在項目探究中培養幾何直觀

摘" 要：以“美妙的鑲嵌”一課為例，開展三動促學結構的教學，讓學生經歷在真實情境中發現并提出問題，以及思考、探索、解決問題的過程. 在問題驅動中，提升學生的抽象能力；在任務聯動中，培養學生的幾何直觀；在展評觸動中，培養學生的創新意識.

關鍵詞：幾何直觀；項目式學習；三動促學；課堂教學

中圖分類號：G633.6" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）03-0010-05

引用格式：張鳳彥. 在項目探究中培養幾何直觀：以“美妙的鑲嵌”為例［J］. 中國數學教育（初中版），2025（3）：10-13，18.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）提出：“幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣. 能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類；根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型；利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路.”如何開展微項目學習，培養學生的幾何直觀素養值得思考.

平面鑲嵌廣泛存在于實際生活中，小到服裝設計，大到建筑物外立面，是一種既富有藝術美感，又與數學知識緊密關聯的項目式學習資源. 以“美妙的鑲嵌”一課為例，基于問題驅動、任務聯動、展評觸動的三動促學結構，將項目式學習的要素融入數學課堂教學，整合教材中的資源. 通過生活實例激發學生對鑲嵌平面圖形的幾何特征的思考；通過動手剪拼操作、數學建模、推理論證等方式，引導學生由易到難探究單一正多邊形鑲嵌、兩種正多邊形鑲嵌、非正多邊形鑲嵌、不規則圖形鑲嵌蘊含的數學本質；通過自主創作平面鑲嵌作品完成數學知識的遷移應用，使學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界，從而發展學生的抽象能力、幾何直觀和應用意識等核心素養.

一、明確目標，設置問題，驅動項目

1. 明確學習目標

“美妙的鑲嵌”是浙教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“浙教版教材”）九年級上冊第三章“圓的基本性質”中的一則閱讀材料. 在此之前，學生已經學過多邊形與正多邊形等基礎知識，了解了多邊形與正多邊形的概念，掌握了多邊形內角和與外角和公式；經歷過從具體實例中抽象并探究三種圖形的全等變化（平移、旋轉、軸對稱）的過程，積累了一定的數學活動經驗；具備一定的抽象能力、幾何直觀和應用意識等核心素養.

在項目學習目標規劃中要關注目標的一致性，確定本項目的學習目標如下.

（1）能通過具體實例歸納出鑲嵌平面的概念，能從生活實例中抽象出數學本質，發展抽象能力和幾何直觀.

（2）能將鑲嵌平面問題抽象為數學問題，用正多邊形的內角與周角的關系解釋單一正多邊形鑲嵌的條件，并進一步形成問題探究的思路，解釋鑲嵌平面蘊含的數學規律.

（3）能運用數學模型判斷多種正多邊形鑲嵌的可能性，構建數學模型解釋鑲嵌平面的可行性，發展模型觀念.

（4）能通過動手操作、剪拼，探究非正多邊形鑲嵌的條件和幾何圖形的邊角關系，推理鑲嵌平面的條件，提升推理能力.

（5）能通過探究不規則圖形的鑲嵌，發現不規則圖形鑲嵌中的圖形變化（平移、旋轉、軸對稱）；運用鑲嵌平面的一般規律設計平面鑲嵌作品，發展應用意識和創新意識.

2. 設置驅動性問題

鑲嵌平面的數學本質是通過圖形的平移、旋轉或軸對稱，使拼在同一頂點處的各個角的和為360°，且相鄰的多邊形有公共邊. 因此，將本節課的驅動性問題設置為：如何為校園文化墻設計文創墻磚？

3. 聚焦子問題

子問題服務于驅動性問題，由學生在討論解決驅動性問題的過程中生成并提煉、歸納得出. 本節課中，學生針對驅動性問題進行討論和分解，得到以下子問題.

子問題1：鑲嵌平面的定義是什么？單一正多邊形鑲嵌平面的條件是什么？

子問題2：兩種及以上正多邊形能鑲嵌平面嗎？需要滿足怎樣的條件？

子問題3：全等的任意多邊形（如任意三角形、任意四邊形）能否鑲嵌平面？需要滿足什么條件？

子問題4：只有多邊形才能鑲嵌平面嗎？不規則圖形能否鑲嵌平面？其原理是什么？

二、任務聯動，明確定義，構建模型

以美化校園文化墻為背景，向學生介紹項目主題是為校園文化墻設計文創墻磚. 根據主題拆解項目任務如下.

（1）收集生活中的各種墻磚、地磚圖片或其他平面鑲嵌圖案.

（2）根據收集到的圖片思考鑲嵌平面蘊含的數學原理.

