用好“師生年齡”問題，發展模型觀念

摘" 要：在探索“師生年齡”問題速算求解模型的過程中，利用問題串引導學生從常規方程模型出發，探究得出兩類“師生年齡”問題的速算求解模型，從而發展學生的模型觀念. 通過對“師生年齡”問題速算求解模型探究過程的反思，提出在初中數學教學中發展學生模型觀念的幾點建議.

關鍵詞：年齡問題；速算模型；數學建模

中圖分類號：G633.6" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）03-0033-04

引用格式：徐小建. 用好“師生年齡”問題，發展模型觀念［J］. 中國數學教育（初中版），2025（3）：33-35，41.

“師生年齡”問題是初中數學中的經典問題，經常被教師選作與一元一次方程或二元一次方程組相關內容的教學素材. 其中，已知師生年齡的和與差求師生年齡的問題（以下統稱“和差問題”）經常用于教學加減消元法解二元一次方程組時的引入問題；已知師生當年年齡求現在年齡的問題（以下統稱“問齡問題”）常常在教學二元一次方程組的應用題時作為有一定難度的問題出現. 現從發展學生模型觀念的角度談談筆者對這一問題的教學探索.

一、基于培養模型觀念的“師生年齡”問題的教學過程

1. 和差問題

題目1" 已知老師和學生的年齡之和為40，年齡之差為12，求老師和學生的年齡各是多少歲.

教師提出了如下引導問題.

問題1：如何列方程組求解？

學生給出如下解法.

設老師的年齡為x歲，學生的年齡為y歲. 列出方程組x+y=40，①x-y=12，②并求出x和y的值.

問題2：思考所列方程組有哪幾種求解方法？

學生分別用代入消元法和加減消元法求解上述二元一次方程組. 其中，用加減消元法解方程組的人數明顯多于用代入消元法解方程組的人數.

問題3：通過對解方程組過程的分析，你能否得出直接由師生年齡的和與差求師生年齡的速算方法？

學生反思用加減消元法解二元一次方程組的過程，推導出速算模型“老師的年齡 =年齡和+年齡差/2，學生的年齡 =年齡和-年齡差/2”.

【設計意圖】通過解決三個循序漸進的問題，學生反思用兩種不同方法解二元一次方程組的過程，進而得出方程模型是解決這類問題的基本方法. 學生通過得出師生年齡和與年齡差所蘊含的本質關系，進而得出更簡潔的速算模型. 如此設計教學，既鞏固了方程模型，又防止了方程模型的固化，有效促進了學生模型觀念的形成.

2. 問齡問題

題目2" 師生互問年齡. 老師對學生說：“當我像你這么大時，你才1歲.”學生對老師說：“當我到了您這么大的時候，您已經40歲了.”求學生和老師今年各是多少歲.

教師在第一階段提出如下引導問題.

問題1：題目2中隱含著怎樣的相等關系？

生：在師生共同成長過程中“老師和學生的年齡差始終不變”.

問題2：如何利用這一關系來列方程求解師生的年齡？

學生給出如下解法.

設學生今年x歲，老師今年y歲. 列出方程組x-y-x=1，" "①y+y-x=40， ②求出x和y的值分別為14和27.

問題3：能否也像題目1一樣得出師生年齡的速算模型？

根據教師的啟發，學生模仿題目1進行反思，由“① + ②，得x + y = 41”和“② - ①，得y - x = 13”后，解出x和y的值，但是沒有得出速算模型.

教師在第二階段提出如下引導問題.

問題4：將題目2中的“1歲”變為“a歲”，“40歲”變為“b歲”，再對剛才的運算過程進行思考，能否得出更便捷的算法？

學生思考后得出“① + ②，得x + y = a + b”和“② - ①，得y - x =b-a/3”，進一步求出x =2a+b/3，y =a+2b/3，但對所得結果無法給出簡潔的理解與表述，沒能得出速算模型.

問題5：如何理解“① + ②，得x + y = a + b”的含義？

通過對“① + ②，得x + y = a + b”的分析，學生明白了由于“x比a大 （y - x） 歲”“y比b小 （y - x） 歲”，故“x + y = a + b”.

問題6：如何理解“② - ①，得3（y - x） = b - a”的含義？

通過對“② - ①，得3（y - x） = b - a”的分析，學生明白了由于“x比a大 （y - x） 歲”“y比x大 （y - x） 歲”“b比y大 （y - x） 歲”，故b比a大3（y - x）. 最終學生明白了“3（y - x） = b - a”的內在含義.

教師在第三階段提出如下引導問題.

問題7：a，b，x，y這四個數之間有什么關系？

學生發現a，b，x，y這四個數之間是按a，x，b，y由小到大排列的，且間隔相等.

問題8：我們能否用一種更直觀的方式來表示這四個數之間的關系？

學生想到可以在數軸上將點向右平移表示師生年齡增長. 學生先自行研究后再小組交流. 有三分之一的小組畫出了圖1，并得出了“點X，Y是線段AB的三等分點”的結論，從而得出了利用數軸解決“問齡問題”的速算模型. 通過數與形的結合，學生最終理解了“x =2a+b/3，y =a+2b/3”的本質是“x = a +b-a/3，y = a +2b-a/3”.

【設計意圖】題目2的難度明顯比題目1大得多. 如何引導學生自主發現、自覺探究題目2的速算模型？首先，教師用題目1有速算求解模型來引發題目2也應該有速算求解模型的思考；其次，教師并不反對（甚至暗示）學生模仿題目1的方法進行速算求解模型的探究；最后，在學生探究受阻時，教師適時引導，讓學生重新思考解決問題的方向，最終使問題得到解決. 這一過程充分展示了主動意識、創新意識在發展學生模型觀念過程中的重要作用.

