有效運(yùn)用課前助學(xué)單，助力初中生自主探究學(xué)習(xí)

摘" 要：基于數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在關(guān)聯(lián)、數(shù)學(xué)技能的靈活運(yùn)用、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用強(qiáng)化、數(shù)學(xué)與生活經(jīng)驗(yàn)的相互融通及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識的緊密聯(lián)系來設(shè)計(jì)課前助學(xué)單，指導(dǎo)學(xué)生課前進(jìn)行補(bǔ)償性學(xué)習(xí)與嘗試探究性學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，助力學(xué)生自主探究學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：課前助學(xué)單；自主預(yù)習(xí)；探究學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6" " " 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）03-0042-05

引用格式：林日福. 有效運(yùn)用課前助學(xué)單，助力初中生自主探究學(xué)習(xí)［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2025（3）：42-45，50.

一、問題提出

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，決定有意義學(xué)習(xí)出現(xiàn)的唯一最重要條件是學(xué)生原有知識的性質(zhì)，包括學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時(shí)，其認(rèn)知結(jié)構(gòu)是否具備相應(yīng)的知識準(zhǔn)備，以及原有知識是否鞏固，新知識與原有知識屬于什么關(guān)系等. 教學(xué)中，教師常通過復(fù)習(xí)舊知活動來激活學(xué)生原有的知識，但學(xué)生之間存在的差異，以及完成課堂教學(xué)任務(wù)的現(xiàn)實(shí)需要常讓教師難以帶領(lǐng)學(xué)生真正開展探究性學(xué)習(xí)，影響了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展. 本文借助課前助學(xué)單，為有效解決這一問題提供參考.

二、課前助學(xué)單的內(nèi)涵

課前助學(xué)單是指導(dǎo)學(xué)生在課前進(jìn)行補(bǔ)償性學(xué)習(xí)與嘗試探究性學(xué)習(xí)的一種學(xué)習(xí)方案. 通過在新舊知識的銜接處設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化問題串，引導(dǎo)學(xué)生二次理解舊知，嘗試探究新知，體會新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，感受知識的發(fā)展性，提高對數(shù)學(xué)的整體性認(rèn)識. 教師根據(jù)學(xué)生在完成任務(wù)過程中遇到的困難及問題，修改、完善教學(xué)設(shè)計(jì)，更好地構(gòu)建高質(zhì)量課堂.

三、課前助學(xué)單的設(shè)計(jì)

1. 基于數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在關(guān)聯(lián)

現(xiàn)實(shí)中當(dāng)我們忘記某個(gè)概念時(shí)，常通過概念之間的關(guān)聯(lián)信息來激活這個(gè)概念. 通過分析數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，有利于深化對所學(xué)概念的認(rèn)識，加深對有關(guān)概念的理解，也便于記憶. 基于新舊概念的內(nèi)在聯(lián)系，教師創(chuàng)設(shè)合適的情境指導(dǎo)學(xué)生課前自覺復(fù)習(xí)與新概念相關(guān)聯(lián)的舊概念，嘗試探究新概念，有利于學(xué)生建構(gòu)概念網(wǎng)絡(luò)，增強(qiáng)對概念的理解與記憶.

案例1：二次函數(shù)概念的教學(xué).

函數(shù)是二次函數(shù)的上位概念，一次函數(shù)與二次函數(shù)是并列關(guān)系，它們都是函數(shù)的下位概念，而且一次函數(shù)與二次函數(shù)的定義方式都是“樣子 + 條件”的形式，這兩個(gè)特殊的函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中都可以找到豐富的例子，且可以通過“例子—屬性—概念”的學(xué)習(xí)路徑獲得. 因此，學(xué)生能否從記憶中順利提取出函數(shù)、一次函數(shù)的概念及研究經(jīng)驗(yàn)，將直接影響他們學(xué)習(xí)和理解二次函數(shù)的概念，建立函數(shù)的概念網(wǎng)絡(luò).

