探究銳角三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

例1 南極洲的冰山之下被水面掩蓋了很大一部分山體.南極科考團(tuán)為了測量冰山山體的高度，將冰山側(cè)面抽象成如圖1所示的 ΔABC 和 ΔACD ，且 BA=BC，DA=DC 其在點(diǎn) A 處測得山頂 B 處的仰角 ∠BAC=22^° AC=300m ，由物理中的浮力知識可知冰山水平面上下兩部分的最大高度之比約為 1：9 ，試求冰山山體的總高度.（結(jié)果精確到 1m 參考數(shù)據(jù)： sin22^°≈0.37，cos22^°≈0.93，tan22^°≈ 0.40.）

解題思路 本題考查的知識點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用.

首先，熟讀題意，然后通過連接BD并交 AC 于點(diǎn) E ，構(gòu)建直角三角形BEA；然后，利用已知條件仰角的度數(shù)和AC的長度，結(jié)合正切函數(shù)求算出 BE 的長度；再根據(jù)冰山水平面上下部分的最大高度之比，計(jì)算出DE的長度；最后，求算BE和DE的長度總和，即為BD的長度，也是冰山山體的總高度.

答案 600m

解析 如圖2所示，連接 BD ，并交 AC 于點(diǎn) E

由題意可知， BA=BC，DA=DC ，

所以 BD⊥AC，AE=CE ，

∠BEA=90^° ，

因此

因?yàn)?

所以 BE≈AE×0.40=60m

根據(jù)題意可得知 =

所以 BD=BE+DE=10BE=600m.

綜上所述，冰山山體的總高度約為 600m

例2圖3是公園中的一種健身器材，其由底座、搖桿、踏板桿和尾桿組成，圖4是該健身器材的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，此時 AP⊥MN，EQ⊥MN CD//MN ，經(jīng)測量可知 BC=55cm，CD=97cm DE=14cm ，踏板桿 CD 距離地面MN的高度為17cm ，搖桿 AC 繞點(diǎn) B 轉(zhuǎn)動，且點(diǎn) A，C，D 都是可轉(zhuǎn)動點(diǎn).

（1）如圖5所示，當(dāng) DE 繞點(diǎn) E 順時針旋轉(zhuǎn) 60^° 到達(dá) D^′E 的位置時，試求此時點(diǎn) D^′ 距離地面的高度；

（2）小紅踩動踏板，使 DE AC 順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度 θ（0^°lt;θlt;180^°） ，此時測得點(diǎn) C^′ 點(diǎn) D^′ 距離地面 MN 的高度分別為 22cm.40cm ，試求此時搖桿 A^′C^′ 與踏板桿 C^′D^′ 的夾角（即 ∠A^′C^′D^′ 的度數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)： sin10.72^°≈0.19，cos10.72^°≈ 0.98，tan10.72°0.19， sin65.5^°≈0.91 ，cos65.5°≈0.41，tan65.5^°≈2.19）

L

解題思路（1）首先，利用三角函數(shù)，求出 EF 的長度；然后，計(jì)算 D^′G 的長度即為點(diǎn) D^′ 距離地面的高度.

（2）首先，添加輔助線，過點(diǎn) D^′ 作 D^′F⊥DE 點(diǎn)F ，過點(diǎn) D^′ 作 D^′G⊥MN 于點(diǎn) G ，過點(diǎn) C^′ 分別作C^′H⊥MN 于點(diǎn) H ，作 C^′I⊥D^′G 于點(diǎn) I ，并交 AC 于點(diǎn) J ；然后，需要明確點(diǎn) C^′ 和點(diǎn) D^′ 距離地面的高度，即求算 C^′H 和 D^′G 的長度；再利用已知條件求算出 D^′I 和 BJ 的長度；接著，利用銳角三角函數(shù)，求出 ∠D^′C^′I 的度數(shù)；最后，再利用銳角三角函數(shù)，求出 ∠BC^′J 的度數(shù)，即可得出 ∠A^′C^′D^′ 的度數(shù).

答案 （1）24cm （2）54.78^° ·

解析（1）如圖6所示，過點(diǎn) D^′ 作 D^′F⊥DE 于點(diǎn) F，D^′G⊥MN 于點(diǎn) G ，則四邊形 D^′GQF 為矩形，根據(jù)題意，可知 ∠D^′EF=60^° ，

D^′E=DE=14 所以 D^′G=FQ=DE+DQ-EF=14+17-7 =24（cm） ，

因此，點(diǎn) D^′ 距離地面的高度是 24cm 業(yè)

（2）如圖7所示，過點(diǎn) D^′ 作 D^′G⊥MN 于點(diǎn) G ， 過點(diǎn) C^′ 分別作 C^′H⊥MN 于點(diǎn) H ，作 C^′I⊥D^′G 于點(diǎn) I ，并交 AC 于點(diǎn) J ·

由題意可知， C^′H=PJ=IG=22 ，D^′G=40 ，所以 D^′I=D^′G-IG=40-22=18 ，BJ=BC+PC-PJ=55+17-22=50. （20在 RtΔC^′ID^′ 中， 所以 ∠D^′C^′I≈10.72^° 在 RtΔC^′BJ 中， （2所以 ∠BC^′J≈65.5^° 所以， ∠A^′C^′D^′=∠BC^′J-∠D^′C^′I≈65.5^°- 10.72^°≈54.78^°

因此，搖桿 A^′C^′ 與踏板桿 C^′D^′ 的夾角約為 54.78^°

結(jié)語

通過對兩道例題的深入剖析，不難發(fā)現(xiàn)，銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識，在解決實(shí)際問題中起到了重要的作用.在解決此類問題的過程中，不僅讓學(xué)生學(xué)會了如何將復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題簡單化，還學(xué)習(xí)了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，利用理論知識進(jìn)行答案的求解，同時激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣，鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維和審題辨圖能力.