“集合的含義及其表示”教學(xué)存在的問題與應(yīng)對措施的探索

[摘" 要] 集合是學(xué)生進(jìn)入高中首先接觸的數(shù)學(xué)內(nèi)容，對夯實(shí)知識基礎(chǔ)，幫助學(xué)生樹立學(xué)習(xí)信心具有舉足輕重的影響. 然而，當(dāng)前不少教師在“集合的含義及其表示”的教學(xué)上存在教學(xué)目標(biāo)不清晰與教學(xué)效益低下兩類問題. 研究者針對這兩類問題設(shè)計了教學(xué)方案，并從開篇教學(xué)原因、教學(xué)功能分析以及教學(xué)設(shè)計理念三方面談一談設(shè)計意圖與思考.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);集合;問題;教學(xué)方案

集合作為一種用代數(shù)語言精確描述數(shù)學(xué)概念的工具，是高中數(shù)學(xué)課程的起始部分. 盡管它所占篇幅有限，但其開篇課程對學(xué)生來說意義重大. 經(jīng)驗(yàn)證明，掌握集合章節(jié)的知識能夠增強(qiáng)學(xué)生對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心. 然而，一些教師可能認(rèn)為這部分內(nèi)容相對簡單，而未給予應(yīng)有的重視，導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)不明確和教學(xué)效率降低. 鑒于此，筆者進(jìn)行了廣泛的研究和分析，并將成果整理成文，以供共同學(xué)習(xí)和進(jìn)步.

存在的問題

1. 教學(xué)目標(biāo)不明確

一節(jié)課的教學(xué)質(zhì)量主要依賴于教學(xué)內(nèi)容的扎實(shí)性. 如果教師對教學(xué)內(nèi)容的理解存在偏差，那么所設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)自然會偏離預(yù)期. 在集合部分的教學(xué)中，教師對教學(xué)內(nèi)容理解不足通常表現(xiàn)為以下兩種情況.

（1）概念認(rèn)識不清

從本質(zhì)上來說，集合沒有一個明確的定義，關(guān)鍵在于明白其范圍. 例如，教材給出的標(biāo)題為“集合的含義及其表示”，而不是“集合的概念及其表示”. 由此能看出編者的用意. 對于集合的含義，可以借助“漁民打魚”的故事來闡釋，即被網(wǎng)兜住的魚為一個集合. 可見，集合并沒有一個明確的概念. 教師只有充分認(rèn)識到這一點(diǎn)，才能基于教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)設(shè)定清晰的教學(xué)目標(biāo).

（2）作用認(rèn)識不足

部分教師對高中數(shù)學(xué)課程為何以“集合”作為開篇，以及其主要作用是什么，并不清楚. 其實(shí)，集合不僅是重要的基礎(chǔ)性內(nèi)容，也是一種表達(dá)工具，它對于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來描述世界具有重要作用. 因此，在教學(xué)集合時，教師應(yīng)著重凸顯集合的“語言”功能，引導(dǎo)學(xué)生掌握如何使用集合語言來描述各種數(shù)學(xué)現(xiàn)象.

相較于初中階段，高中階段對學(xué)生的語言表達(dá)能力的要求顯著提高. 引導(dǎo)學(xué)生從集合的角度來準(zhǔn)確表達(dá)相應(yīng)的問題是教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn). 例如，對于集合{xq（x）}，該如何用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，并理解其含義呢？關(guān)于這個集合，x是集合中的元素，q（x）則表示元素x所滿足的條件. 因此，{xq（x）}不能讀成“x，q（x）”，而應(yīng)讀為“元素x滿足條件q（x）”.

精確的理解和表達(dá)不僅有助于學(xué)生掌握集合的含義，還能使他們深入了解集合的本質(zhì)及其應(yīng)用價值. 在教學(xué)集合的表示方法時，部分教師傾向于并列介紹列舉法、描述法和Venn圖示法. 然而，將Venn圖示法作為列舉法的一個子類更科學(xué).

