一題多解探本質，幾何畫板助直觀

摘要：中考幾何壓軸題具有知識面廣、解題入口寬的特點，既考查“四基”的落實，又考查“四能”的培養.從解法的角度剖析中考真題，可以發現數學學習是方法和素養并重，思維與創新同行.靈活運用以幾何畫板為代表的信息技術手段輔助探究，幫助揭示幾何直觀，達成一題多解，提高教學效率.

關鍵詞：幾何畫板；幾何直觀；一題多解

1 試題呈現

（2023年廣東中考第22題）如圖1，在矩形ABCD中（ABgt;AD），對角線AC，BD相交于點O，點A關于BD的對稱點為A′.連接AA′交BD于點E，連接CA′.

（1）求證：AA′⊥CA′.

（2）以點O為圓心，OE為半徑作圓.

①如圖2，⊙O與CD相切，求證AA′=3CA′;

②如圖3，⊙O與CA′相切，AD=1，求⊙O的面積.

2 解法探究

第（1）問以基本圖形矩形為載體，結合圖形運動對稱，考查基本概念、基本知識.第（2）①問根據學生分析題目的視角不同，構造不同的輔助線，產生不同的解題方法.第（2）②問通過幾何畫板輔助，化靜為動，從特殊的相切位置，到一般的相交位置，剖析符合認知規律的解題思路，現以第（2）問為例，剖析信息技術軟件在探究中考幾何壓軸題中的應用.

2.1 第（1）問：運用基本知識解決基本問題.

思路1：借助中位線的判定與性質求解.

解法1：由點A，A′關于BD對稱，得AE=A′E，BD⊥AA′，再由矩形對角線的性質，得AO=CO，所以OE是△ACA′的中位線，所以A′C∥BD，從而AA′⊥CA′.

思路2：借助相似三角形的判定與性質求解.

解法2：由點A，A′關于BD對稱，得AEAA′=12，BD⊥AA′，再由矩形對角線的性質，得AOAC=12，易證△EAO∽△A′AC，所以∠AA′C=∠AEO=90°，即AA′⊥CA′.

思路3：利用垂直平分線和等腰三角形的性質結合三角形內角和求解.

解法3：連接OA′，由點A，A′關于BD對稱，得OA=OA′，所以∠OAA′=∠OA′A，再由矩形對角線的性質，得AO=CO，則有OA′=OC，所以∠OA′C=∠OCA′，結合∠OAA′+∠OA′A+∠OA′C+∠OCA′=180°，所以∠OA′A+∠OA′C=90°，從而∠AA′C=90°，即AA′⊥CA′.

思路4：運用圓的定義與性質求解.

解法4：連接OA′，由點A，A′關于BD對稱，得OA=OA′，再由矩形對角線的性質，得OA=OA′=OC，所以點A，A′，C在以AC為直徑的圓上，所以∠AA′C=90°，即AA′⊥CA′.

思路5：運用矩形的判定和性質求解.

解法5：過點C作CM⊥BD交BD于點M.易證△AEO≌△CMO，則有AE=CM，易得四邊形A′EMC是矩形，所以∠AA′C=90°，即AA′⊥CA′.

2.2 第（2）①問：構造輔助線產生一題多解

證法1：如圖4，過點O作OF⊥CD，垂足為F.易證Rt△OEA≌Rt△OFC，所以∠OAE=∠OCF.在矩形ABCD中，∠OCF=∠OAB=∠OBA，所以∠OAE=∠OAB=∠OBA.在Rt△AEB中，∠EAB+∠OBA=90°，即3∠OAE=90°，則∠OAE=30°，利用三角函數可得到AA′=3CA′.

證法2：如圖4，過點O作OF⊥CD，垂足為F.可證OE=OF.因為OE是△ACA′的中位線，所以OE=12A′C.而OF是△DCB的中位線，所以OF=12BC.所以A′C=BC.再證Rt△AA′C≌Rt△ABC，所以∠CAA′=∠CAB.其余部分同證法1.

證法3：如圖4，令⊙O與CD相切于點F，連接OF，可知OE=OF.其余部分同證法1.

證法4：如圖4，過點O作OF⊥CD，垂足為F，CD與AA′交于點M，連接OM.易證S△AOM=S△COM，OE=OF，由等面積法可知MA=MC，所以∠MAC=∠MCA.其余部分同證法1.

