立足探究·關注過程·導向素養

摘" 要：對中考試題的深度探究，已經成為教師提高自身專業素養的有效途徑. 以2024年中考山東濱州卷第21題為例，從命題意圖、試題評析、解法探究等方面進行詳細剖析，深入挖掘幾何圖形的本質，突出解題方法被發現的過程，將幾何推理與代數推理有機融合，創新評價方式. 在此基礎上，從注重教材、注重過程、注重探究、注重融合等角度提出教學建議.

關鍵詞：試題評析；解法探究；推理能力；教學建議

中圖分類號：G633.6" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）03-0051-05

引用格式：牛方云. 立足探究·關注過程·導向素養：2024年中考山東濱州卷第21題評析［J］. 中國數學教育（初中版），2025（3）：51-54，59.

2024年中考山東濱州卷第21題以等腰三角形為背景，通過“替換條件能否推出結論”的探究情境，引導學生經歷猜想、驗證、說理的完整思維過程. 試題不僅考查了學生的幾何直觀與推理能力，還通過代數方法的嵌入，凸顯了數形結合的價值，呼應《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）對“形成推理能力”的要求，旨在為教學實踐提供可借鑒的思路，為落實“教—學—評”一致性提供參考.

一、試題呈現

題目 【問題背景】

某校八年級數學社團在研究等腰三角形“三線合一”性質時發現：

① 如圖1，在△ABC中，若AD⊥BC，BD=CD，則有∠B=∠C；

② 某同學順勢提出一個問題：既然①正確，那么進一步推得AB=AC，即知AB+BD=AC+CD. 若把①中的BD=CD替換為AB+BD=AC+CD，還能推出∠B=∠C嗎？基于此，社團成員小軍、小民進行了探索研究，發現確實能推出∠B=∠C，并分別提供了不同的證明方法（如圖2）.

【問題解決】

（1）完成①的證明；

（2）把②中小軍、小民的證明過程補充完整.（說明：完成兩種證明方法中的任意一種即得5分，兩種全部完成得滿分7分.）

二、解法探究

1. 第（1）小題解法探究

2. 第（2）小題解法探究

三、試題評析

1. 立足課程標準要求，融合代數推理與幾何推理

課程標準要求及教材內容是命題的出發點.《標準》在學業水平要求中指出，在直觀理解和掌握等腰三角形性質與判定、全等三角形性質與判定、勾股定理、線段的垂直平分線等性質的基礎上，經歷探索驗證結論的過程，感悟具有傳遞性的數學邏輯，形成幾何直觀和推理能力. 對標《標準》對內容的定位及教學要求，該題把幾何直觀與推理能力凸顯出來，尤其把代數推理嵌入，呼應了《標準》的加強點. 當然，這也是與教材進一步對接的自然結果.

從外在來看，該題是一道典型的幾何證明題，實則在考查學生幾何直觀的同時，將幾何推理與代數推理有機融合，具有一定的探索性和開放性. 小軍和小民的方法分別著眼于幾何推理與代數推理. 除此顯性的考查外，其實①的證明也蘊含著兩類推理，既可以用常態的幾何推理完成這一證明，也可以利用勾股定理通過計算線段的長完成證明（解法探究中已呈現）. 從這個角度來說，第（1）小題為第（2）小題做了方法上的鋪墊，看似簡單的題目同樣給了學生施展代數推理的空間.

小民的方法是從勾股定理出發，利用公式變形及方程的運算，從數與式的視角進行代數推理，以代數表達為抓手，探索圖形中線段間的數量關系，從而進行驗證，使學生真切感受代數式變形、解方程等代數推理的魅力，通過數與形的結合將幾何直觀與代數推理有機融合，在代數論證的過程中，逐步形成推理能力.

2. 營造研究氛圍，涵育探究意識

該題改變了傳統的考查方法，從數學情境出發，以學生熟悉的等腰三角形為載體，從經典的等腰三角形“三線合一”這一性質的逆命題出發進行研究，再現發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的全過程，既包括對圖形形成過程的理解，又包括對圖形結構的剖析，蘊含研究圖形的基本方法和研究思路. 通過模擬數學社團活動開展探究性學習，增加了題目的趣味性和情境感，營造了一種探索的現實場域，充盈著較濃的研究氣息，引導學生多角度思考問題，拉長了思維過程，指向深度思維. 考場上學生異彩紛呈的證明方法印證了這一點. 這種情境化的氛圍能較好地激發學生的自主探究欲望.

