基于“三會”素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)跨學(xué)科項目式學(xué)習(xí)研究

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）21-0051-04

隨著新課程改革的不斷深人，初中數(shù)學(xué)“綜合與實踐”領(lǐng)域受到教師的高度重視，跨學(xué)科實踐學(xué)習(xí)在當今社會和教育體系中占據(jù)著舉足輕重的地位.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》明確提出，在初中階段綜合與實踐領(lǐng)域，可采用項目式學(xué)習(xí)方式，以問題解決為導(dǎo)向，讓學(xué)生在真實情境中經(jīng)歷現(xiàn)實情境數(shù)學(xué)化的過程[1].在項目式學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生能夠感悟如何從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，逐步形成“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)；在分析問題和解決問題的過程中，提升數(shù)學(xué)思維能力，逐步形成“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)；與此同時，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)的語言將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，逐步形成“會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)

1 項目情境

1.1 項目介紹和研究方向

本項自聚焦端午節(jié)的歷史文化和習(xí)俗，主要圍繞\"端午習(xí)俗中的數(shù)學(xué)知識”這一問題展開探究，嘗試用數(shù)學(xué)的眼光觀察端午習(xí)俗中蘊含的數(shù)學(xué)知識，用數(shù)學(xué)的思維思考、用語言表達端午習(xí)俗中蘊含的數(shù)學(xué)美.與此同時，引導(dǎo)學(xué)生探究端午習(xí)俗中蘊含的其他學(xué)科知識，最終運用研究成果進行創(chuàng)新設(shè)計.

1. 2 項目驅(qū)動型問題

為驅(qū)動學(xué)生積極參與項目式學(xué)習(xí)，設(shè)計如下項目驅(qū)動型問題：端午習(xí)俗具體有哪些？如何從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)、探究、欣賞其中蘊含的數(shù)學(xué)美？

1.3 項目學(xué)習(xí)目標設(shè)計

根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)生實際情況，設(shè)計如下項目學(xué)習(xí)目標：了解蘇州端午文化的歷史和習(xí)俗，增強文化自信和民族自豪感；經(jīng)歷將端午習(xí)俗中不同元素抽象成數(shù)學(xué)模型的活動探究過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高數(shù)學(xué)抽象能力，發(fā)展“三會”素養(yǎng)；融合多學(xué)科知識，運用信息技術(shù)，從龍舟的框架設(shè)計、漂浮原理和競速原則等要素進行多角度分析，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，進一步發(fā)展“三會”素養(yǎng)，促進學(xué)生全面發(fā)展

2 項目實施

2.1 項目實施方案及任務(wù)結(jié)構(gòu)

本項目以數(shù)學(xué)知識作為核心載體，涉及物理、歷史和信息科技學(xué)科，需要學(xué)生作為項目的主要參與者以小組為單位開展合作學(xué)習(xí)，教師提供輔助和指導(dǎo)以確保項目順利進行[2].在項目實施過程中，學(xué)生需完成信息收集與數(shù)據(jù)整理、獨立思考與合作探究、數(shù)學(xué)抽象與模型設(shè)計、提出猜想與驗證實施、反思總結(jié)與成品展現(xiàn)等任務(wù)，項目具體方案與任務(wù)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

2.2 子任務(wù)一：訪端午之“緣”

項目活動1 了解端午節(jié)的歷史及文化.

端午節(jié)作為中國古老的傳統(tǒng)節(jié)日，其歷史可追溯至春秋戰(zhàn)國時期，至今已有兩千多年歷史，是中華傳統(tǒng)文化的重要組成部分.學(xué)生通過查閱資料了解端午節(jié)的歷史和習(xí)俗，能夠體會端午在中華傳統(tǒng)文化中的重要意義，進而積極宣傳端午文化.

