利用一元二次方程根與系數的關系解決代數問題

1引言

一元二次方程作為初中數學代數部分的重要內容，其根與系數的關系（韋達定理）是連接方程的根與系數的重要橋梁.對于一元二次方程 ax²+bx+ c=0（a≠0） ，若方程的兩根為 x₁ 和 x_Π2 ，那么有 x₁ 這一關系在解決涉及一元二次方程的代數問題時具有重要作用，它能將復雜的代數運算簡化，為解題提供清晰的思路.

2根與系數關系在代數式求值問題中的應用

在涉及一元二次方程的代數式求值問題中，巧妙利用根與系數的關系可以避免直接求解方程的根，從而簡化計算過程.下面通過具體例題進行分析.

例1已知方程 x²-5x+6=0 的兩根為 x₁ ，x₂ ，求 x₁²+x₂² 的值.

解析 根據根與系數的關系可得 x₁+x₂=5 x₁x₂=6

對 x₁²+x₂² 進行變形可得：

x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，

將 x₁+x₂=5，x₁x₂=6 代人上式，得到 x₁²+x₂²=5²-2×6=25-12=13.

評注在這類問題中，關鍵是要熟悉常見的代數式變形公式，將所求式子轉化為含有 x₁+x₂ 與x₁x₂ 的形式，再根據根與系數的關系進行計算.

例2 已知方程 2x²+3x-1=0 的兩根為 x₁ x2，求 的值.

解析 首先，根據根與系數的關系，

有 1

對 進行通分變形：（20號

將 代人，

可得 （204號

評注在分式求值中，通分是常用的變形手段，通過通分將分式轉化為能用根與系數關系求解的形式，從而簡化計算過程.

例3已知方程 x²-4x₁+1=0 的兩根為 x₁ x_Π2 ，求 的值.

解析 由根與系數的關系，有 x₁+x₂=4，x₁x₂=1.

對 進行展開：

將 x₁+x₂=4，x₁x₂=1 代人，得 （20又因為 所以 ：

評注在處理含根式的代數式求值問題時，常通過平方的方式將根式去掉，再利用根與系數的關系進行計算，最后根據根式的性質確定最終結果的正負.

例4若 m，n 是一元二次方程 x²+3x-9=0 的兩個根，求 m²+4m+n 的值.

解析 因為 m，n 是一元二次方程 x²+3x-

g=o 的兩個根，所以 m²+3m-9=0 m+n=-3 ，所以 m²+3m=9 因此 m²+4m+n=m²+3m+m+n=9+（-

3）=6 ：

評注對于一些代數式求值問題，要綜合應用一元二次方程解的定義和根與系數的關系進行化簡.例如本題，根據 Σ_m 是一元二次方程 x²+3x-9= 0的根可得 m²+3m-9=0 ，再將此式整體代人m²+4m+n 進行化簡，最后利用根與系數的關系求值.

例5已知 α?β 是一元二次方程 x²-2024x- 2025=0 的兩個根，求 α²-2025α-β 的值.

解析因為 α?β 是一元二次方程 x²-2024x- 2025=0 的兩個根，

所以 α²-2024α-2025=0

所以 α²-2024α=2025 ，

所以 α²-2025α-β=（α²-2024α）-（α+β） =2025-2024=1.

評注根據一元二次方程根的定義，以及根與系數的關系得到 α²-2024α-2025=0，α+β= 2024，再把 α²-2025α-β 變形后整體代人即可.

3根與系數關系在參數范圍問題中的應用

在一元二次方程中，參數的取值范圍會影響方程根的情況.將根與系數的關系與判別式相結合，是確定參數的取值范圍提供了有效的方法.

例6關于 x 的一元二次方程 x²-4x+m- 1=0 的兩個實數根是 x₁，x₂ ，滿足 x₁²-4x₁+ 3x₁x₂gt;2 ，求 Ψ_m 的取值范圍.

解析因為關于 x 的一元二次方程 x²-4x+ m-1=0 的兩個實數根是 x₁，x₂ ，

所以 x₁²-4x₁+m-1=0，x₁x₂=m-1 所以 x₁²-4x₁=1-m ，

所以 x₁²-4x₁+3x₁x₂=1-m+3（m-1）= 2m-2

因為 x₁²-4x₁+3x₁x₂gt;2 所以 2m-2gt;2

解得 mgt;2

又因為該方程有兩個實數根，

所以 Δ=（-4）²-4（m-1）≥0 ，

解得： m?5 ，

所以 2

評注根據題意得 x₁²-4x₁+m-1=0，x₁x₂ =m-1 ，整體代入 x₁²-4x₁+3x₁x₂gt;2 ，即可求出mgt;2 .再根據一元二次方程有兩個實數根，其判別式 Δ?0 ，可求出 m?5

例7已知一元二次方程 x²-（m+3）x+ 2m+2=0 有兩個正根，求 Ψ_m 的取值范圍.

解析設方程的兩根為 x₁，x₂ .根據根與系數的關系，得 x₁+x₂=m+3，x₁x₂=2m+2

因為方程有兩個正根，所以判別式 Δ= （m+3）²-4（2m+2）≥0 （保證方程有兩個實數根）， x₁+x₂=m+3gt;0 （兩根之和為正）且 x₁x₂ =2m+2gt;0 （保證兩根同號）.

解不等式 （m+3）²-4（2m+2）≥0 ，即 m²- 2m+1?0 ，即 （m-1）²?0 ，所以 Ω_m 可取全體實數.

解不等式 m+3gt;0 .

得 mgt;-3 .

解不等式 2m+2gt;0 .

得 mgt;-1 綜合以上結果， mgt;-1 ：

4結語

一元二次方程根與系數的關系在代數式求值和參數范圍問題中具有重要作用.在代數式求值中，通過巧妙變形將所求代數式轉化為與根和系數相關的形式，能夠簡化計算過程；在參數范圍問題中，結合根與系數的關系、判別式等，能準確確定參數的取值范圍.在教學過程中，教師應引導學生熟練掌握這一關系的應用方法，培養學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的數學素養.

參考文獻：

[1]劉陳.一元二次方程根的判別式及根與系數關系的應用[J].中學數學，2023（18）：61-62.

[2]郭發權.萬變不離其宗—以“根與系數的關系”應用為例[J].中學數學教學參考，2023（9）：39-40.

[3]張寧.根與系數關系運用的五個技巧[J].初中生學習指導，2022（30）：17—19.