排列組合中的數學智慧

【摘要】高中數學的學習中有一類問題看似簡單，然而其解題方式卻豐富多樣，它就是排列組合問題.由于問題自身的特殊性，解題過程中學生常會陷入誤區，本文以排列組合問題常見的解題策略為切入點，

通過對具體題目的講解，幫助學生靈活運用不同方法，提升解題效率.

【關鍵詞】高中數學；排列組合；方法策略

排列組合問題是高考數學的必考題型，面對排列組合問題，學生有不同的解答方式，但是在眾多方法中如何選擇最優的

方法進行快速解題，同時做到不遺漏且不重復的統計呢？本文將以排列組合問題中常見的四種方法深入觀察排列組合中蘊含的數學智慧.

1特殊元素問題

例1數字“2016”中，各位數字相加和為9，稱該數為“長久四位數”，則用數字0，1，2，3，4，5，6組成的無重復數字且大于2016的“長久四位數”有（）個.

（A）39. （B）40. （C）41. （D）42.

問題分析閱讀題目，要求“長久四位數”，首先需要確定它的基礎要求是“各位數字相加和為9”，找出滿足題意的數字組合，在這個基礎上再尋找滿足無重復數字且大于2016的四位數.另外，需要注意0不能存在的數位，也就是千位，因為當0處于千位時，四位數的基礎條件就會不滿足.整個題目解題，以“長久四位數”作為關鍵的特殊元素進行突破，從此處入手，可以減少一些不必要因素對題目答案的影響[1].

解答 在解答題目時，可以分步進行，這樣既可以幫助學生梳理思路，還可以防止不同情形的遺漏與重復.

第一步，確定長久四位數的數字范圍及滿足題意的數字組合.各位數字相加和為9，且數字只能在0，1，2，3，4，5，6中進行選擇，所以只有“0，1，2，6”“0，1，3，5”和“0，2，3，4”三種情況.

第二步，根據分類情形進行具體的排列過程.要注意在排列過程中，0不能出現在千位上，否則會造成結果為三位數的排列.

由于題目要求為四位數，所以可以從數位選擇入手進行排列.

①當長久四位數的組合為“0，1，2，6”時，

千位選擇范圍為“1，2，6”，共有C13=3種.此時百位選擇范圍共有“1，2，6”中剩余的兩位以及“0”，即三個數字，故共有C13=3種，選擇過后十位選擇只有兩個數字，即C12=2種，此時個位數字也隨之確定.一共有C13C13C12=3×3×2=18種，但是除此之外，題目中還要求數字必須大于2016，可以通過相反情況的數量得出.

當千位選擇為“1”時，所有四位數均滿足，即千位確定，剩余三位數字全排列，共有A33=6種.

另外，當千位選擇為“2”時，會出現“2016”這個數字，也屬于相反情況，這是學生解題時容易發生錯誤的部分.

所以在這個數字組合下滿足題意的類型共有18－6－1=11種.

②當長久四位數的組合為“0，1，3，5”時，

千位選擇范圍為“1，3，5”，共有C13=3種.百位選擇范圍共有“1，3，5”中剩余的兩位以及“0”，即三個數字，故共有C13=3種，十位選擇只有兩個數字，即C12=2種，個位數字因只剩余一個數字而確定.因此，一共有C13C13C12=3×3×2=18種.當知道所有情況后，需要排除不滿足的情況.

當千位選擇為“1”時，所有四位數均不滿足，即千位確定，剩余三位數字全排列，共有A33=6種.

所以在這個數字組合下滿足題意的類型共有18－6=12種.

③當長久四位數的組合為“0，2，3，4”時，

千位選擇范圍為“2，3，4”，共有C13=3種.百位選擇范圍共有“2，3，4”中剩余的兩位以及“0”，即三個數字，故共有C13=3種，十位選擇只有兩個數字，即C12=2種，個位數字因只剩余一個數字而確定.因此，一共有C13C13C12=3×3×2=18種.此時，不存在不滿足題意的情形.

綜上所述，可以得到共11+12+18=41種符合條件的“長久四位數”，選擇（C）.

整個解題過程中，以題目要求的特殊元素出發，篩選排除不符合條件的情形，做到對所有情況的綜合考慮，通過利用特殊元素能夠直接對復雜的題目內容先進行一個簡單的分類，只討論在這個分類下的類型，有助于縮小題目范圍，幫助學生精細討論題目情形.

2分組排列問題

例2按以下要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？

（1）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；

（2）平均分成三份，每份兩本；

（3）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本.

問題分析題目包含三種不同的分配類型，第一種是不平均分配，第二種是平均分配，第三種是不同元素分配.解決分配問題時，需要明確分配過程中是否要分組，分組是否存在重復情形，以及在無序排列中使用排列組合后是否存在隱形的序列，這些都是在本題中需要注意的問題[3].

解析（1）不平均分配問題

在這種分配方式下，每份分得的元素不同，且所含元素個數不同，所以在進行排列組合時可以使用逐步分配.首先在全部元素中挑選1本作為一份，此時剩余5本，在這5本中挑選2本作為一份，挑選后的3本作為一份，即C16C25C33=6×10×1=60種.

（2）平均分配問題

在平均分配問題中，首先可以按照不平均分配問題進行思考，即先挑選2本，以此類推，最后全部挑選完成，即C26C24C22=15×6×1=90種.但平均分配與不平均分配存在一個本質區別，即分配的份數內部數量不同.不平均分配由于身份數量不同，各份數間不存在順序排序，但平均分配由于各份數間數量相同，在進行分配過程中會出現不同組別間的重復情況，例如1、2本書既可能會出現在第一份中，也可能會出現在第二份中，或者第三份中，可是題目中并不會對份數進行排序，它們是同時存在的，所以在分配時要進行消序操作，即排除掉重復分配的方式，這是在人為加序后的消序，需要除以重復元素個數的全排列數，即一共有C26C24C22A33=906=15種分配方式.

（3）不同元素分配問題：先分組再分配

與（1），（2）問不同，在第三問中出現了不同的人物對應不同的份數內書本，所以需要先對所有書本進行分組，再分配給不同的人物.

第一步，對書本進行分組，一份4本，其余兩份均為一本，出現了重復的組內元素，這就需要進行消序，但觀察后發現并不是所有的元素都會重復，故只有相同的組別元素需要消序，所以消序過程只存在部分.即C46C12C11A22=15×22=15種.

第二步，不同的分組會對應不同的人物，所以在此處排列時開始出現順序，即一共會有C46C12C11A22×A33=15×6=90種分配方式.

3結語

解決排列組合問題的關鍵在于對問題進行清晰梳理.面對具有特殊元素的排列，應優先進行特殊位置或者元素的排列，有相鄰的元素要捆綁，不能相鄰的可以進行插空，但是最重要的是在進行分組分配時，要緊扣題目條件，從題目內容出發，多出的內容要排除，減少的內容要補上.排列組合中的數學智慧在于人們對于問題的準確分析且清晰的條理上，在此基礎上才能發展出應對不同問題的方法策略.

參考文獻：

[1]劉嘉.排列組合技巧多，通性通法是關鍵[J].高中數理化，2024（01）：58-59.

[2]周金斤.例析排列組合問題三種不同解法[J].數理天地（高中版），2024（11）：34-35.

[3]彭耿鈴.探析排列組合常見的十六種解題方法[J].中學生數理化（高二數學），2023（04）：20-24.