（3）思考如何應用鑲嵌平面的知識，融合校園文化設計文創墻磚.

環節1：明確定義，初探鑲嵌.

對于子問題1進行如下教學.

教師展示學生收集到的鑲嵌平面的圖片（如圖1）.

問題1：怎樣定義鑲嵌平面？

用形狀相同或不同的平面封閉圖形，覆蓋平面區域，使圖形間既無縫隙又不重疊地全部覆蓋叫作鑲嵌平面.

問題2：用正方形鑲嵌平面是生活中最常見的，此外還有哪些正多邊形也能單獨鑲嵌平面.

學生分小組分別用正三角形、正五邊形、正六邊形紙片擺拼.

問題3：為什么正三角形、正方形、正六邊形能實現單獨鑲嵌？正五邊形不能？要使正多邊形間既無縫隙、又不重疊地擺拼，需要滿足什么條件？

學生探究出滿足單獨鑲嵌的正多邊形的條件為“內角度數的整數倍等于360°”.

問題4：能否用代數式表示“內角度數的整數倍等于360°”？從這個等式中，你還有哪些發現？

【教學說明】用學生自行收集的圖片引出問題，讓學生在熟悉的實例背景下開啟新知的探究，激發學生學習的積極性. 本環節中，學生能實現問題情境中幾何圖形的抽象、實物與圖形之間的轉換、圖形特征與方程模型的建立，學會用“數”刻畫“形”的幾何特征，從而發展幾何直觀.

環節2：模型拓展，再探鑲嵌.

對于子問題2進行如下教學.

教師展示學生收集到的圖片，如圖1（d）所示.

問題1：雖然正八邊形不能實現單獨鑲嵌，但當它與其他正多邊形組合時，也能實現鑲嵌. 兩種正多邊形的鑲嵌與單一正多邊形的鑲嵌有什么相同點？

學生類比探究得到兩種正多邊形鑲嵌的條件，即共頂點處的各內角和等于360°，且正多邊形的邊長相等.

問題2：如何用代數式表示“共頂點處的各內角和等于360°”，此時有幾種不同度數的內角？同一角度各有幾個角？

問題3：能否用正三角形、正方形、正六邊形三種圖案鑲嵌平面，分別需要多少個正三角形、正方形、正六邊形？

【教學說明】該環節是對方程模型的進一步拓展和深化. 在項目探究上，遵循由易到難的原則. 從單一正多邊形鑲嵌到兩個甚至多個正多邊形鑲嵌，學生可以通過類比得出新的結論，在比較中深化理解“共頂點處的各內角和等于360°”這一鑲嵌平面的本質特征. 將圖形特征與方程模型結合，再通過剪拼等操作活動驗證，學生經歷了由形到數再由數到形的認知過程，進一步發展學生的幾何直觀素養.

環節3：深化研究，把握本質.

對于子問題3進行如下教學.

學生分小組探究，任選三角形或四邊形開展實驗探究. 利用剪刀、卡紙剪出若干個任意全等的三角形或四邊形嘗試擺拼，并討論實現鑲嵌平面的條件. 教師展示部分學生擺拼的成果（如圖2）.

師：在擺拼時需要注意什么？

學生發現鑲嵌平面的數學本質為：拼在同一頂點處的各個角的和為360°，且相鄰的多邊形有公共邊.

【教學說明】該環節旨在進一步挖掘鑲嵌平面的本質. 學生通過剪拼等操作進一步感知圖形的結構特征，能對圖形的結構特征進行分析和推理，用數學語言歸納鑲嵌平面的一般性規律，發展幾何直觀素養.

環節4：圖形變換，創新應用.

對于子問題4進行如下教學.

問題1：如圖3所示的圖形能鑲嵌平面嗎？

圖3可以由矩形通過分割、平移得到（如圖4），從而得到如圖5所示的鑲嵌平面，所以圖3可以用于鑲嵌平面.

教師帶領學生欣賞埃舍爾風格的平面鑲嵌的藝術作品（如圖6），讓學生觀看視頻，解構圖6的創作過程.

問題2：圖6是由哪一種圖形通過怎樣的變化得到的？

學生小組交流討論，結合視頻內容，嘗試在學案上解構該作品. 從數學視角看這幅名畫時，可以關注作品中幾何形狀的運用、比例關系的處理及空間關系的表現，平移、旋轉、軸對稱等圖形變化滲透其中，這是數學原理在藝術創作中的應用.

問題3：嘗試設計一幅將不規則圖形進行分割，通過平移、旋轉、軸對稱等圖形變化鑲嵌平面的作品.

學生嘗試設計用不規則圖形鑲嵌平面的作品.

