基于核心素養發展的概念教學實踐研究

[摘" 要] 函數是數學的基礎，對中學數學學習具有重要價值與意義. 鞏固函數的概念，猶如為一座摩天大樓打下堅實的地基. 研究者以“函數的概念”為例，以學情分析和教學方法分析為教學起點，通過直接引入主題激發學生深入探索函數表達式y=f（x）的意義，讓學生在實際操作中自主辨識并理解函數的對應關系，并通過一系列經典練習鞏固“四基”、提升“四能”、培育“三會”，為提高數學學科核心素養奠定基礎.

[關鍵詞] 核心素養;函數概念;教學方法

在學習數學的過程中，概念學習是不可或缺的過程，數學概念是理解數學命題和解決數學問題的基礎[1]. 新課改強調數學教學應關注學生“四基”與“四能”的發展，注重學生“三會”能力的培養. 那么，如何專注于函數的概念教學，有效促進學生各項能力與素養的發展呢？函數是學生在高一年級接觸的內容，要想牢固掌握函數的基礎，首要任務是深入理解其概念. 然而，不少學生在學習完函數的概念后，并未達到深度學習的層次，對函數的理解浮于表面，導致在實際應用時錯誤百出. 殊不知，函數不僅是高考的核心考點，也是培養學生學習能力的關鍵途徑. 因此，筆者特別針對函數概念的教學進行了深入探索與研究.

教學分析

1. 學情分析

學生在初中階段已經學習過函數，當時主要是通過“對應關系”來詮釋函數的概念. 在高中階段，則從集合的角度來定義函數. 由于學生已經具備了一定的基礎知識，本節課的難度對他們來說相對較低. 他們對函數的認知主要集中在冪函數類型上，但在高中階段，將探討更多種類的函數. 因此，本節課教學從函數的基本概念出發，引導學生將對函數“對應關系”的理解拓展至函數表達式y=f（x）.

2. 教學方法分析

本節課主要采用“引入—互動—實操抽象模型—辨析—應用”的教學模式，旨在提高學生的“四基”與“四能”，并基于學生“三會”能力的發展，提升他們的數學建模、數學抽象、數學運算以及邏輯推理等素養.

教學過程簡錄

1. 引入教學主題

師：本節課我們將學習函數的概念.

生1：初中階段我們已經學習過函數了，怎么現在又要探索函數的概念呢？

師：在回答這位同學的問題之前，請大家一起來看多媒體所展示的函數的發展歷程.

（多媒體播放的核心在于讓學生認識到：在17世紀，經過數學家們的不懈努力，人們創造了使用比例或文字語言來描述函數的方法. ）

設計意圖 開門見山地展示教學主題，成功激發了學生的認知沖突，同時也使學生對本節課的教學目標有了清晰的認識. 介紹函數的發展史，一方面能夠激發學生的學習熱情，滲透數學文化;另一方面能讓學生對函數產生情感上的共鳴，縮短學生與函數概念之間的距離，為課堂教學營造積極的情感氛圍，同時也為培養學生的數學人文素養奠定基礎.

師：在回顧函數數學史的過程中，我們發現函數的概念在演進過程中經歷了多次的修正與完善. 大家是否還記得在初中階段，我們是如何定義函數的呢？

生2：對于任意一個自變量x均存在唯一一個因變量y與之相對應，我們將這一類對應關系稱為y為x的函數.

師：看來大家的知識基礎都比較扎實. 在初中階段的函數學習中，遇到過難以克服的問題嗎？

生3：遇到過，我想知道y=1屬于哪種函數類別.

生4：在初中階段所學的函數知識中，并沒有明確指出類似于y=ax2的函數是否一定為二次函數.

師：看來大家對函數的疑慮還不少. 以y=ax2為例，該函數有沒有明確指出自變量是什么？

生5：沒有，那它有可能是一次函數.

師：不錯，這是我們在先前的認知經驗上繼續研究函數的關鍵原因，即從集合的角度來探究函數.