設(shè)計意圖 學(xué)生主動了解端午文化，不但有助于傳承和弘揚中華民族傳統(tǒng)美德，而且能夠深化其對中華文化的認同，培養(yǎng)愛國情懷，同時拓展歷史與文學(xué)知識，豐富個人精神世界

2.3 子任務(wù)二：探龍舟之“形”

項目活動2將龍舟的框架結(jié)構(gòu)抽象成數(shù)學(xué)圖形，探究龍舟蘊含的數(shù)學(xué)之美

學(xué)生活動龍舟作為端午文化的主要象征之一，在項自學(xué)習(xí)活動過程中，學(xué)生通過閱讀書籍、查閱網(wǎng)絡(luò)和實地觀測等方式進行信息收集和數(shù)據(jù)處理，并嘗試將各式各樣的龍舟抽象成數(shù)學(xué)圖形

活動發(fā)現(xiàn) 通過對得到的圖形進行觀察，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)龍舟主要蘊含“軸對稱”這一數(shù)學(xué)特征，并借助網(wǎng)絡(luò)畫板對軸對稱的性質(zhì)進行深入探究

學(xué)生探究1學(xué)生在網(wǎng)絡(luò)畫板中首先構(gòu)建成軸對稱的兩個三角形，通過動畫還原其對稱過程，發(fā)現(xiàn)兩個三角形能夠完全重合，從而得出全等三角形的概念，即能夠完全重合的兩個三角形叫作全等三角形.同時得出全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角也相等

學(xué)生探究2學(xué)生類比平移的探究過程，在網(wǎng)絡(luò)畫板中連接兩個三角形的對應(yīng)點，發(fā)現(xiàn)圖中的所有對應(yīng)線段均滿足：與對稱軸垂直，且被對稱軸平分.從而得出成軸對稱的兩個圖形的性質(zhì)：對稱軸垂直且平分對應(yīng)點所連的線段

教師指導(dǎo) 像這樣，垂直且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線

提出問題 對于線段的垂直平分線，能否借助網(wǎng)絡(luò)畫板發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)？

學(xué)生經(jīng)過探究，得出結(jié)論：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.

探究圖和所得結(jié)論如圖2所示.

圖2軸對稱性質(zhì)探究示意圖

設(shè)計意圖學(xué)生通過小組合作，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和抽象平面圖形并找出共同特征的過程；通過類比學(xué)習(xí)平移，借助網(wǎng)絡(luò)畫板，探究龍舟結(jié)構(gòu)中蘊含的數(shù)學(xué)性質(zhì)在實際操作中，學(xué)生需用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)思維分析和解決問題，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，并用數(shù)學(xué)的語言表達成果，進而發(fā)展“三會”素養(yǎng)

項目活動3 設(shè)計制作龍舟模型.

學(xué)生提出新想法：既然已經(jīng)了解了龍舟的框架設(shè)計，那么能否借助工具設(shè)計一款龍舟模型呢？學(xué)生思考并著手解決問題

問題1 如何確定龍舟各部分的結(jié)構(gòu)大小搭配是否合適？設(shè)計出的龍舟又該怎樣精準地制作？

解決思路 首先借助數(shù)學(xué)知識 —三視圖，繪畫制作模型圖紙;然后借助數(shù)學(xué)工具一—比例尺，將圖紙打造成實物模型

現(xiàn)實困難學(xué)生首先選擇手繪的方式進行嘗試，但發(fā)現(xiàn)三視圖的手繪誤差較大，繪制難度較高，且由于通過三視圖制作出的圖紙為平面圖紙，后期需制作出實物模型，預(yù)計模型制作將比較困難

思路改進 借助3D繪圖軟件3DsMax，設(shè)計3D模型圖紙；然后通過3D打印的方式制作龍舟的實物模型，從而完成項目任務(wù).

設(shè)計意圖龍舟體現(xiàn)了我國深厚的文化內(nèi)涵學(xué)生經(jīng)歷對龍舟模型的研究和制作過程，嘗試用數(shù)學(xué)的思維去思考和解決問題，有利于發(fā)展數(shù)學(xué)“三會\"素養(yǎng).在遇到困難時，學(xué)生直面挑戰(zhàn)、勇于創(chuàng)新，更能深刻體會到中華文化的博大精深和自強不息的民族精神.

2.4子任務(wù)三：尋龍舟之“競”

項目活動4 實踐阿基米德原理，探究龍舟的結(jié)構(gòu)設(shè)計對漂浮效果的影響.

