例析強基計劃測試中的不等式問題

不等式問題是強基計劃測試的熱點和難點，它有效地銜接了高考內容與競賽內容，從近年高校強基計劃試題來看，考查形式豐富多彩，思維能力要求較高，筆者選取近年高校強基計劃考題不等式問題分類探究，供大家參考.

1解不等式

例1 （2024年蘭州大學強基計劃）求不等式 的解集.

解由題意可知 x=0 或 xgt;1 ① 當 x=0 時，此時 1?0 ，滿足題意;

② 當 xgt;1 時，此時 ，于是 ，此時， x∈?

綜上所述，原不等式的解集為 {0}

例2（2023年中山大學強基計劃）解不等式

解易知 ，所以 x?- 且 x≠0 ，原不等式可化為 ⁺⁹ ，分子有理化得（ ，去括號化簡得 ，解得 所以原不等式的解集為

評注強基計劃測試中的解不等式不同于常見的幾類不等式，形式更加靈活，變形、轉化、計算要求更高.

2 一元二次不等式恒成立

例3（2024年南京大學強基計劃）已知函數

，對于 ?x∈R，f（x）?

0恒成立，求 的最大值.中

解因為 f（x）?0 恒成立，所以 所以 a²2?4ac ，所以 （2號 所以 令 ， 則 ，所以（204號 當且僅當 即 4時，等號成立.

評注 該題可以簡解如下：由題意，有 f（-2）

?0 ，即 f（-2）=4a-2b+c=（a+b+c）-3（b

-α）?0 ，得 （24號

例4（2022年北京大學強基計劃）已知 f（x） 是二次函數，f（-2）=0，且2x≤f（x）≤2+4， 則f（10）=-

解由 f（-2）=0 ，可設 f（x）=（x+2）（ax+ b）=ax²+（2a+b）x+2b ，則由 f（x）?2x 得 ax²+ （2a+b-2）x+2b?0 恒成立，所以 a?0 且 （204號 （2a+b-2）²?8ab ，整理后得 4a²+b²?4ab+8a +4b-4. 由 得 （2a-1）x²+（4a+ 2b）x+4b-4?0 ，若 2a-1=0 ，則必有 4a+2b=0，此時與 （2a+b-2）²?8ab 矛盾，所以 2a-1?0 且 Δ₂=（4a+2b）²-4（2a-1）（4b-4）?0 ，整理后為 4a²+b²?4ab-8a-4b+4 ，與 4a²+b²?4ab +8a+4b-4 相加即得 4a²+b²?4ab ，即 （2a-b）² ?0 ，所以 2a=b ，所以 f（x）=（x+2）（ax+2a）= a（x+2）²

在原不等式中令 x=2 可得 4?f（2）?4 ，所以f（2）=4 ，由此解得 所以 （2號所以 f（10）=36

評注挖掘題中的隱含條件是解題的關鍵，如何發現它們呢？實際上，我們可以通過解方程得到.設想存在實數 x₀ ，使得 一，于是 （204 ，得 x₀=2 ，這便是取 x=2 得到 f（2）= 4的由來.

3 多元不等式的最值

例5（2024年清華大學自強計劃）已知 x，ygt; ，求 x+y+xy 和 x 的最小值.

解由條件得 （x+y）²-x²y²=xy ，所以 x²+ y²+xy=x²y²?3xy ，則 xy?3

令 a=x+y+xy，b=x+y-xy ，則 a-b=2xy ≥6，ab = xy，所以ab =@-b， 2a+1由a-b（204號 ?6 得 即 a²-6a-3?0 ，解得 a? 3+2√3，且x=y=√3時取等號，所以b=2a+1 時取等號.所以 x+y+xy 和 x+y-xy 的最小值分別為 （204號

例6 （2024年南京大學強基計劃）已知 ^a，b，cgt; ，判斷 是否存在最大值和最小值，若存在，請求解出最大值和最小值.

解因為 所以 ，當且僅當“ 時取等.