問題1：某商場將一種單價(jià)為30元的新產(chǎn)品定價(jià)60元進(jìn)行銷售.

（1）設(shè)銷售n個(gè)這種產(chǎn)品時(shí)銷售額為m元，則m與n之間的關(guān)系式是__________. m是關(guān)于n的函數(shù)嗎？試說明理由.

（2）該商場在試銷這種產(chǎn)品時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果按定價(jià)銷售，每天可以售出100個(gè)，如果每個(gè)降價(jià)1元銷售，那么每天可以多售出10個(gè). 設(shè)當(dāng)每個(gè)降價(jià)x元時(shí)，每天可售出y個(gè)，商場獲得利潤是Q元，那么y與x之間的關(guān)系式是__________，Q與x之間的關(guān)系式是__________. Q是關(guān)于x的函數(shù)嗎？試說明理由.

（3）找出上述問題中的一次函數(shù)，并判斷Q是否是關(guān)于x的一次函數(shù).

問題2：用長為40 m的籬笆圍成一個(gè)矩形養(yǎng)雞場，設(shè)養(yǎng)雞場的一邊長為x m，另一邊長為y m，面積為S m2，則y與x之間的關(guān)系式是_________，y是關(guān)于x的一次函數(shù)嗎？S與x之間的關(guān)系式是_________，S是關(guān)于x的一次函數(shù)嗎？為什么？

問題3：在上述Q與x及S與x之間的關(guān)系中，試說說它們的共同特征，并再舉出一個(gè)滿足這些特征的函數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】以生活現(xiàn)實(shí)為問題情境，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的概念解釋兩個(gè)變量之間的關(guān)系，運(yùn)用一次函數(shù)的概念對所得的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行判斷，復(fù)習(xí)鞏固函數(shù)、一次函數(shù)的相關(guān)概念. 在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生找出兩個(gè)新函數(shù)的共同特征，舉出具有這些特征的例子，將有助于激活學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)他們自主探究二次函數(shù)的概念.

2. 基于數(shù)學(xué)技能的靈活運(yùn)用

數(shù)學(xué)技能是一種程序性知識，學(xué)習(xí)中也會出現(xiàn)遺忘或不熟練，進(jìn)而影響新技能的學(xué)習(xí)或運(yùn)用技能探究新知識. 因而，在學(xué)習(xí)新知識時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)的數(shù)學(xué)技能，將有助于他們在探索學(xué)習(xí)新知識或解決新問題時(shí)能及時(shí)、準(zhǔn)確地調(diào)用已有知識和經(jīng)驗(yàn).

案例2：反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)的教學(xué).

研究反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)與研究一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)相類似. 就北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》而言，按“列表、描點(diǎn)、連線”這樣的操作程序畫出函數(shù)的圖象，是八年級第一學(xué)期的學(xué)習(xí)內(nèi)容. 通過大量的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，在九年級學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)這一課時(shí)，很多學(xué)生對畫函數(shù)圖象的程序已較為陌生，使得本應(yīng)是學(xué)生可以通過自主探究獲得新知識的活動，變成了“教師示范 + 學(xué)生模仿”式的學(xué)習(xí). 因而，指導(dǎo)學(xué)生自覺復(fù)習(xí)畫函數(shù)圖象的操作規(guī)則，是很有必要的.

問題1：函數(shù)圖象的概念是什么？

問題2：畫出一次函數(shù)y = 2x + 3的圖象，完成下列問題.

（1）該函數(shù)圖象的形狀是_________；

（2）該函數(shù)圖象經(jīng)過______________象限；

（3）當(dāng)自變量x的值增大時(shí)，函數(shù)y的值如何變化？你是如何判斷的？

問題3：根據(jù)反比例函數(shù)y=6/x表達(dá)式的形式嘗試寫出其性質(zhì)，然后畫出它的圖象，再檢驗(yàn)?zāi)闼鶎懙男再|(zhì)是否正確、完整.

