五步遞進式講題模型的應用探究

摘要：應用五步遞進式講題模型講解中考數學試題是教學手段創新的重要體現.文章結合教學實踐和中考數學真題，從引導啟發、知識講解、示范解題、鞏固練習和總結反思五個步驟對試題進行講解，以期引導教學，服務教學.

關鍵詞：中考試題；深度學習；試題講解

1 五步遞進式講題模型

初中數學五步遞進式講題模型是一種系統的教學方法，其內涵包括引導啟發、知識講解、示范解題、鞏固練習和總結反思五個步驟.首先，“引導啟發”階段，教師通過設置生活化的數學問題或創設情境，激發學生的興趣，促使他們主動思考，幫助學生從實際問題出發，感知數學知識的價值和應用.這一階段不僅是學生進入新知識學習的心理過渡，也為后續知識學習打下基礎.接著，“知識講解”階段，教師詳細講解新知識的核心概念、性質、定理或公式，通過清晰的邏輯結構和舉例說明，幫助學生理解抽象的數學思想[1].在這個過程中，教師要注意知識點的層次性和銜接性，避免知識講解的跳躍或混亂，確保學生能夠逐步接受和理解所學內容.第三步是“示范解題”，教師通過講解典型例題，演示如何將所學的數學知識應用到實際問題中.此階段不僅強調解題步驟和方法，更注重引導學生理解解題背后的數學原理，幫助他們掌握解題的技巧和思維方式.然后是“鞏固練習”環節，學生通過自主練習和集體討論，進一步消化和鞏固所學的知識.在教師的引導下，學生通過解答不同難度的題目，提升對知識的理解深度，發現自己的不足，并進行針對性的改進.最后，“總結反思”階段，教師引導學生回顧本節課的學習內容，反思解題過程，分析常見錯誤和易錯點，幫助學生形成更加清晰的知識框架，并提高他們的自主學習和問題解決能力.

2 五步遞進式講題模型下的試題講解

（2024年江蘇省鹽城市中考數學試卷第15題）如圖1，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升至距地面30 m的點P處，測得教學樓底端點A的俯角為37°，再將無人機沿教學樓方向水平飛行26.6 m至點Q處，測得教學樓頂端點B的俯角為45°，則教學樓AB的高度約為m.（精確到1m，參考數據：sin 37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.）

2.1 引導啟發

師：今天我們來解決一道關于幾何和三角函數的實際應用問題.題目給出了一個無人機測量建筑物高度的場景，你們可以從中提取哪些數學知識來解答這個問題呢？（教師鼓勵學生思考）

生1：這個問題涉及的是三角函數吧，可能需要用到正切、正弦或者余弦.

師：很好！這道題確實是通過三角函數來解決的.在無人機上升和水平飛行的過程中，你們認為哪個角度信息最有用呢？

生2：可能是俯角吧，因為俯角可以幫助我們計算高度.

師：對的！我們有俯角信息和距離，利用這些可以求解建筑物的高度.那如何根據這些信息建立數學模型呢？我們一起來分析一下題目中的已知條件和要求.

2.2 知識講解

師：首先，題目中提到小明用無人機垂直上升至距離地面30 m的點P，測得教學樓底端點A的俯角為37°.這意味著什么呢？

生3：這應該是一個直角三角形的一個角度，我們可以用正切來解決.

師：沒錯！我們可以利用正切來求解無人機與教學樓底端點A之間的距離.這個距離就是我們要求解的三角形的一個重要組成部分.接著，題目又告訴我們無人機從點P飛行到點Q，距離是26.6 m，此時測得教學樓頂端點B的俯角為45°.在這里，俯角為45°可以幫助我們進一步計算.

師：因此，整道題的關鍵在于如何通過已知的三角函數和幾何圖形求解建筑物的高度.我們可以從直角三角形出發，利用已知的三角函數關系一步步求解出高度.

2.3 示范解題

師：好了，接下來我來演示一遍如何解這道題.延長AB交PQ的延長線于點H，則∠PHA=90°.我們先從點P出發，分析三角形PHA.我們知道，AH（即無人機的高度）是30 m，∠APH是37°，根據三角函數的定義，tan37°=AHPH.于是可得tan37°=30PH≈0.75，通過這個等式，我們可以求得PH=300.75=40（m），所以PH（無人機到建筑物底端的水平距離）是40 m.