設計意圖 回顧舊知能夠喚醒學生的認知經驗. 激發認知矛盾，旨在讓學生更深刻地認識到繼續研究函數的重要性，從而使得課堂能夠順暢地過渡，學生的思維經歷一個由表及里的過程，為后續深入探索奠定堅實的基礎.

2. 探索y=f（x）的意義

接下來，要求學生自主閱讀教材，并從教材提供的實例中自行提煉出函數的概念，以此增強學生自主思考和抽象的能力. 尤其強調學生專注函數定義中的y=f（x）等式，并鼓勵他們表達對這一等式的理解.

生6：關于y=f（x），可理解為在對應關系f下，與集合A內的數x相對應的數為集合B內的y. 以f（x）=x2為例，該等式所表達的意義為在平方關系的條件下，與數x相對應的數為x2. 例如，與2相對應的數為4，記作f（2）=22=4.

設計意圖 y=f（x）是學生的認知障礙點，不少學生學習完“函數”章節后，都還不能準確描述y=f（x）所蘊含的意義. 因此，在基礎概念教學中，教師引導學生自主分析y=f（x）的意義，為深刻理解函數解析式夯實基礎.

師：函數可以被理解為從集合A到集合B的一種映射關系，記作f：A→B. 請大家觀察該結構，說一說函數由哪幾個部分所構成.

生7：函數由三個部分所構成，分別為對應關系f、集合A和集合B.

師：很好. 在函數的定義中，有這樣一句話：對于集合A中的任意一個數，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數與之對應. 那么，該怎樣理解這句話呢？接下來，讓我們一同探索一個名為“分球入盒”的游戲.

活動要求：將分別標有數字1，2， 3的乒乓球，放入分別標有數字1，2，3的紙盒中. 那么，存在哪些放置方案呢？

學生在合作交流時提出了多種放置方案. 如圖1所示，可以將1，2，3號乒乓球分別放入1，2，3號紙盒中;如圖2所示，也可以將1號和2號乒乓球放入1號紙盒中，將3號乒乓球放入2號紙盒中;如圖3所示，還可以將1，2，3號乒乓球全部放入1號紙盒中……

設計意圖 通過“分球入盒”的游戲引導學生掌握函數的概念，加深學生對y=f（x）的理解. 實踐活動不僅能鞏固學生對基礎知識的理解，還能增強學生的實踐操作和思維能力，這是培養學生核心素養的重要環節.

師：現在我們一起來觀察圖2，在對應關系下，2號乒乓球對應的是幾號紙盒？

生8：1號.

師：不錯，2號乒乓球對應1號紙盒，記作f（2）=1. 與此類比，3號乒乓球對應的是幾號紙盒？

生9：3號乒乓球對應2號紙盒，記作f（3）=2.

師：現在請大家說一說圖3中的3號乒乓球對應的是幾號紙盒，該怎樣描述？

生10：對應的是1號紙盒，記作f（3）=1.

師：非常棒，這正是我們所說的函數對應關系.

設計意圖 引導學生觀察自主創造的函數對應關系，不僅能激發他們的積極性，還能幫助他們更深入地理解y=f（x）的實際含義，在直觀形象的基礎上掌握知識要點，克服教學難點，為構建完整的知識體系打下堅實的基礎.

3. 辨析對應關系

師：接下來，咱們一起來判斷圖4與圖5所展示的對應關系是否屬于函數的范疇，并說明理由.

生11：圖4中的3號球沒有放入紙盒內，因此它不構成任何對應關系;而圖5中的3號球卻同時放入了2號和3號紙盒內，這是不可能發生的事情，因此同樣不存在任何對應關系.

師：將以上兩種情況抽象為數學模型，該如何描述？

生12：圖4所示的情況可描述為集合B內沒有任何數與集合A內的數3對應;圖5所示的情況可描述為集合B內有兩個數與集合A內的數3對應. 這兩種情況均不符合函數對應關系的要求，因此都不屬于函數的范疇.