【設(shè)計(jì)意圖】通過引導(dǎo)學(xué)生自主復(fù)習(xí)函數(shù)圖象的概念，研究一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的內(nèi)容及經(jīng)驗(yàn)，鞏固畫一次函數(shù)圖象的技能，再嘗試畫出反比例函數(shù)y=6/x的圖象，從“式結(jié)構(gòu)”與“形結(jié)構(gòu)”兩個(gè)視角嘗試探究其性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的類比思想與遷移能力.

3. 基于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用強(qiáng)化

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的活動過程中獲取的信息. 激活數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)?zāi)苤笇?dǎo)學(xué)生探究學(xué)習(xí)新知識，感悟數(shù)學(xué)思想方法，豐富對數(shù)學(xué)知識的體驗(yàn)與理解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力. 因而，在探索學(xué)習(xí)新知識前，創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生主動回憶、提取已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，讓已有的經(jīng)驗(yàn)在探索學(xué)習(xí)新知識中發(fā)生作用，有助于經(jīng)驗(yàn)的強(qiáng)化，進(jìn)而將基本活動經(jīng)驗(yàn)發(fā)展為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

案例3：三角形的內(nèi)角和定理的教學(xué).

探究三角形的內(nèi)角和與探究整式的運(yùn)算法則的路徑是相似的，都是基于特殊情況成立的結(jié)論，通過歸納（更多用于代數(shù)問題）或類比（更多用于幾何問題）推斷一般情況下的類似結(jié)論成立. 對于推斷得到的結(jié)論，還需要經(jīng)過數(shù)學(xué)證明（包括數(shù)學(xué)計(jì)算）的驗(yàn)證，即實(shí)踐歸納—推理論證—應(yīng)用拓展. 例如，學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則時(shí)，先計(jì)算一些特殊的冪的乘法運(yùn)算，歸納、猜想a^m · aⁿ=a^m+n（其中m，n為正整數(shù)），然后運(yùn)用冪的定義來證明猜想. 這樣，引導(dǎo)學(xué)生回憶探究同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則的經(jīng)驗(yàn)，可以啟發(fā)學(xué)生自主嘗試探究三角形的內(nèi)角和定理，感悟類比思想，建立數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)跨知識領(lǐng)域的數(shù)學(xué)大概念、大觀念，從整體上認(rèn)識數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

問題1：同底數(shù)冪的乘法法則的內(nèi)容是什么？我們是怎樣得到這一運(yùn)算法則的？

問題2：我們在學(xué)習(xí)哪些知識時(shí)也經(jīng)歷了類似探究同底數(shù)冪的乘法法則的過程？試舉例說明.

問題3：在以前，我們是通過什么樣的方法得到三角形的內(nèi)角和是[180°]的？

問題4：如圖1，已知△ABC. 證明：∠A + ∠B + ∠C = 180°.

問題5：比較探究同底數(shù)冪的乘法法則與探究三角形的內(nèi)角和的過程，說說你的理解與體會.

【設(shè)計(jì)意圖】通過激活學(xué)生探究獲得同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則等知識的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化學(xué)生對歸納推理、演繹推理的運(yùn)用及價(jià)值的體會. 在此基礎(chǔ)上探究三角形的內(nèi)角和，實(shí)現(xiàn)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域和圖形與幾何領(lǐng)域在思維方法上的融通，進(jìn)一步強(qiáng)化從特殊到一般的探究經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的整體性、關(guān)聯(lián)性認(rèn)識，提升推理能力.

4. 基于數(shù)學(xué)與生活經(jīng)驗(yàn)的相互融通

我們知道，數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)世界，是對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，生活中的普適規(guī)則往往與數(shù)學(xué)中的規(guī)則是相通的，其蘊(yùn)含的思想方法也類似. 例如，我們在生活中常將某些具有共同特征的事物歸為一類，然后給他們“打個(gè)包”，命個(gè)名字，就成為一類產(chǎn)品或一個(gè)規(guī)則. 這個(gè)過程中蘊(yùn)含著歸納思想，與很多數(shù)學(xué)概念、規(guī)則或定理的獲得過程是類似的. 這樣，將數(shù)學(xué)中的概念、原理、規(guī)則的學(xué)習(xí)與現(xiàn)實(shí)生活中的普適規(guī)律、規(guī)則建立聯(lián)系，將有利于學(xué)生建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)關(guān)系的大概念，幫助他們更好地了解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價(jià)值與意義.