2. 教學(xué)效率低下

集合雖然無法用明確的概念來描述，但本節(jié)課又屬于概念教學(xué)的范疇，其身邊有很多子概念，如自然數(shù)集、元素、實(shí)數(shù)集、有理數(shù)集、整數(shù)集、描述法、列舉法、空集、有限集等. 想讓學(xué)生在一節(jié)課中掌握這些紛繁復(fù)雜的內(nèi)容，就需要采用有效的教學(xué)方法來“串珠成鏈”，幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系. 部分教師為了讓學(xué)生能夠掌握這些內(nèi)容，常用“講練”的方式實(shí)施教學(xué)，卻又因?yàn)閱栴}設(shè)計不合理而出現(xiàn)“一講到底”的現(xiàn)象.

實(shí)踐證明，采用“講練”的教學(xué)方式，學(xué)生往往只能被動地接受概念，教學(xué)效果并不理想. 學(xué)生難以深入理解知識的深層含義，更不用說靈活運(yùn)用了. 在這種情況下，即便進(jìn)行大量的練習(xí)，也只能使學(xué)生對各個知識點(diǎn)的理解停留在模仿層面. 由于缺乏對知識脈絡(luò)的認(rèn)識，學(xué)生無法形成真正的理解和感悟，由此構(gòu)建的知識體系便是空泛的，難以實(shí)現(xiàn)靈活運(yùn)用.

事實(shí)告訴我們，學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以直觀形象思維為主，但邁入高中的大門，初識“集合”就對學(xué)生的抽象邏輯思維提出了較高要求. 教師如果以常規(guī)的“講練”方式進(jìn)行教學(xué)，難以實(shí)現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)效果;如果能結(jié)合教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)與學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律科學(xué)地設(shè)計題組，并引導(dǎo)學(xué)生在自主、合作與探究的過程中形成深刻的理解，那么就能有效地提高學(xué)生的抽象思維能力，為他們進(jìn)一步探索更廣泛的知識領(lǐng)域打下堅實(shí)的基礎(chǔ).

應(yīng)對措施

1. 教學(xué)簡錄

活動1 課程開始時，教師布置了以下幾項(xiàng)任務(wù). ①請學(xué)生按照以下方式進(jìn)行自我介紹：我家有三口人，包括父親、母親和我，我是第一中學(xué)的學(xué)生;②學(xué)生按性別分成A組和B組，并說明自己屬于哪一組;③來自同一所初中的學(xué)生聚集在一起，分成小組并編號，然后說說自己屬于哪個小組;④讓學(xué)生分析這些活動所提到的家庭、性別、學(xué)校等存在什么共同點(diǎn).

學(xué)生通過自主思考并用語言進(jìn)行描述，隨著表達(dá)能力的提升，逐步抽象出集合的含義和元素的概念.

設(shè)計說明 上述活動旨在促使學(xué)生利用日常生活中的實(shí)例進(jìn)行思考和表達(dá)，從而深入理解集合的含義，并抽象出元素的概念. 在這個過程中，學(xué)生不僅積極主動地參與活動，而且對集合有了深刻的理解和體會. 活動的設(shè)計體現(xiàn)了教師對這部分內(nèi)容的深刻理解，因此設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)非常明確，即引導(dǎo)學(xué)生理解集合的含義，掌握元素的概念.

活動2 分析以下情況中的元素能否構(gòu)成集合，并說明理由：①中國的一線城市;②英語單詞“l(fā)ove”中的各個字母;③高一年級所有身高較矮的學(xué)生;④大于50的整數(shù).

學(xué)生通過分析上述四種情況，進(jìn)一步加深了對集合的理解. 隨著問題的逐步解決，他們主動抽象出集合的符號表示，并對集合與元素之間的關(guān)系有了更深入的認(rèn)識.

設(shè)計說明 一旦學(xué)生掌握了某個知識點(diǎn)，若想進(jìn)一步深化理解，最佳途徑便是將其應(yīng)用于實(shí)際情境中.

活動3 要求學(xué)生自行使用符號來表示活動2中的各種情況.