前期準備學(xué)生通過書籍、網(wǎng)絡(luò)等渠道收集信息，了解龍舟能夠在水中漂浮是基于阿基米德原理，知曉龍舟在水中受到的浮力大小與三個因素有關(guān)，分別是水的密度、重力加速度大小與該龍舟在水中能夠排開的水的體積，

通過小組討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)前兩個因素屬于外部影響因素.因此，學(xué)生決定以龍舟在水中能夠排開的水的體積為主要研究對象，探究龍舟的結(jié)構(gòu)設(shè)計對漂浮效果的影響，提升龍舟的設(shè)計質(zhì)量

學(xué)生探究 龍舟的形狀設(shè)計對漂浮效果的影響

為了能夠排開更多的水，學(xué)生認為龍舟底面積應(yīng)設(shè)計得較大，船體體積也越大越好，但這與學(xué)生印象中的龍舟形狀大相徑庭.龍舟通常呈現(xiàn)長而窄、前端尖銳后部微微扁平的形狀，這引起了學(xué)生的好奇和思考.

學(xué)生通過查閱資料發(fā)現(xiàn)，單純增加龍舟的底面積或體積，并不能排開更多的水.但將龍舟的船底設(shè)計成V型或U型后，能夠有效增加船體與水面的接觸面積，進而排開更多的水，獲得更大的浮力，并且這種設(shè)計有助于減少水阻，提高劃行速度.

提出問題在提升浮力后，如何驗證龍舟在水中受到的浮力能夠使得龍舟在水面漂浮？若浮力不足，在龍舟運動員登船后，龍舟就會沉沒，發(fā)生溺水事故，應(yīng)怎樣避免這種情況？

通過請教物理教師，學(xué)生了解到龍舟總重量和浮力之間需要達到力學(xué)平衡，即總重量小于或等于所受到的浮力時，龍舟就會保持在水面上；總重量大于受到的浮力時，就會下沉

基于此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在設(shè)計制作龍舟時，應(yīng)選擇重量輕、結(jié)構(gòu)堅固的材料，并提前參照運動員的總重量計算所需浮力，才能確保龍舟的使用安全

設(shè)計意圖 知識源于生活也將應(yīng)用于生活.在龍舟的設(shè)計制作過程中，蘊含著許多數(shù)學(xué)和物理的知識.學(xué)生在真實情境中實踐阿基米德原理，嘗試用數(shù)學(xué)的思維去思考和解決問題，發(fā)展數(shù)學(xué)“三會”素養(yǎng).

2.5 子任務(wù)四：識香棕之“體”

項目活動5 借助祖晅原理，探究體積公式.

任務(wù)1 將粽子抽象成數(shù)學(xué)圖形.

學(xué)生通過實物觀察，發(fā)現(xiàn)常見的粽子形狀能夠抽象為三棱錐、四棱錐和四棱柱.

任務(wù)2 探究柱體的體積公式.

學(xué)生類比長方體體積公式，猜想柱體體積公式可表示為柱體的體積 Σ=Σ 底面積 × 高，并借助網(wǎng)絡(luò)畫板進行驗證.借助網(wǎng)絡(luò)畫板，學(xué)生發(fā)現(xiàn)柱體可以理解為是一個平面圖形經(jīng)過平移得到的.因平移不改變圖形的面積，柱體的體積即用這個平面圖形的面積× 柱體的高，其體積公式可表示為柱體的體積 Σ=Σ 底面積 × 高.

由此學(xué)生猜想：兩個形狀不同的柱體，如果底面積相等、高相等，那么他們的體積也相等.

學(xué)生將這一猜想分享給指導(dǎo)教師后，教師指出，這一思路和我國古代的大數(shù)學(xué)家祖晅不謀而合，也就是后來的祖晅原理：冪勢既同，則積不容異.學(xué)生查閱資料得知，祖晅原理中的“冪”是截面積，“勢”是立體的高，意思是兩個同高的立體，如果在任意等高處的截面積都相等，則體積相等

任務(wù)3 驗證祖恒原理在柱體中的應(yīng)用.