案例4：整式的加減法的教學(xué).

數(shù)式通性是研究數(shù)（實(shí)數(shù)）、式（整式、分式、二次根式）和解方程的基本思想和方法. 由于字母可以表示數(shù)，因此數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)在式中仍然成立. 教學(xué)的難點(diǎn)不在于學(xué)生是否會運(yùn)用運(yùn)算法則、運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行式的運(yùn)算，而是如何幫助學(xué)生體悟數(shù)式通性這一基本思想方法. 也就是說，學(xué)習(xí)整式的加減法時(shí)，怎樣計(jì)算2a + 3a固然重要，但認(rèn)識到2a + 3a可以像2 + 3一樣進(jìn)行“合并”，形成“合并”的概念更為重要.

問題1：多項(xiàng)式[7a+3a2+2a-a2+3]中，二次項(xiàng)的有" " " " ，二次項(xiàng)的系數(shù)分別是" " " " ，一次項(xiàng)的有" " " " ，一次項(xiàng)的系數(shù)分別是" " " " ，常數(shù)項(xiàng)是" " " " .

問題2：閱讀下列計(jì)算過程.""" ".

你有些什么發(fā)現(xiàn)？

問題4：下列的兩個(gè)式子中能否如問題3的第（4）（5）小題一樣合并？為什么？

（1）-2a²b與6a²b；（2）-2ab²與6a²b；

（3）6ab與6a²b；（4）6x²y與6a²b.

問題5：嘗試計(jì)算[3a+8a]，并說說你這樣計(jì)算的理由.

【設(shè)計(jì)意圖】通過將式的運(yùn)算規(guī)則與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用生活中的經(jīng)驗(yàn)——同類的事物才能而且可以“合并”，來探究獲得式的運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)——同類的單項(xiàng)式才能而且可以“合并”. 將數(shù)學(xué)中的合并同類項(xiàng)與生活中的“合并”同類事物建立聯(lián)結(jié)，形成“合并”大概念，幫助學(xué)生形成合并單項(xiàng)式的概念. 在此基礎(chǔ)上，再運(yùn)用數(shù)的運(yùn)算中乘法對加法的分配律，探究、解釋兩個(gè)同類的單項(xiàng)式合并的過程及算理，體會數(shù)式通性.

5. 基于數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識的緊密聯(lián)系

數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分. 數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的重要基礎(chǔ)，在社會科學(xué)中發(fā)揮著越來越重要的作用，數(shù)學(xué)的應(yīng)用滲透到了現(xiàn)代社會的各個(gè)方面. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以幫助學(xué)生學(xué)習(xí)理解其他學(xué)科的知識；反之，其他學(xué)科知識的學(xué)習(xí)也有助于他們學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，并在此過程中體會數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的密切聯(lián)系，建立跨學(xué)科大概念，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值. 事實(shí)上，把數(shù)學(xué)獨(dú)立于其他學(xué)科來孤立地學(xué)習(xí)，既不利于學(xué)生的全面發(fā)展，也不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的全面性、本質(zhì)性理解，更不利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識與創(chuàng)新能力.

案例5：用樹狀圖或表格求概率的教學(xué).

求等可能獨(dú)立事件發(fā)生的概率，可以運(yùn)用枚舉法，但如果獨(dú)立事件的數(shù)量較大，枚舉法則具有局限性. 如何從枚舉法想到畫樹狀圖法或列表法呢？生物學(xué)學(xué)科中的遺傳圖譜（如圖2）與數(shù)學(xué)中的樹狀圖是類似的. 學(xué)生已經(jīng)在八年級生物學(xué)學(xué)科中學(xué)習(xí)過畫簡單的遺傳圖譜，因而可以通過啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用畫生物學(xué)的遺傳圖譜的方法及經(jīng)驗(yàn)來探究獲得運(yùn)用樹狀圖法求簡單等可能獨(dú)立事件發(fā)生的概率.