二、教學思考

模型觀念是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中提出的初中階段九大數學核心素養行為表現之一.《標準》指出：“模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識. 知道數學建模是數學與現實聯系的基本途徑；初步感知數學建模的基本過程，從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義. 模型觀念有助于開展跨學科主題學習，感悟數學應用的普遍性.”因此，在初中數學教學中，用好相關教學資源，把握好適當的教學時機，完全有可能讓學生體驗從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義的過程，甚至有可能讓學生親身參與數學建模的全過程，直至學生能在數學建模的過程中有所創新. 下面對上述“師生年齡”問題速算求解模型的教學過程進行簡要分析.

1. 正確認識基于初中生的模型觀念

對于初中生來說，基本數學概念的形成過程都可以稱之為數學模型觀念的形成過程. 這是因為數學概念的獲得過程本來就是對實際生活不斷抽象、提煉、驗證、校正、證明，直至形成正確的認知后成為相關概念的過程. 因此，教師要讓學生充分經歷概念的形成過程，讓學生深刻理解概念的內涵，從而提升學生運用數學概念解決實際問題的能力. 這其實就是一種最基本的數學模型觀念的表現形式. 上文所述案例中學生能想到利用數軸來形象、直觀地解決“問齡問題”，就是一次成功的數學建模過程.

2. 教師在教學過程中要有發展學生模型觀念的意識

知識的獲取是一個“內化”的過程. 模型觀念則是一個知識“外化”的過程. 內化的知識只有外化為解決實際問題（建模）的能力才能彰顯知識的價值，實現學習的意義，這也正是模型觀念的本質. 因此，筆者認為，教師在教學過程要有發展學生模型觀念的意識，通過適度的數學建模活動實現學生的思維由小學階段的直觀、感性循序向中學階段的抽象、理性過渡，實現從學習知識到應用知識的跨越.

3. 教師在發展學生模型觀念教學中要有創新意識

雖然對于初中生來說基本的數學概念都可以看成數學模型，但是這并不是說只要教師教好數學概念，學生的模型觀念就會自然形成，數學建模能力就會自然提升. 在教學過程中，教師要讓學生在掌握基本數學模型及建模的方法（如方程模型、不等式模型、函數模型等）的同時，具有創新意識，不拘泥于常見的、固定的模型，在更廣的知識范圍內選擇更合適的模型. 例如，“師生年齡”問題是方程（組）模型的最基本類型，多數教師在教學過程中只要學生會列方程（組）進行求解，就認為是達成教學目標了. 上文所述的案例中，教師在學生列方程組解決問題的情況下，引導學生對問題的本質進行進一步挖掘，在對方程組解法的分析中找到了“和差問題”的速算模型，在模仿“和差問題”尋找“問齡問題”速算模型的過程中成功建立了數軸模型，獲得了問題更直觀、簡潔的解法. 這就是一個在教師有意識地引領之下，讓學生自主創新發展模型觀念的過程.

4. 教師在發展學生模型觀念教學中要有主體意識

教學的本質是“教學生學”，目的是“教學生會學”. 因此，在發展學生模型觀念的教學過程中，先要確立學生是學習的主體，將發現問題、提出問題、解決問題的機會交給學生，必要時教師要采取“稚化”藝術與學生“共同進退”. 本節課中，教師在題目1的解決過程中有意識地設置了反思環節，引導學生得出了題目1的速算模型，其目的就是為題目2的解決提供方向的指引，讓學生會學. 盡管在題目2的教學過程中，學生一開始未能按照教師的預期探索出速算求解模型，但是題目1的解決堅定了學生進一步探究的信心（題目1有速算求解模型，那么題目2也應該有速算求解模型）. 正是在這樣的信念支撐下，學生在后續的探索中才能保持充分的主體意識，直至探究成功.

與學生是“學”的主體相對應的，教師是“教”的主體. 在發展學生模型觀念的過程中，教師不能因為學生是“學”的主體，就對學生“放任自流”，任學生“野蠻生長”.“教”的主體任務至少有以下兩點：一是保持學生良好的探究心向；二是設置有利于學生發現的情境. 具體到本案例中，教師至少做了以下三點努力：一是從簡單的問題入手，在題目1中設計反思環節，為題目2提供研究方法指引；二是在題目2的探究過程始終堅持“引領”而不是“放任”；三是在具體引領時堅持“無為而導”，即始終讓學生沖在前面.

三、結束語

初中階段是學生身體和心理發展的第一個關鍵期，更是世界觀、人生觀、價值觀確立的關鍵時期，從初中階段開始重視發展學生的模型觀念，有利于學生形成正確的數學學科認知，有利于學生理性思維的發展，有利于提高數學教學質量，最終有利于學生的終身發展. 在實際教學中，教師既要具備發展學生模型觀念的教學意識，又要具備低起點的發展學生模型觀念的教學能力，這是我們需要共同努力的方向.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］徐小建. 例談數學建模素養的落實：以“胡不歸”問題的教學為例［J］. 中小學教材教學，2019（4）：65-69.

［3］徐小建. 基于“數學抽象”素養的函數概念生成教學［J］. 中小學教材教學，2020（11）：23-26.

［4］趙思林，崔靜靜. 中學數學建模的問題及其解決［J］. 教學與管理，2019（1）：45-47.

［5］徐小建. 學程總結：數學教學的智慧［M］. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，2018.