【教學說明】該環節是在規則圖形鑲嵌平面基礎上的創造性提升. 學生若能解釋操作過程的幾何原理及操作前后圖形之間的關系（圖形的平移、旋轉、軸對稱），則能進一步感知圖形的結構特征，發展幾何直觀素養. 讓學生嘗試創作不規則圖形鑲嵌平面的圖案，既培養了學生的創新意識和應用意識，也發展了他們的審美感知、藝術表現和創意實踐.

三、展評觸動，內化問題，反思優化

在項目式學習中，項目評價始終以發展學生素養為出發點和落腳點，以項目優化為著力點. 該節課中，學生分小組討論，設計校園文化墻文創墻磚，應用平面鑲嵌的知識進行文創墻磚的創作，并分小組進行全班展評. 通過在班級內布置展板，張貼各小組作品，發起投票“我最喜愛的設計”，激發學生的創作熱情.

項目式學習既要注重對學習結果的評價，也要注重對學習過程的評價，其核心思想是把評價作為促進學生學習的重要動力. 因此，本項目不僅關注學生知識技能目標的實現，也關注學生動手操作、合作學習、探究交流等能力目標的達成情況，堅持過程性評價與結果性評價相結合原則，如表1所示.

四、教學反思

項目式學習是一種以發展學生核心素養為目的的教學方式. 在“美妙的鑲嵌”一課的教學中開展“三動促學”，讓學生經歷了在真實情境中發現并提出問題，思考、探索、解決問題的過程，從而發展學生的抽象能力、幾何直觀、應用意識和創新意識等核心素養.

1. 問題驅動，助推學生的抽象能力

該項目以生活中隨處可見的平面鑲嵌圖案為背景，創設“如何為學校文化墻設計文創墻磚”這一驅動性問題，汲取真實的情境要素，讓學生認真觀察生活中的平面鑲嵌圖案，并從數學的角度進行幾何圖形的提取、圖形特征的抽取和數學命題的抽象，進一步發展學生的量感，培養幾何直觀素養，讓學生學會用數學的眼光觀察現實世界.

2. 任務聯動，發展學生的幾何直觀

對于初中生而言，設計文化墻磚是頗具挑戰性的任務，不僅需要學生理解和掌握鑲嵌平面的數學原理，還需要具備一定的審美感知和創意實踐. 在這一過程中，圍繞“思考鑲嵌平面蘊含的數學原理”可以將問題從特殊到一般解構成多個子任務，即單一正多邊形的鑲嵌、多個正多邊形的鑲嵌、多邊形的鑲嵌，以及不規則圖形的鑲嵌. 這些任務由易到難環環相扣，直指鑲嵌本質，從感知圖形特征、實現數形轉換等方面發展了學生的幾何直觀素養，讓學生學會用數學的思維思考現實世界.

項目式學習強調讓學生經歷完整、有意義和有實效的學習. 該項目中，學生經歷了從項目提出到問題解決的全過程，意識到數學與現實世界有著緊密聯系，并且數學可以是認識、理解與表達現實世界的一種方式，激發了學生學習數學的熱情和應用數學解決更多實際問題的決心，讓學生學會用數學的語言表達現實世界.

3. 展評觸動，培養學生的創新意識

項目式學習的提出是創造性思維及創新型人才培養的需要. 本項目的學習過程可視，每一個子問題的提出都需要學生在探究中提出猜想并給出解釋，不斷激發學生對數學學習的好奇心，使學生嘗試獨立思考、合作探究，在學習過程中實現“再創造”. 此外，本項目的出項可視，設計鑲嵌作品時學生經歷了嘗試用不同的方法、不同的數學結論進行創作的過程，其成果是多元的. 通過將作品在全班展示、評價、交流，讓學生的思維相互碰撞、相互啟發、推陳出新，體現了學生富有創造性的數學理解.

項目式學習要以數學學科核心知識為載體，是一種指向數學核心知識的學習方式，體現了數學學科的本質. 本項目以“為學校文化墻設計文創墻磚”為驅動性問題，緊扣數學本質，任務設置由易到難，從特殊到一般地開展圖形鑲嵌的研究，通過剪拼、探究和論證發展了學生的幾何直觀和推理能力，體現了項目式學習的實操性和“做中學”這一基本觀點.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］史寧中，曹一鳴.《義務教育數學課程標準（2022年版）》解讀［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］葉立軍，徐蒙恩. 數學項目化學習的特征及教學策略［J］. 教學與管理，2021（34）：62-64.

［4］楊明全. 核心素養時代的項目式學習：內涵重塑與價值重建［J］. 課程·教材·教法，2021，41（2）：57-63.

［5］夏雪梅. 在學科中進行項目化學習：國際理解與本土框架［J］. 教育研究與評論，2020（6）：11-20.