接著，繼續求QH.由于無人機沿著水平路徑飛行了26.6 m，則QH=PH-PQ.因此，QH=PH-PQ=40-26.6=13.4（m）.接下來，要注意的是，∠PHA=90°，∠HQB=45°，所以可以得出QH=BH，由此得出BH也是13.4 m.

最后，AB的高度就是AH減去BH，即AB=AH-BH=30-13.4=16.6（m），四舍五入后，最終答案是17 m.

2.4 鞏固練習

師：同學們，聽完我的講解之后，大家的思維是不是更清晰了？接下來，我們做一個類似的問題練習，幫助大家鞏固這些知識點.請大家看這個問題——如果無人機的上升高度為40 m，俯角變成了45°，你們能利用剛才學到的知識解出建筑物的高度嗎？

生4：這個問題也可以用相同的方法來解決，我可以先求得PH，再計算QH，然后通過幾何關系得到建筑物的高度.

師：非常好！大家可以嘗試一下，注意要把角度和三角函數的關系弄清楚，步驟要一步步來.

2.5 總結反思

師：今天我們通過這道題，復習了如何運用三角函數解決實際問題.首先，我們利用正切函數求解PH的值，接著利用幾何關系找到了QH，最后通過簡單的減法得出了建筑物的高度.

師：在解這類問題時，同學們一定要注意以下幾個方面.明確題目中的已知條件，找出關鍵的幾何關系；熟練掌握三角函數的應用，特別是正切函數；計算過程中一定要小心，避免不必要的計算錯誤.通過一步步推導，最終得出正確答案.希望大家可以通過練習掌握這些技巧，在考試中能夠靈活應用.

3 應用五步遞進式講題模型的注意事項

在“引導啟發”階段，教師不僅要通過生活化的問題或情境來激發學生的興趣，還要巧妙地引導學生主動思考和發現解決問題的關鍵.在上述案例中，教師通過設定利用無人機測量教學樓高度的實際場景，促使學生從生活實際出發，思考如何運用數學知識解決實際問題.在這一階段，教師需要注意引導學生發現數學問題的本質，并鼓勵學生表達自己的想法.教師通過引導學生討論可以揭示出三角函數的核心應用，激發學生對數學問題的興趣和參與感.同時，教師要避免一開始就直接給出解題思路，而是要通過提問和引導，幫助學生自行思考和發現解決問題的路徑.

在“知識講解”階段，教師需要對新知識進行深入講解，確保知識點的層次性和銜接性.在本案例中，教師通過對三角函數中正切、正弦等公式的講解，幫助學生理解如何運用這些公式解決實際問題.此時，教師不僅要注重知識的講解，還要在講解過程中注重學生對知識點的理解和內化.在教學中，教師可以通過多種方式加深學生對知識的理解，例如通過圖示、模型或生活中的實例來幫助學生理解抽象的數學概念.此外，教師要特別注意知識的銜接性，確保學生在理解新知識時，不會感到斷裂或跳躍，避免學生在后續環節中因為基礎不扎實而出現理解偏差.

在“示范解題”環節，教師通過演示典型例題的解法，展示如何將所學知識應用于實際問題.教師要在演示過程中強調解題的步驟和思維方式，確保學生不僅掌握解題方法，還能理解每一步的數學原理.在示范解題時，教師要引導學生理解如何從已知條件出發，利用數學知識推導出結果.

在“鞏固練習”階段，教師通過設置類似問題讓學生練習，幫助學生在實踐中加深對知識的理解，并通過討論解決學生在練習中遇到的問題.這一環節對于學生技能的提升至關重要，教師在這個環節中的作用是引導和幫助學生克服難點，而不是直接給出答案.此外，教師要注意設計不同難度的題目，既要有基礎的訓練，也要有一定的挑戰，幫助學生逐步提高解題能力.

最后，在“總結反思”階段，教師通過引導學生回顧整個解題過程，幫助他們總結解題經驗和反思可能的錯誤.在本案例中，教師通過分析常見的錯誤點，幫助學生避免常見的思維誤區，提高他們的問題解決能力.在總結時，教師要注意引導學生反思整個解題過程，強調方法和思路的應用，培養學生的批判性思維和自主學習能力.

參考文獻：

[1]麥鳳珊.學生講題促進數學深度學習[J].中學數學研究（華南師范大學版），2021（10）：1820.