由 愛得樂 （2bc）²a²-（b+c）a -bc=0 ，此時 Δ=（b+c）²+16b²c²gt;0 ，即 ^b，c 為任意正值，都有解，即都有這樣的 Δ_a ，從而 看成關于 的二次單增函數，所以無最大值．所以 無最大值，最小值為4

例7（2021年中國科學技術大學強基計劃）已知正實數 ^a，b，c 滿足 a+b+c=1 ，則 a²+b²+c² +2abc 的取值范圍為

解記 S=a²+b²+c²+2abc ，則 S=（a+b）² 2ab（c-1）+1lt;1 ，又因為 clt;1，4ab?（a+b）²= （1-c）2，所以S≥2c2-2c +1+（c-1）3

設 1，則 故 f（x） 在 上單調遞減，在 上單調遞增.所以 ，所以 S?f（c）? 當 1時，S= 2，當a→0，（20號 時， ，所以 a²+b²+c²+2abc 的取值范圍是

評注多元最值問題常見方法均值不等式，柯西不等式，或函數思想，消元是函數思想的基礎，例6的消元就困難一點，首先注意到次數，將條件等式平分是必由之路，接著對于 ab 這一多余項，利用均值不等式放縮為關于 a+b 即 1-c 的代數式，最終得到了關于 c 的一元函數.

4 均值不等式

例8（2022年清華大學強基計劃）已知 a²+ ab+b²=3 ，求 a²-ab+b² 的最大值和最小值分別為（ ）.

1 A. B.9，1 C.10 D.10，1 2

解注意到 a²+b²-ab=（a²+ab+b²）-2ab =3-2ab. 由 3=a²+ab+b²?3ab ，知 ab?1 ，等號當 或 取等號.

再由 3=a²+ab+b²≥-ab ，知 ab?-3 ，因此1?3-2ab?9 ，當 ^a，b 同時為1或－1時可取到最小值1，當 ^a，b 中一個取 ，一個取 時取得最大值9.

例9（2020年復旦大學強基計劃）已知實數x，y 滿足 x²+2xy=1 ，求 x²+y² 的最小值

解由均值不等式，得 ，解得入=√5-1 ，所以 x² +y² 的最小值為

評注配湊系數是不等式處理中的一種重要手段，對于任意的正數 ^a，b，λ ，有 此處的參數 λ 就給了我們操作的空間，根據需要來選擇合適的 λ

5 柯西不等式

例10（2024 年北京航空航天大學強基計劃）已知 ab+bc+cd+da=1 ，求 a²+2b²+4c²+8d² 的最小值.

解由 ab+bc+cd+da=1 ，得 （a+c）（b+ （20 ，由柯西不等式得 當且僅當1： ，即 2：1=a：2c，2：1=b：2d ，即 a =4c，b=4d ，且 （a+c）（b+d）=1 ，即 （4c+c） （4d+d）=1 ，即 ，故當 .（20號 （20時， a²+2b²+4c²+8d² 的最小值為

例11 （2021年中國科學技術大學強基計劃）已知正實數 x，y 滿足 +1=1，則√x2+y2的最

小值為

解設 ，由柯西不等式可得 （2√2a +b）2，等號成立的條件是 于是得 a= 2b，x= 2y ，代人到 ，得 x 把 a=2b 代人 （204號 ，整理得 ，當 x=10 y=5 時取等號.

評注在柯西不等式中，引入參數，通過調配 系數來契合目標.

6 三角不等式

例12（2021年中國科學技術大學少年創新班考試） ΔABC 的內角分別為 ^A，B，C ，求證：

證明 由三角恒等變換得 + 令 ，則 所以原

評注此類問題通常利用三角公式恒等變換或直接利用嵌入不等式：設 x，y，z 為任意實數，則在ΔABC 中，有 x²+y²+z²?2yzcosA+2zxcosB +2xycosC.

7 數列不等式

例13 （2023年中國科學技術大學強基計劃）證明：

（20證明 即證 即證（20 號 即證 由柯西不等式 ，只需證明 即證 8n²+4n? 6n²+2n²+3n+1 ，即 n?1 ，顯然成立，故原不等式成立.

評注 數列不等式利用一切手段實現放縮，達 到可求和的目標.

參考文獻

[1]董同明.一道二元最值強基題的“換元\"解法[J].中學數學研究（江西師大），2024（9）：50-51.

[2]劉樹娜.一道二元分式型最值問題的解法探析[J].中學數學研究（江西師大），2024（10）：46-47.