學(xué)生在網(wǎng)絡(luò)畫板中進行驗證，具體驗證過程如下：將面積相等的不同圖形平移至相同的高度以得到不同的柱體，使其滿足祖晅原理的兩個要素，一是柱體的高度相等，二是所有柱體在任意等高處的截面積都相等.根據(jù)柱體的體積公式，即柱體的體積 σ=σ 底面積 x 高，可得出這些柱體的體積相等

任務(wù)4 探究錐體的體積公式.

類比圓錐體的體積公式，猜想錐體體積公式，并借助網(wǎng)絡(luò)畫板進行驗證.學(xué)生發(fā)現(xiàn)錐體的體積一定小于底面積 × 高，但求證系數(shù)時遇到了難題，所以請求了指導(dǎo)教師的幫助.

教師指導(dǎo) 將三棱柱分割成3個三棱錐，與原三棱柱滿足底面積和高都相等.只要證明出這3個三棱錐的體積相等，就能得到三棱錐的體積是三棱柱體積的三分之一.分割方式如圖3所示

圖3三棱柱分割為三棱錐示意圖

學(xué)生發(fā)現(xiàn)分割出的3個三棱錐，兩兩組合，滿足底面積和高相等，如圖3所示，情形與之前在柱體中遇到的情景和猜想類似.

學(xué)生活動學(xué)生經(jīng)過小組討論得出，將三棱錐兩兩組合，已經(jīng)滿足等底等高，欲運用祖晅原理求證，只需得到它們在任意等高處的截面積也相等

任務(wù)5 驗證等底等高的錐體在任意等高處的截面積相等.

學(xué)生在網(wǎng)絡(luò)畫板中進行驗證，具體驗證過程如下：將等底等高的不同錐體底面置于同一平面，用與底面平行的平面截取錐體，測量截面積的大小，發(fā)現(xiàn)面積始終相等.運用祖恒原理，學(xué)生得出分割出的3個三棱錐體積相等，繼而得到三棱錐的體積公式.類比運用祖恒原理，可將任意錐體轉(zhuǎn)化為等底等高的三棱錐，由此得到錐體的體積公式.

設(shè)計意圖 學(xué)生面對端午節(jié)中常見的粽子元—54—

素，嘗試用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)其中蘊含的數(shù)學(xué)問題，經(jīng)歷運用祖晅原理探究柱體和錐體的體積公式的過程，培養(yǎng)其會用數(shù)學(xué)的思維進行思考、會用數(shù)學(xué)的語言進行表達的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)“三會”素養(yǎng).

3 項目反思

3.1 注重項目選題時學(xué)生的參與度

數(shù)學(xué)項目式學(xué)習(xí)立足于真實的現(xiàn)實生活情境，需要有明確的項目主題，因此項目選題顯得尤為重要，其將直接影響后續(xù)項目的實施.在選題時，教師不僅要關(guān)注和評估項目實施的可行性，更要注重學(xué)生的參與度.項目選題是學(xué)生參與項目學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).高參與度的項目能夠更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力，使其主動投入時間和精力去探究和解決問題，從而助力項目學(xué)習(xí)的有效推進

3.2 發(fā)揮項目活動中學(xué)生的主體性

在項目式學(xué)習(xí)活動中，發(fā)揮學(xué)生的主體性具有極其重要的意義.數(shù)學(xué)項目式學(xué)習(xí)要求學(xué)生能夠根據(jù)項目要求，積極主動地搜集信息、分析問題、設(shè)計方案、實施項目并得出成果.這種學(xué)習(xí)方式為學(xué)生提供了鍛煉團隊合作、溝通表達等綜合能力的機會，同時有助于學(xué)生增強自主學(xué)習(xí)能力和終身學(xué)習(xí)的意識

4 結(jié)束語

在項目式學(xué)習(xí)活動中，教師應(yīng)充分尊重學(xué)生的主體地位，發(fā)揮他們的自主性、能動性和創(chuàng)造性，不斷提高他們運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，讓他們在實踐中不斷成長和發(fā)展，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]周青松，李明樹，王曉峰.初中數(shù)學(xué)跨學(xué)科項目式學(xué)習(xí)的教學(xué)實踐與思考：以“土圭遇數(shù)，九畿見學(xué)”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2024（03）：46-50.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]