本活動旨在探討表示集合的兩種方法：列舉法和描述法. 針對情況①和情況②，集合可以通過列舉法來表示，然而這種方法無法應(yīng)對情況④. 這將有效激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，此時教師提供一種標(biāo)準(zhǔn)的集合表示方法，有助于深化學(xué)生對集合概念的理解，并使他們豁然開朗. 基于此，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧并分析情況①和情況②的表達(dá)方式，鼓勵他們探討列舉法和描述法的優(yōu)缺點(diǎn)，并在恰當(dāng)?shù)臅r機(jī)引入空集、有限集、無限集以及集合相等的概念，帶領(lǐng)學(xué)生感知如何運(yùn)用Venn圖來表示集合.

設(shè)計說明 好奇心往往是創(chuàng)新萌芽的催化劑. 在本次活動中，教師鼓勵學(xué)生自主分析活動2中各種情況的描述方式，通過激發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，促使他們深入課堂探索，從而更深刻地理解和掌握新知. 這對促進(jìn)學(xué)生的個人發(fā)展具有重要價值.

活動4 要求學(xué)生自行列舉幾個與集合相關(guān)的實(shí)例.

面對這個活動，學(xué)生起初顯得有些迷茫，無法列舉出他們已經(jīng)接觸過的集合實(shí)例. 此時，教師給予一些指導(dǎo)：

師：我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是從哪里起步的呢？

生（眾）：從數(shù)開始.

師：那么，大家能否從數(shù)出發(fā)，列舉一些由不同數(shù)構(gòu)成的集合呢？

簡潔的引導(dǎo)迅速激發(fā)了學(xué)生的思維，引發(fā)了一系列與數(shù)相關(guān)的集合問題. 教師順應(yīng)學(xué)生的思路，鼓勵他們使用數(shù)學(xué)符號來表示各自提出的數(shù)集.

設(shè)計說明 學(xué)生對數(shù)學(xué)最熟悉的莫過于各種數(shù). 在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生提出了關(guān)于整數(shù)集、自然數(shù)集、實(shí)數(shù)集、有理數(shù)集等概念的問題，并主動使用集合符號進(jìn)行表示. 這是靈活運(yùn)用新知的過程，也是逐步提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的過程.

活動5 要求學(xué)生規(guī)范描述下列集合：①比20小，既屬于質(zhì)數(shù)，又屬于奇數(shù)的數(shù)組成的集合;②不等式2x-2gt;3的解所構(gòu)成的集合;③方程y2-y+1=0的實(shí)數(shù)解所構(gòu)成的集合;④函數(shù)y=ax2+2x-3的圖象上的點(diǎn)所構(gòu)成的集合.

學(xué)生通過分析、書寫和展示，結(jié)合組內(nèi)的自評與互評，再經(jīng)過教師的點(diǎn)評，從而提煉出多種表示方法.

設(shè)計說明 該活動旨在引導(dǎo)學(xué)生深入理解并熟練掌握集合的兩種表示方法. 在逐個解決問題的過程中，學(xué)生將不斷提升探究能力和數(shù)學(xué)推理能力.

活動6 解決問題：若P={2，m，1}，Q={2m，2，n}，已知P=Q，則m，n的值分別是多少？

學(xué)生獨(dú)立思考后在小組內(nèi)合作交流，教師則加強(qiáng)巡視，挑選出具有典型代表性的結(jié)論投影展示. 教師鼓勵展示的學(xué)生分享自己的思路，其他學(xué)生則進(jìn)行補(bǔ)充或點(diǎn)評. 在適當(dāng)?shù)臅r機(jī)，教師進(jìn)行點(diǎn)撥和追問. 隨著問題的解決，學(xué)生抽象出元素的三個特征：確定性、無序性與互異性.

設(shè)計說明 表面上，設(shè)計此活動旨在檢驗(yàn)學(xué)生對集合相等的理解，然而，其深層目的則在于增強(qiáng)學(xué)生分析和解決問題的能力. 此外，通過分類討論，可以加深學(xué)生對集合含義的理解，并培養(yǎng)他們良好的探究習(xí)慣.

活動7 要求學(xué)生闡述一下他們對集合的理解.

