數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)三類題型中的應(yīng)用特征及教學(xué)應(yīng)對(duì)

摘要：數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的重要思想之一.文章從幾何圖形、平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)圖象三個(gè)方面對(duì)初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用特征進(jìn)行分析，并得出教學(xué)應(yīng)對(duì)策略.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；教學(xué)應(yīng)對(duì)

1 幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想

如圖1，M為Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，等腰三角形MBD的底邊BD與AC交于點(diǎn)P，若∠A=30°，則PBPD的最小值為（）.

A.1 B.3 C.2 D.3

試題點(diǎn)評(píng)：這道題巧妙結(jié)合了幾何圖形與代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用來(lái)求解PBPD的最小值，充分考查學(xué)生對(duì)圖形和數(shù)之間內(nèi)在聯(lián)系的理解.首先，利用∠A=30°這一條件，可以推導(dǎo)出直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，通過(guò)幾何構(gòu)圖，將斜邊AB、底邊BD及角度關(guān)系直觀地呈現(xiàn)出來(lái).在此基礎(chǔ)上，通過(guò)分析三角形中的相似性與對(duì)稱性，進(jìn)一步利用代數(shù)手段將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，即將圖形中的長(zhǎng)度比值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的求解問(wèn)題.這一過(guò)程正是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，通過(guò)幾何圖形提供的直觀信息，構(gòu)建代數(shù)表達(dá)式，從而求解數(shù)值結(jié)果.這種考查方式不僅讓學(xué)生在圖形中找到代數(shù)關(guān)系，也要求他們能夠通過(guò)代數(shù)手段驗(yàn)證幾何結(jié)論，深刻理解數(shù)形結(jié)合思想的精髓.

2 平面直角坐標(biāo)系中的數(shù)形結(jié)合思想

為了在校運(yùn)會(huì)中取得更好的成績(jī)，小丁積極訓(xùn)練，在某次試投中鉛球所經(jīng)過(guò)的路線是如圖2所示的拋物線的一部分.已知鉛球出手處A距離地面的高度是1.68 m，當(dāng)鉛球運(yùn)行的水平距離為2 m時(shí)，達(dá)到最大高度2 m的B處，則小丁此次投擲的成績(jī)是m.

試題點(diǎn)評(píng)：試題通過(guò)鉛球的拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡，巧妙地體現(xiàn)了平面直角坐標(biāo)系中的數(shù)形結(jié)合思想.題目中給出了鉛球的出手高度和最大高度，以及相應(yīng)的水平距離，要求求解投擲成績(jī)，即拋物線在水平軸上的截距.通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生需要將物理中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程與數(shù)學(xué)中的拋物線方程聯(lián)系起來(lái).題目提供了拋物線的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即鉛球出手處的高度（1.68 m）和最大高度（2 m），對(duì)應(yīng)的水平距離分別為0 m和2 m.通過(guò)這些信息，學(xué)生可以設(shè)定拋物線的頂點(diǎn)形式，并將已知點(diǎn)代入，解出方程中的參數(shù).這一過(guò)程中，平面直角坐標(biāo)系幫助學(xué)生將實(shí)際的運(yùn)動(dòng)路徑形象化為拋物線的圖形，而數(shù)形結(jié)合思想則通過(guò)構(gòu)建拋物線方程，將幾何圖形中的點(diǎn)與代數(shù)表達(dá)式相聯(lián)系，最終解出鉛球落地時(shí)的水平距離.該題考查學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中將幾何形狀與代數(shù)方程相結(jié)合的能力.

3 函數(shù)圖象中的數(shù)形結(jié)合思想

如圖31，工人正在用撬棒撬石頭，撬棒是杠桿，O為杠桿的支點(diǎn).當(dāng)支點(diǎn)和石頭的大小不變時(shí)，工人師傅用的力F與其力臂l之間的關(guān)系式為F=kl，其圖象如圖32所示，點(diǎn)P為F=kl圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，S△OPM=20 000 cm2.若OA=40 cm，撬棒與水平地面的夾角為30°，則這塊石頭重力為N.

試題點(diǎn)評(píng)：這道題以杠桿原理為背景，通過(guò)函數(shù)圖象體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.題目給出了力F與力臂l之間的反比例函數(shù)關(guān)系式F=kl，并在圖象中表示出來(lái)，通過(guò)幾何構(gòu)圖和函數(shù)關(guān)系的結(jié)合，考查學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解和應(yīng)用.在解題過(guò)程中，學(xué)生首先需要理解反比例函數(shù)F=kl的圖象特性，并結(jié)合幾何構(gòu)圖進(jìn)行分析.題目中要求求解的三角形OPM的面積涉及函數(shù)圖象中點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)的幾何關(guān)系，學(xué)生需要將函數(shù)圖象中的點(diǎn)P的坐標(biāo)與力F和力臂l的物理量相結(jié)合，通過(guò)圖象分析及代數(shù)計(jì)算得到相應(yīng)的物理量1.