設計意圖 函數辨析能夠進一步加深學生對函數對應關系的理解，讓學生從直觀上感知函數對應關系需要滿足的條件，從而進一步鞏固學生的“四基”，為培養學生的“四能”打下堅實的基礎. 鼓勵學生將圖4與圖5所示的情況抽象為數學語言，旨在提升學生的“三會”能力，為推動核心素養的發展創造條件.

師：我們通常使用x，y的關系或圖象描述函數，現在請大家思考，對于關系式x2+y2=1，y是否為x的函數？說明理由.

生13：對于關系式x2+y2=1，y不是x的函數，因為該式中的一個x存在兩個y與之對應.

師：不錯！現在請大家觀察圖6，圖中的y是否為x的函數？

生14：也不是，因為圖中的一個x存在兩個y與之對應，顯然不符合函數的概念.

師：那么圖6中的x是不是y的函數呢？

生15：應該是的，理由在于：圖6中的任意一個y，恒有唯一確定的x與之對應，這符合函數的概念.

設計意圖 通過分析和辨識多種函數形式，可以進一步鞏固學生對函數概念的理解，引導他們從多個角度深入理解并分析函數的內涵與外延，為深入探索各種函數打下堅實的基礎. 在這一辨析過程中，學生不僅運用了數學邏輯推理，還在直觀想象能力的輔助下提升了判斷能力，這些都是提高數學學科核心素養的關鍵途徑.

4. 拓展練習

練習1 已知A={x0≤x≤2}，B={y0≤y≤3}，以下幾幅圖象中可表示集合A到集合B關系的是（" ）

練習2 直線x=m與函數y=f（x）的圖象存在______個交點.

練習3 已知集合{1，2，3}為函數y=f（x）與函數y=g（x）的定義域（具體見表1和表2），那么方程g[f（x）]=x的解集是______.

設計意圖 通過逐步深入的練習，學生的思維將變得更加清晰，這有助于他們在實際應用中加深對函數概念的理解，并為探索更高級和復雜的內容打下堅實的基礎.

幾點思考

1. 恰當的問題是啟迪思維的核心

問題是數學的心臟. 基于核心素養的數學課堂，離不開問題的引導與啟發. 為了鞏固學生的“四基”，發展學生的“四能”，教師可根據教情與學情精心創設一些高質量的問題激發學生的思維，使學生有明確的思考方向. 在本節課中，教師精心設計了一系列高質量的問題，旨在激發學生對函數概念的探索興趣，引導他們深入探索新概念.

2. 實踐活動是突破教學難點的關鍵

核心素養的形成與發展離不開“三會”能力的輔助. 那么，如何讓學生學會用數學的眼光觀察現實世界呢？最理想的辦法就是創設豐富的實踐活動，在知識“再創造”的基礎上，讓學生在“做中學”，此為突破教學重點與難點的關鍵. 本節課的教學重點與難點在于對y=f（x）的含義的理解. 因此，教師設計了一個“分球入盒”的活動，引導學生深入理解y=f（x）的含義，并促進學生直觀想象、邏輯推理、數據分析等素養的發展.

3. 拓展練習是提升核心素養的途徑

能精確表達數學概念并非深度學習的標志，概念教學的成功與否在于其在實際應用中的表現. 在本節課中，學生在掌握了概念的核心后，教師在課堂的最后階段安排了幾道經典習題供學生思考. 這不僅能加深學生對知識本質的理解，而且能增強他們的應用意識，使學生在練習中獲得深厚的數學學科核心素養.

章建躍博士指出，數學育人要發揮內在的力量，數學育人要用數學的方式[2]. 概念教學僅是數學教學的基石，若要實現深度學習，確保學生在課堂上鞏固“四基”與“四能”，并發展“三會”能力，我們必須關注教學的每一個環節，并根據具體情境設計教學活動. 這正是“減負增效”與數學育人價值的體現.

參考文獻：

[1] 林海川. 關注概念理解，拓寬解題視野：有關平面向量數量積的投影概念的學習和應用[J]. 福建中學數學，2021（11）：27-30.

[2] 王禮勇，李芳. 基于深度學習的數學概念課教學思考：以“正切函數的性質與圖象”一課為例[J]. 福建中學數學，2021（10）：8-12.