滾動(dòng)數(shù)學(xué)的“魔環(huán)”

在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，學(xué)生往往會(huì)碰到不少使用常規(guī)方法難以求解的題目，極易陷入困境之中，有些題目從表面上看同圓沒(méi)有關(guān)系，不過(guò)如果可以構(gòu)造輔助圓的話(huà)，便能夠把復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題變得具體化，他們的思路也會(huì)豁然開(kāi)朗，從而快速突破解題障礙.初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生掌握輔助圓在解題中的應(yīng)用竅門(mén)，使其根據(jù)實(shí)際情況和解題所需構(gòu)建相應(yīng)的輔助圓，發(fā)掘出更多的隱性條件輔助做題，最終提高他們的做題效率.

1應(yīng)用輔助圓解答幾何證明類(lèi)試題

對(duì)于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言，證明題屬于常規(guī)題型之一，需要證明的結(jié)論有很多，當(dāng)遇到一些比較特殊的幾何試題時(shí)，教師可引領(lǐng)學(xué)生借助圓周角定理來(lái)構(gòu)造輔助圓，使其學(xué)會(huì)合理使用圓周角的性質(zhì)確定解題思路，像同弧或者長(zhǎng)度相等的弧度對(duì)應(yīng)的圓周角為圓心角的一半.通過(guò)構(gòu)建輔助圓，學(xué)生思維得以開(kāi)闊，找到解題所需的隱性條件，讓他們輕松做題[1].

例1在圖1中，△ABC的3條高相交于點(diǎn) H ，把 DF，DE，EF 連接起來(lái)，請(qǐng)證明點(diǎn) H 是 ΔDEF 的內(nèi)心.

分析處理這一題目時(shí)，可借助圓周角定理構(gòu)建輔助圓，其中 B，D，H，F(xiàn) 四點(diǎn)和 A，F(xiàn)，H，E 四點(diǎn)分別共圓，據(jù)此構(gòu)建輔助圓，然后結(jié)合圓周角定理及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)把結(jié)論順利證明出來(lái).

解根據(jù)題意可知在四邊形 BDHF中，由于∠BDH=∠BFH=90^° ，那么 B，D，H，F(xiàn) 這四點(diǎn)共圓，則 ∠DFH=∠DBH ，采用同樣的方法能夠確定A，F(xiàn)，H，E 四點(diǎn)也共圓，故 ∠HFE=∠HAE ，由于∠BDH 與 ∠HAE 均同 ∠ACB 是互余關(guān)系，那么∠BDH=∠HAE ，即為 ∠DFH=∠HFE ，采用同樣的方法可以得到 ∠FEH=∠HED

綜合起來(lái)能夠確定點(diǎn) H 是 ΔDEF3 個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，所以點(diǎn) H 是 ΔDEF 的內(nèi)心.

2應(yīng)用輔助圓解答線段長(zhǎng)度類(lèi)試題

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，求線段長(zhǎng)度是一類(lèi)比較常見(jiàn)的題目，當(dāng)根據(jù)已知信息采用常規(guī)方法難以解題時(shí)，教師便可提示學(xué)生應(yīng)用輔助圓的方法，常規(guī)做法是先結(jié)合端點(diǎn)相同的線段來(lái)構(gòu)造輔助圓，選擇適當(dāng)端點(diǎn)當(dāng)作圓心，再確定適當(dāng)?shù)木€段當(dāng)作直徑或者半徑，然后借助圓的基本性質(zhì)來(lái)求出線段長(zhǎng)度，整個(gè)過(guò)程較為簡(jiǎn)便，能夠有效提高他們的做題效率[2].

例2 已知在四邊形BCDE中，A點(diǎn)位于BE之上，且 AE//CD ，其中 AB=AC=AD=AE= ，那么對(duì)角線 BD 的具體長(zhǎng)度是什么？

分析這是一道典型的求解線段長(zhǎng)度類(lèi)試題，當(dāng)使用構(gòu)造輔助圓的方法時(shí)，可作一個(gè)四邊形BCDE的外接圓， B，C，D，E 四個(gè)線段的端點(diǎn)位于輔助圓上面，結(jié)合圓內(nèi)弦、直徑、圓周角，以及直角三角形和勾股定理等知識(shí)完成解題，順暢求出對(duì)角線BD的具體長(zhǎng)度.

