習(xí)方式使學(xué)生在實(shí)踐中深人理解數(shù)學(xué)知識(shí)，體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，從而更加積極地參與學(xué)習(xí)，彰顯了學(xué)科實(shí)踐在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面的重要作用.

1.學(xué)科實(shí)踐塑探究，助力學(xué)生的知識(shí)掌握

布魯納強(qiáng)調(diào)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，倡導(dǎo)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)．本節(jié)課致力于將學(xué)科實(shí)踐理念融人教學(xué)，重視通過探究式引導(dǎo)，讓學(xué)生深入理解祖晅原理及其應(yīng)用．通過幾何直觀和邏輯推理的雙重驗(yàn)證，學(xué)生在實(shí)踐中體會(huì)了祖晅原理的精妙運(yùn)用，掌握了推導(dǎo)空間幾何體體積的基本技能，領(lǐng)略了數(shù)學(xué)知識(shí)的力量和美感．在學(xué)科實(shí)踐理念指導(dǎo)下的探究學(xué)習(xí)，有效深化了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握.

2.學(xué)科實(shí)踐促探究，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

為了強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，教師需要精心設(shè)計(jì)和開展教學(xué)活動(dòng)，重視探究性學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用．例如，本節(jié)課通過提供幾何模型，讓學(xué)生親手操作，發(fā)現(xiàn)球體與柱體、椎體之間的內(nèi)在聯(lián)系．同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生深入探究復(fù)雜的幾何問題一一牟合方蓋的體積計(jì)算，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲．這一過程培養(yǎng)了學(xué)生的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高了他們的獨(dú)立思考能力和自主學(xué)習(xí)能力.

3.學(xué)科實(shí)踐育探究，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)

教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察一猜想一驗(yàn)證一反思”的探究過程，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的再創(chuàng)造．這不僅能夠發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，還能讓學(xué)生在實(shí)際操作中深刻體悟祖恒原理的應(yīng)用，進(jìn)而積累解決復(fù)雜幾何體體積等數(shù)學(xué)問題的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)．通過這樣的教學(xué)方法，學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)概念，提升解決實(shí)際問題的能力，為其終身學(xué)習(xí)和全面發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

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