3. 學評一致多元化，突出本質提素養

《標準》在關于學業水平考試的評價建議中指出：“科學制定評分標準. 評分標準應具有科學性、可操作性. 對開放性、綜合性較強的試題，合理設計多層次任務的評分標準.”該題的評分標準進行了改革創新，對第（2）小題的評分做出如下說明：正確完成兩種證明方法中的任意一種即得5分，兩種全部正確完成得滿分7分. 通過分層評價的方式，給不同層級水平的學生施展的機會，鼓勵學生提供不同的證明方法（兩種證明方法中的任意一種或全部），進一步考查學生的發散思維和創新能力. 這種評分標準形式具有一定的創新性和靈活性，旨在激發學生的探究意識，激勵學生追求極致、勇于挑戰，培養學生敢于迎難而上的拼搏進取精神.

另外，該題注重低起高落，問題的設置具有層次性（基礎性證明到探究性問題），由簡到繁、層級遞進，確保思維入口低、寬，便于學生切入；問題的解答思路廣、解法多，能滿足不同層次、不同思維特點的學生入手，層次分明地考查了學生的推理能力、抽象能力、幾何直觀、運算能力等核心素養.

四、教學建議

1. 注重教材，擺脫教輔裹挾，優化課堂教學

該題基于教材內容命制，是對等腰三角形基本性質的再研究，但結果不容樂觀，該題的難度系數只有0.36，全市中考滿分率僅有3.2%，其主要阻力在小民的方法，即代數推理不理想. 因此，教師應重視教材載體的作用，以本尋根，充分理解教材編寫意圖，挖掘承載核心知識的典型例題、習題的教學價值，將其作用有效發揮，而不是讓學生通過“刷題”學數學. 只有真正減輕學生的課業負擔，提升課堂教學的效率和質量，才能讓學生跳出重復訓練的題海，擺脫教輔資料的裹挾，讓學生真正能夠觸類旁通、靈活遷移.

2. 注重探究，激活思考本能，落實活動教學

該題不再是“已知—求證（解）—證明（解答）”的老面孔，而是將操作思考、畫圖建模、觀察猜想、計算說理等多方面能力的考查融于一體，使數學變得靈動起來、有趣好玩. 這不僅拉近了數學與學生的距離，更有效改變了學生的數學學習方式，使學生在操作與體驗中主動參與、主動實踐、主動思考、主動探究、主動創造，積累基本活動經驗，加深對數學本質的領悟與理解. 值得一提的是，數學活動只是載體，是外在的表現，而思維才是關鍵，是內在的核心，這對數學活動的教學與研究提出了更高的要求. 因此，在數學活動的教學中，教師要精心設計教學過程，引導學生變“聽數學”為“做數學”，變“看演示”為“動手操作”，變“機械接受”為“主動探究”，使之學會透過活動現象看清數學本質，引領學生數學地思考，尋找不同的說理途徑，最終實現用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界.

3. 注重融合，發展代數推理，加強貫通教學

高中階段對代數推理比較重視，但在初中階段對此關注不夠，認為推理證明是幾何的事，沒有有效落實好代數與幾何的融合，代數與幾何的壁壘沒有很好地打通，導致很多學生進入高中后對代數推理感覺不適應. 幾何推理側重于圖形的位置與數量關系的轉化，而代數推理則側重于數、式的變形與轉化，兩者在一定條件下可以進行轉化. 數形結合思想是其轉化的紐帶，是發展代數推理的有效載體. 在教學中，教師引導學生把代數推理與幾何推理結合起來思考很關鍵. 很多幾何證明題除了幾何本身的邏輯推證外，還可以利用算的方式、恒等變形的方式展開探究，利用代數方法（如方程、不等式等）來輔助幾何證明，讓學生體會代數與幾何之間的緊密聯系，以改善“倚重幾何推理，漠視代數推理”的現象.

代數推理不是一個一蹴而就的過程，是一項需要長期培養的能力，是個系統工程，它需要一以貫之地實踐. 義務教育階段是一個濡染、滲透、漸進的過程，是高中代數推理的奠基階段，上承小學階段的滲透，下接高中階段的全面行動. 因此，在初中階段，既需要教師潛移默化的引導和滲透，更需要學生用孜孜以求的精神去領悟與踐行，去落實小、初、高三個階段的貫通，樹立代數推理的意識，走出代數推理教學的困境.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］牛方云，邢成云. 立足教材" 指向素養" 守正創新［J］. 中學數學教學參考（中旬），2023（9）：40-43.