證法5：如圖5所示，過點O作OF⊥CD，垂足為F，過點O作OH⊥AB，垂足為H.

先證Rt△OHA≌Rt△OFC，得到OH=OF，利用角平分線的判定得到∠OAE=∠OAB，再用矩形的性質和三角形內角和定理得到∠OAE=30°，進而利用三角函數可以得到AA′=3CA′.

2.3 第（2）②問：動態展示探尋解法

比較第（2）①問和第（2）②問發現，兩問都是由圖形的特殊位置求解相關結果，自然可聯想到，改變ABAD的比值，借助幾何畫板軟件，把靜態問題轉化為動態運動，從整體上把握圖形的本質.

解法1：如圖6，過點O作OH⊥CA′，垂足為H.易證Rt△OEA≌Rt△OHC，所以∠OAE=∠OCH，則∠CAA′=45°.設OE=x，在Rt△DAE中，AE2+DE2=AD2，于是有x2+（2x-x）2=12，解得x2=2+24，所以⊙O的面積為2+24π.

解法2：如圖6，令⊙O與CA′相切于點H，連接OH.可證OE=OH.其余部分同解法1.

解法3：如圖6，過點O作OH⊥CA′，垂足為H.可證OE=OH，再證四邊形EOHA′是正方形.設OE=x，則在Rt△DAE中有AE2+DE2=AD2.其余部分同解法1.

解法4：如圖6，過點O作OH⊥CA′，垂足為H.可證OE=OH，再證四邊形EOHA′是正方形.設OE=x，則在Rt△DAE和Rt△AEO中有AD2-DE2=AO2-OE2，即12-（2x-x）2=（2x）2-x2，解得x2=2+24，所以⊙O的面積為2+24π.

3 試題評價

3.1 聚焦主要知識，踐行課標理念

從知識層面看，試題主要涉及矩形的性質與判定、軸對稱、圓的性質、切線的性質與判定、三角形全等、三角形相似、三角形中位線、直角三角形的性質、三角形內角和、三角函數、勾股定理和一元二次方程等主要知識，綜合考查學生邏輯推理和數學運算能力.試題的落腳點是基本圖形，生長點是輔助線的添加，延伸點是方程思想.從基本圖形的視角來剖析，考查學生對教材中基本幾何圖形性質與判定的理解，對綜合問題中復雜圖形的辨識能力.從輔助線添加的角度來剖析，需要學生有足夠的推理能力和創新意識，將題目中要證的代數結論AA′=3CA′抽象成幾何條件，突出試題選拔對學生幾何直觀和數學抽象素養的關注.從方程思想的角度來剖析，考查學生將靜態問題用運動的觀點來解決，比較第（2）問中的①和②，切線位置不同，因此可以看成動態圖形“化靜為動”，在變化中找直角三角形，用勾股定理“化動為靜”用方程解決問題.試題既重視基本圖形和基本知識的考查，又重視創新能力和理性意識的培養，緊密契合新課標理念.

3.2 立足多元解法，凸顯思維能力

本題的解題思路靈活多樣，學生可以從多個角度著手，目的是充分調動學生的靈活思維，鼓勵學生積極去探究和嘗試，給學生搭建廣闊的思維平臺，讓學生有所會、有所獲.第（1）問可以通過中位線的性質、三角形相似、等腰三角形的性質、圓的定義、全等三角形的判定或者矩形的判定求解.第（2）①問用到全等三角形的判定、中位線的性質或者等面積法求解.第（2）②問利用等腰直角三角形的性質或者一組共邊直角三角形，建立不一樣的方程，都可以達到解決問題的目的.第（1）問較為基礎，解題入口寬，第（2）①問中等難度，解題方法的選擇依舊豐富，第（2）②問難度較大，對學生綜合運用數學知識的要求較高.小題之間思維難度層層遞進，梯度明顯，區分度高，既能準確考查學生對基本概念、基本知識的掌握，又能給數學素養水平較高的學生提供展現思維能力的空間.