解根據(jù) AE//CD 可以得到 ∠BDC=∠DBE .結(jié)合 AB=AC=AD=AE=5cm ，能夠?qū)Ⅻc(diǎn) B，C FD，E 看作同一個(gè)圓上面的點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)建一個(gè)輔助圓，則弦BC與弦 DE 的長(zhǎng)度一樣，因?yàn)?BC= ，那么 ，由于 EB 是輔助圓的直徑，故 ∠EDB=90^° ，則在 RtΔEDB 中，結(jié)合勾股定理可得 .又因?yàn)?AB=5cm ，EB 是輔助圓 A 的直徑，故 EB=10cm ，那么 BD= ，所以對(duì)角線BD 的具體長(zhǎng)度是 9cm

3應(yīng)用輔助圓解答比較角大小試題

針對(duì)初中解題教學(xué)來(lái)說(shuō)，也會(huì)遇到不少同角的度數(shù)或者大小有關(guān)的題目，當(dāng)遇到此類(lèi)試題時(shí)，同樣可以應(yīng)用輔助圓的解題方法，如果題目中存在三角形時(shí)，可先確定公共點(diǎn)當(dāng)作頂點(diǎn)，再把三角形的外接圓給畫(huà)出來(lái)，不過(guò)需注意的是教師指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建輔助圓時(shí)，應(yīng)該明確輔助圓同三角形之間的關(guān)系，使其從中找到一些解題所需的隱性條件，讓他們正確解題[3].

例3在圖3中， ΔABC 是一個(gè)等腰三角形，其中 AB=AC ，直線 AP 位于 ΔABC 的外側(cè)，B點(diǎn)和D 點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)軸是 AP ，請(qǐng)比較 ∠1 與 ∠2 的大小關(guān)系.

分析當(dāng)比較角的大小關(guān)系時(shí)，同樣可以應(yīng)用構(gòu)建輔助圓的方法，不過(guò)要結(jié)合三角形的性質(zhì)，還需用到對(duì)稱(chēng)、圓心角及圓周角之間的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，最終準(zhǔn)確確定 ∠1 與 ∠2 的大小關(guān)系.

解因?yàn)?B 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)軸是 AP ，那么直線 AP 垂直平分線段 BD ，據(jù)此能夠判定出 ΔABD 是一個(gè)等腰三角形，則 AB=AC=AD ：

此時(shí)可以 A 點(diǎn)為圓心， AC 為半徑，構(gòu)建一個(gè)輔助圓，由于點(diǎn) P 是 BD 的中點(diǎn)，且 AP 是經(jīng)過(guò) E 點(diǎn)的直線，故 ΔBDE 也是一個(gè)等腰三角形，由此可以得到 BE=DE ，那么 ∠EBD=∠EDB ，即為 ∠2 =2∠EDB ：

又根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角為圓心角的一半能夠得到 ∠1=2∠CDB ，所以 ∠1=∠2 ，故 ∠1 與 ∠2 是相等關(guān)系.

4結(jié)語(yǔ)

總的來(lái)說(shuō)，在解決初中數(shù)學(xué)幾何試題時(shí)，教師需充分意識(shí)到輔助圓的作用，可圍繞輔助圓的應(yīng)用精心安排專(zhuān)題訓(xùn)練，指引學(xué)生掌握構(gòu)建輔助圓的技巧，據(jù)此處理一些比較復(fù)雜或者條件隱晦的試題，使其借助輔助圓的優(yōu)勢(shì)找到更為簡(jiǎn)潔的方法，結(jié)合構(gòu)建輔助圓形成開(kāi)闊的解題思路，準(zhǔn)確找到解題的切入點(diǎn)，減少解題障礙，從而不斷提高他們的數(shù)學(xué)解題水平.

參考文獻(xiàn)：

[1吳世琴.“構(gòu)造輔助圓”在初中數(shù)學(xué)解題中的靈活運(yùn)用[J].數(shù)理天地（初中版），2025（1）：68-69.

[2」應(yīng)文慧.“構(gòu)造輔助圓”在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究[J].試題與研究，2024（26）：16—18.

[3]杜興興.輔助圓模型在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探究[J].數(shù)理天地（初中版），2024（14）：31一32.