“變量控制”在中點連線題中的創新應用

摘" 要：在一道以三角形為背景的幾何題中，創新性地將兩中點進行連線，有效考查了學生的數學核心素養. 通過“變量控制”，實現一題多解、多角度考查的目的.

關鍵詞：中點；基本圖形；教學價值；核心素養；變量控制

中圖分類號：G633.6" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）03-0055-05

引用格式：錢宜鋒.“變量控制”在中點連線題中的創新應用［J］. 中國數學教育（初中版），2025（3）：55-59.

在課堂中，采用符合學生認知規律的“老題換新”來觸發學生經歷結果性知識的形成過程，有助于學生理解、掌握數學的基礎知識和基本技能，使學生體會到數學基本思想，積累數學基本活動經驗，發展數學核心素養. 以三角形中位線知識為例，基于中點連線題中的創新應用進行論述.

一、題目呈現

二、一題多賞

1. 題面簡約美觀，蘊含豐富的知識點

該題減少了線條對學生的干擾，進一步拓展了中點問題，使題面簡約而不簡單. 該題不僅涉及直角三角形斜邊中線的性質、勾股定理、等腰（直角）三角形的性質、三角形全等、三角形中位線的性質、線段垂直平分線的性質、圓的性質，還融入了函數表達式和方程、代數式變形等知識，通過整合多個知識點彰顯了數學構圖的美感.

2. 在修復與構造中發展核心素養

該題以學生熟知的直角三角形斜邊的中線為背景命制，降低了學生對題面的陌生度. 再通過讓學生修復等腰直角三角形、全等三角形，構造三角形中位線、輔助圓等基本圖形來實現構造、轉移組合圖形，為尋找有效的線段間的數量關系奠定基礎. 最后，通過創新，與另一個同直角的等腰直角三角形的斜邊中點相連線，在原有圖形性質的基礎上，旨在考查學生的幾何直觀、推理能力、應用意識等核心素養.

3.“數”與“形”中的執果索因

該題注重對學生對數學方法的掌握和數學思想的內化情況的考查. 通過將等腰直角三角形的一條直角邊沿水平方向放置，助力學生運用執果索因的整體思想，啟發學生運用數形結合思想解題，間接為學生提供了解題的方法和思路. 這體現了學生學習數學應該達成有意義的綜合性能力，且重視數學思想是發展學生數學核心素養的有效途徑.

三、一題多解

DE的長由點E的位置來確定，而點G，E的位置相互關聯，點G的位置由多個變量控制，從控制這些變量入手解決DE長，來實現一題多解.

1. 用代數式表示圖形的數量關系

2. 建立平面直角坐標系尋找圖形中的數量關系

由等腰直角三角形ABC的放置方式，聯想到建立平面直角坐標系，易得點A，D，F的坐標，由此線段AG，FG的長由點G的坐標來確定. 由于點G在△ABC的中位線（MN）所在直線上運動，因此問題進一步轉化為如何求直線MN的表達式及點G的縱坐標. 由于G為線段DE的中點，因而問題可以轉化如何確定點E的坐標.

【評析】等腰直角三角形放置的位置為學生找線段間的數量關系和建立平面直角坐標系提供了解題方向. 這種創設情境讓學生建立平面直角坐標系來解題的命題，既考查了學生用坐標表達圖形的性質，又豐富了幾何問題代數化解決的方式.

3. 修復還原圖形，發現圖形中的數量關系

4. 構造、切割、轉移圖形，尋找數量關系

【評析】這種通過構造、切割基本圖形，以及轉移基本圖形，尋找圖形中線段間數量關系的考查方式，有助于達到考查學生的幾何直觀、應用意識和創新意識的目的.

5. 構造三角形中位線解決圖形中的數量關系

6. 顯化運動規律解決圖形中的數量關系

四、教學建議

1. 重視基本活動經驗的積累

該題是一道關于線段中點的綜合題，這種中點連線問題是學生比較少見的，怎樣通過中點控制線段DE的長度，更是少見. 因此，教師要重視引導學生全程參與數學解題學習，學會從數學的角度發現問題和提出問題，尋求解決問題的思路，挖掘隱含的線段間的數量關系. 在教學中，通過讓學生思考的方式，使其積累基本活動經驗，發展數學核心素養.

2. 強化推理能力與基本圖形的教學

基于以上9種解法可知，該題主要考查了學生的推理能力和對基本幾何圖形的掌握. 這對學生解決幾何問題所需的推理能力和對圖形基本性質的掌握程度提出了較高的要求. 因此，教師在平時教學中要加強推理能力的教學，有助于學生理解推理在形成數學概念、法則、定理和解決問題中的重要性，讓學生感悟數學的嚴謹性，促進其思維方式的豐富與優化，形成有邏輯地表達與交流的習慣. 類似地，教師還可以引導學生采用對已知圖形進行修復、轉移、構造等方式與目標進行關聯，圍繞基本圖形展開邏輯推理，并將其內化為自己的認知結構，從而發揮基本圖形的價值，提升學生的推理能力.

3. 突出數學思想方法

該題弱化了用特殊技巧解題，注重對用坐標表達圖形性質和數形結合等思想方法的考查. 教師在平時的教學中要把數學思想方法滲透到教學的全過程. 例如，求線段DE的長時，教師既可以從代數的角度切入進行分析，也可以讓學生建立平面直角坐標系，分析目標線段與基本圖形的關系. 在平時的解題教學中，教師要引導學生根據問題進行分析、挖掘，尋找隱含在其中的數學思想方法，進而促進學生形成有效解決問題的思路. 在這個過程中，學生不僅能學好概念、法則、定理等內容，還能體會數學知識的發生發展過程，感悟其中蘊含的數學思想方法，從而提升應用意識、創新意識等核心素養.

參考文獻：

［1］章建躍. 數學教育隨想錄（下卷）［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［2］鄧凱. 幾何基本圖形：從潛意識走向有意識［J］. 中學數學教學參考（中旬），2016（10）：41-43.

［3］章建躍. 數學教育隨想錄（上卷）［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.