3.3 追求創新立意，彰顯探究價值

近幾年廣東省中考數學壓軸題常常以二次函數綜合題為主，聚焦面積的最值問題、特殊三角形或者四邊形的存在性問題等.圓的壓軸題聚焦切線的證明、三角形相似、面積等.2024年推陳出新，以矩形為基本圖形，以簡單的軸對稱作為條件，設問表述簡單明了，一改往年固定題型風格，考查方式別具一格.第（2）①問求證AA′=3CA′，從題目條件出發，猜想先要求出∠OAE=30°.學生可以構造一組全等的直角三角形證得角相等，也可以通過角平分線的判定得到角相等，再通過三角形內角和得到∠OAE=30°.本題的圖形非常簡單，需要學生從題目主干中有效挖掘各小問的對應條件，分析圖形的相關信息，靈活運用基本幾何知識和方法，把抽象的數學問題變得直觀具體，積累活動經驗，豐富想象力，彰顯數學問題的探究價值.

4 教學導向

4.1 重視教材地位，加強“四基”教學

教材是教學的基礎，都是經過專家學者反復論證編排而成的，其中的探究活動嚴謹合理，例題與習題經典有效，內容設置聚焦主題，是學生初步學習數學知識的良好工具.本題蘊含矩形的性質與判定、切線的性質、圓的定義和中位線的性質等基本知識，以及構造全等三角形、角平分線模型和等面積三角形等基本技能，滲透轉化思想和數形結合思想，經歷軸對稱變化和化靜為動的圖形運動過程所得的活動經驗.教師日常教學中要用好、用透教材，讓學生學懂每一個概念、定理，弄清每一條運算法則，學會每一道例題，會做每一道習題，會編一些變式，落實基礎知識的掌握；鼓勵學生不以答案為目標，開放思維多角度、全方位解決問題，促進基本方法的獲取；引導學生在解決問題的過程中感悟和體會數學思想，設置增長性的問題串促使學生深入參與探究活動，獲取真實的活動經驗.教師做教學設計時，要把落實“四基”作為重要任務，培養學生踏實的學習習慣，夯實數學基礎，讓學生自覺主動地生成持續不斷的學習內驅力.

4.2 提倡一題多解，實現多解歸一

核心素養導向下的幾何教學，要引導學生開放發散解題思維，尋求不同的解題方法，在尋求多解的過程中，培養學生發散性思維，拓寬思考方式的廣度與深度[1].在得到多種解法之后，要引導學生回歸問題本源，比較各種方法的特征，辨別各種解法的優劣，做到多解選優，并且整理各種解法的本質特征，分門別類，得到通解通法，從而實現從一題多解到多解歸一的跨越.例如第（2）①問可以通過三角形全等、中位線性質、角平分線判定或者等面積法破題，實現一題多解，逆推結論發現，各種解法最終要指向∠OAE=30°，從而才能得到結果要證的倍數關系，實現多解歸一.此外，中考壓軸題綜合性強，涉及面廣，可以作為中考復習一題一課的優秀素材.本題涉及平面幾何多個大單元，可以拆分出矩形、軸對稱、三角形和圓等一系列小專題，選取矩形作為基本圖形，通過平移、折疊和旋轉一步一步加強條件或者添加約束條件，最后再與圓、相似三角形或者二次函數綜合，形成一節充實豐富的幾何專題復習課，從而實現做一題、會一類的高效學習方式.

4.3 利用信息技術，提高教學效率

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“教師可以利用圖形計算器、動態幾何軟件等教學工具對幾何圖形的變化過程進行展示，幫助學生將抽象的知識直觀化.”以幾何畫板為代表的信息技術應用于中學數學教學，可以優化教學環境、提升教學質量，推動教師教學方式方法的多元發展.課堂上以本題為素材，借助幾何畫板、GeoGebra等動態幾何軟件，固定矩形一邊，設置參數使得另一邊的長度變化，圓的半徑也隨之變化，圓與矩形的位置關系也跟著改變，進一步提出問題，圓與矩形上下兩邊的位置關系是由哪些元素確定的，引領學生在已有的結論中提出猜想，再通過動態幾何軟件驗證，讓學生更直觀地感受圖形的本質，發展合作交流的能力和質疑反思的精神，也促進學生構建平面幾何知識網絡，發展空間觀念.借助信息手段引導學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，培養學生良好的學習習慣，發展學生的理性思維和創新精神.以信息技術為輔助提高教學效率，師生合力參與有合作、有交流、有碰撞的課堂活動，是教學目標的高效達成，是數學思想的有效滲透，是思維能力的拓展提升.

參考文獻：

[1]陳建新，吳靖.一道中考壓軸題的解法分析和教學啟示[J].中學數學教學參考，2022（14）：5052.