問題1：人類的性別是由一對性染色體（X，Y）決定的. 當(dāng)受精卵的性染色體為XX時(shí)，該受精卵發(fā)育成的孩子是女孩；當(dāng)受精卵的性染色體為XY時(shí)，該受精卵發(fā)育成的孩子是男孩. 一對已婚夫妻，如果妻子懷上了一個(gè)小孩，求該小孩為男孩的概率，并畫出他們的性染色體遺傳圖譜.

問題2：有兩個(gè)口袋，一個(gè)口袋中裝有2個(gè)紅球，另一個(gè)口袋中裝有1個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球除顏色外都相同. 分別從每個(gè)口袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，求摸到的2個(gè)球1個(gè)是紅球1個(gè)是白球的概率.

問題3：連續(xù)擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，求1枚正面朝上、1枚反面朝上的概率.

【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)生物學(xué)中畫性染色體遺傳圖譜，創(chuàng)設(shè)相類似的問題情境，啟發(fā)學(xué)生遷移畫遺傳圖譜的方法畫出簡單獨(dú)立事件的樹狀圖，在比較枚舉法與畫樹狀圖法的過程中實(shí)現(xiàn)從枚舉法到畫樹狀圖法的順利過渡，發(fā)展學(xué)生的抽象能力和推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

再如，在教學(xué)“軸對稱”時(shí)，可以讓學(xué)生在課前收集一些具有對稱美的詩句，如“晴川歷歷漢陽樹，芳草萋萋鸚鵡洲”“兩個(gè)黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天”“明月松間照，清泉石上流”等，也可以讓學(xué)生收集一些具有對稱美的樹葉、花朵等，還可以觀察周圍的建筑物，體會建筑物的對稱美，從而將數(shù)學(xué)中的“對稱”與語文中的“對偶”、現(xiàn)實(shí)生活及其他學(xué)科的“對稱”建立聯(lián)結(jié)，形成“對稱”的大概念.

四、結(jié)束語

實(shí)踐研究表明，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信主要來源于學(xué)生經(jīng)過努力后能順利獲得數(shù)學(xué)知識，掌握數(shù)學(xué)技能和達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo). 從外在表現(xiàn)來看，就是能持續(xù)地理解和掌握所學(xué)習(xí)的新知識，順利解決新問題. 運(yùn)用課前助學(xué)單，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)新舊知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，將有效減輕他們探究學(xué)習(xí)新知的認(rèn)知負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量. 科爾比的經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，處于理想狀態(tài)的經(jīng)驗(yàn)至少要經(jīng)過“具體經(jīng)驗(yàn)—反思性觀察—抽象概括—主動實(shí)踐”四個(gè)階段的循環(huán)才能完成. 運(yùn)用課前助學(xué)單，既能幫助學(xué)生強(qiáng)化已有的經(jīng)驗(yàn)，也能引導(dǎo)學(xué)生對已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思性審視、概括性思考及遷移性應(yīng)用. 在面對新的問題時(shí)，這些經(jīng)驗(yàn)將助力學(xué)生探究獲得新知識. 同時(shí)，在課前做好學(xué)習(xí)新知準(zhǔn)備后，學(xué)生能分配更多的認(rèn)知資源并以積極的狀態(tài)對探究新知識的認(rèn)知活動進(jìn)行管理、監(jiān)控，以保證認(rèn)知活動可持續(xù)、高效地進(jìn)行. 特別地，課堂探究學(xué)習(xí)效率與質(zhì)量的提升能給學(xué)生留出更多課堂鞏固練習(xí)的時(shí)間，使當(dāng)天的課后作業(yè)可以提前在課堂上完成，這會對學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)元認(rèn)知及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣產(chǎn)生積極的影響.

參考文獻(xiàn)：

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