4 數(shù)形結(jié)合思想在試題中的應(yīng)用特征

4.1 通過(guò)圖形直觀揭示代數(shù)關(guān)系

在幾何圖形、平面直角坐標(biāo)系和函數(shù)圖象的例題中，數(shù)形結(jié)合思想的一個(gè)共同特征是通過(guò)圖形的直觀性揭示代數(shù)關(guān)系或方程的內(nèi)在聯(lián)系.例如，撬棒問(wèn)題中，力F與力臂l的關(guān)系F=kl被圖形清晰地表達(dá)為一條反比例函數(shù)曲線，這使得學(xué)生能夠通過(guò)觀察圖象，理解力與力臂之間的變化關(guān)系.在鉛球運(yùn)動(dòng)例題中，拋物線的軌跡不僅直觀展示了鉛球運(yùn)動(dòng)的路徑，還通過(guò)頂點(diǎn)形式的方程揭示了鉛球運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)和出手點(diǎn)的代數(shù)關(guān)系.這種通過(guò)圖形揭示代數(shù)關(guān)系的過(guò)程，是數(shù)形結(jié)合思想在各類試題中的共同特征.

4.2 將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題或通過(guò)幾何圖形進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算數(shù)形結(jié)合思想的另一個(gè)相同特征在于，它能夠?qū)⒋鷶?shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，或通過(guò)幾何圖形進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算.在幾何圖形例題中，利用幾何圖形中的比例和相似性，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)式，從而求解PBPD的最小值.在平面直角坐標(biāo)系有關(guān)例題中，學(xué)生通過(guò)拋物線方程的代數(shù)形式，結(jié)合幾何位置關(guān)系（如頂點(diǎn)、交點(diǎn)）計(jì)算鉛球的投擲距離，解決實(shí)際問(wèn)題.而在函數(shù)圖象的例題中，圖象不僅用于展示函數(shù)關(guān)系，還通過(guò)幾何圖形中的面積計(jì)算，將代數(shù)關(guān)系與實(shí)際物理量（如石頭的重力）相結(jié)合，完成運(yùn)算.

這兩個(gè)特征反映了數(shù)形結(jié)合思想在各類數(shù)學(xué)問(wèn)題中的核心作用：它通過(guò)圖形直觀化復(fù)雜的代數(shù)關(guān)系，并通過(guò)圖形分析與代數(shù)運(yùn)算相結(jié)合，幫助學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題.

5 教學(xué)應(yīng)對(duì)

5.1 強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)訓(xùn)練，注重幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算的雙向轉(zhuǎn)換在教學(xué)中，教師應(yīng)注重通過(guò)基礎(chǔ)訓(xùn)練來(lái)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解和應(yīng)用能力，特別是在幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的雙向轉(zhuǎn)換上.在幾何圖形中，通過(guò)對(duì)幾何圖形中比例、相似性等關(guān)系的反復(fù)練習(xí)，促使學(xué)生能夠從幾何直觀中迅速提取出相應(yīng)的代數(shù)表達(dá)式，從而解決問(wèn)題.類似地，在平面直角坐標(biāo)系中，教師可以通過(guò)設(shè)置一系列拋物線、圓、直線等的應(yīng)用題，指導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)方程推導(dǎo)幾何位置關(guān)系，或通過(guò)幾何位置關(guān)系反推代數(shù)表達(dá)式的形成過(guò)程.在函數(shù)圖象的教學(xué)中，教師應(yīng)設(shè)計(jì)多樣化的練習(xí)，如通過(guò)繪制函數(shù)圖象促使學(xué)生直觀感受函數(shù)性質(zhì)，或通過(guò)圖象中的幾何特征（如面積、截距、斜率）進(jìn)行代數(shù)推導(dǎo).這種雙向轉(zhuǎn)換的訓(xùn)練不僅能夠鞏固學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，還能使他們?cè)谟龅綇?fù)雜問(wèn)題時(shí)，能夠靈活運(yùn)用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算之間的聯(lián)系，提升解題效率.

5.2 創(chuàng)設(shè)真實(shí)問(wèn)題情境，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際應(yīng)用中的綜合訓(xùn)練教師在教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)真實(shí)問(wèn)題情境，使學(xué)生能夠?qū)?shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的解決中.例如，在講解幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合時(shí)，教師可以設(shè)置與日常生活密切相關(guān)的應(yīng)用題，通過(guò)實(shí)際場(chǎng)景的模擬，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)幾何圖形與代數(shù)運(yùn)算在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要性.在平面直角坐標(biāo)系中，可以通過(guò)設(shè)定與運(yùn)動(dòng)軌跡相關(guān)的情境問(wèn)題，幫助學(xué)生將代數(shù)方程與實(shí)際運(yùn)動(dòng)相結(jié)合.在函數(shù)圖象的教學(xué)中，教師可以將經(jīng)濟(jì)學(xué)中的供需曲線、物理學(xué)中的力與力臂的關(guān)系等情境引入課堂，通過(guò)函數(shù)圖象分析現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題.這種綜合訓(xùn)練不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能夠提升他們將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于復(fù)雜實(shí)際問(wèn)題的能力，使他們?cè)诿鎸?duì)多元情境問(wèn)題時(shí)，能夠迅速識(shí)別出問(wèn)題的幾何和代數(shù)特征，并通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行有效的分析與解決.

參考文獻(xiàn)：

[1]周嶺，許璐.例談“數(shù)形結(jié)合”思想在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（5）：3940.