設(shè)計說明 這是一個開放性的課堂小結(jié)活動，一方面彰顯學(xué)生是課堂的主體——總結(jié)由學(xué)生自主完成，另一方面則凸顯“探究學(xué)習(xí)”的核心理念. 引導(dǎo)學(xué)生參與開放性活動，促進(jìn)其深入思考與分析，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和方法提煉數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)終身可持續(xù)發(fā)展的優(yōu)秀學(xué)習(xí)能力.

設(shè)計意圖

1. 開篇教學(xué)原因

集合論之所以被置于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的起始篇章，主要基于兩個原因. 首先，它是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)，是后續(xù)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石. 例如，函數(shù)的值域、定義域和不等式的解集等都涉及集合的概念，再如立體幾何或解析幾何等領(lǐng)域，都與集合概念緊密相連. 其次，集合屬于一種重要的數(shù)學(xué)語言與工具，集合的符號化與形式化是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可或缺的一部分. 從一定程度上而言，數(shù)學(xué)屬于一種具有特定內(nèi)涵的形式化語言，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是應(yīng)用這種語言來描述、表達(dá)與解決相應(yīng)的問題[1].

2. 教學(xué)功能分析

集合論是德國數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的. 歷經(jīng)歲月的洗禮，集合論已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)不可或缺的基礎(chǔ)語言和工具. 因此，在集合的教學(xué)中，除了讓學(xué)生掌握知識層面的內(nèi)涵之外，還應(yīng)重視集合的語言和工具性意義，從而展開高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的畫卷. 通過課堂教學(xué)塑造學(xué)生的關(guān)鍵品質(zhì)與能力是落實(shí)“立德樹人”理念的根本，借助集合教學(xué)凸顯數(shù)學(xué)課堂育人價值是一個值得探索的課題.

3. 教學(xué)設(shè)計理念

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計以集合的語言和工具性特征為基礎(chǔ)，依托學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，通過一系列問題逐步激發(fā)學(xué)生思考. 在探究的過程中，學(xué)生能夠持續(xù)提升自己的學(xué)習(xí)能力. 在課堂上，教師運(yùn)用“題組”作為教學(xué)工具，鼓勵學(xué)生自主地探索問題，以此來構(gòu)建新知，并在知識的生長點(diǎn)上發(fā)展出以“集合”為核心的一系列“子概念”. 隨著探索的深入，學(xué)生的思考逐漸深化，對集合的理解也變得更加深刻.

整個教學(xué)過程，始終將學(xué)生置于核心地位，引導(dǎo)他們在主動探究的基礎(chǔ)上進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，有效發(fā)展思維的深刻性與靈敏性. 這不僅對學(xué)生的長期發(fā)展具有重要價值，也為培育核心素養(yǎng)打下了堅實(shí)的基礎(chǔ).

縱觀整節(jié)課，教師以“集合”為主線，引導(dǎo)學(xué)生逐一攻克各個“子概念”，將概念群的內(nèi)容串聯(lián)成鏈，構(gòu)建完整的知識體系. 課堂雖簡約，卻絕不簡單. 在條理清晰、重點(diǎn)突出的教學(xué)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得到了顯著提升. 因此，這是一節(jié)成功的概念課.

總的來說，引導(dǎo)學(xué)生從掌握核心知識轉(zhuǎn)變?yōu)榕囵B(yǎng)核心素養(yǎng)，是當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心目標(biāo)，這對于促進(jìn)學(xué)生的個人成長具有深遠(yuǎn)的影響. 概念是邏輯思維的基石，因此教師必須高度重視概念教學(xué)，切勿因教學(xué)內(nèi)容看似簡單而輕視它. 引導(dǎo)學(xué)生主動探索概念形成與發(fā)展的過程，讓學(xué)生深刻理解概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，能在很大程度上提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1] 胡云飛.核心素養(yǎng)視角下基于探究的概念教學(xué)設(shè)計與反思：以《集合的含義及其表示》為例[J]. 數(shù)學(xué)通報，2017，56（11）：33-36.