初中數(shù)學(xué)圖形旋轉(zhuǎn)教學(xué)中“瓜豆原理”的應(yīng)用及反思

摘 要：“瓜豆原理”能夠幫助學(xué)生更好地理解旋轉(zhuǎn)知識(shí)。文章探討了“瓜豆原理”在初中數(shù)學(xué)圖形旋轉(zhuǎn)教學(xué)中的應(yīng)用及反思，闡述了“瓜豆原理”的基本概念及應(yīng)用原理，分析了“瓜豆原理”在旋轉(zhuǎn)概念理解、旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角度展示、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性理解、旋轉(zhuǎn)與平移組合變換以及旋轉(zhuǎn)圖形面積與周長(zhǎng)計(jì)算等方面的具體應(yīng)用，并對(duì)“瓜豆原理”在教學(xué)中的適用性、局限性、實(shí)施方式以及評(píng)估與反饋機(jī)制進(jìn)行了深入反思。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；圖形旋轉(zhuǎn)教學(xué)；“瓜豆原理”

“瓜豆原理”作為初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的一個(gè)重要應(yīng)用，具有廣泛的教育意義和實(shí)際價(jià)值。旋轉(zhuǎn)是重要的數(shù)學(xué)變換，也是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和幾何直覺(jué)具有重要意義。但是，旋轉(zhuǎn)概念的抽象性和復(fù)雜性使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不容易理解。為了幫助學(xué)生更好地理解和掌握旋轉(zhuǎn)知識(shí)，筆者在教學(xué)中引入“瓜豆原理”，通過(guò)構(gòu)建具體的“瓜豆”模型，學(xué)生可直觀地看到旋轉(zhuǎn)過(guò)程中圖形的變化，從而加深對(duì)旋轉(zhuǎn)概念的理解。這為圖形旋轉(zhuǎn)教學(xué)提供新的思路和方法。

一、“瓜豆原理”的基本概念及其在圖形旋轉(zhuǎn)教學(xué)中的應(yīng)用原理

（一）“瓜豆原理”的基本概念

“瓜豆原理”是基于幾何變換中的比例和角度關(guān)系。具體來(lái)說(shuō)，該原理涉及三個(gè)關(guān)鍵要素：定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)和它們之間的比例與角度關(guān)系。定點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)的中心或參考點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)是圍繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，比例關(guān)系指的是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比保持恒定，而角度關(guān)系是指這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線之間的夾角保持固定。在“瓜豆原理”中，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（主動(dòng)圖形，通常被稱為“瓜”）的運(yùn)動(dòng)軌跡決定了另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（從動(dòng)圖形，通常被稱為“豆”）的運(yùn)動(dòng)軌跡。當(dāng)“瓜”在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，“豆”也將沿著相同的直線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)“瓜”在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，“豆”也將沿著相同的圓周運(yùn)動(dòng)。這種一致性是由它們到定點(diǎn)的距離比和夾角關(guān)系所保證的。

（二）“瓜豆原理”在圖形旋轉(zhuǎn)教學(xué)中的應(yīng)用原理

“瓜豆原理”為圖形旋轉(zhuǎn)教學(xué)提供了直觀且易于理解的模型。通過(guò)構(gòu)建“瓜豆”模型，可幫助學(xué)生清晰地看到旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度以及旋轉(zhuǎn)后的圖形變化等關(guān)鍵要素，有助于學(xué)生更好地理解和掌握旋轉(zhuǎn)概念?！肮隙乖怼睆?qiáng)調(diào)了比例和角度關(guān)系在旋轉(zhuǎn)中的重要性。在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比和夾角關(guān)系保持不變。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注這些關(guān)系，可幫助學(xué)生更加深入地理解旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，從而提高學(xué)生解決旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的能力。“瓜豆原理”還為學(xué)生提供了探索旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的平臺(tái)，通過(guò)構(gòu)建不同的“瓜豆”模型，學(xué)生可自主發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)圖形的對(duì)稱性和不變性等性質(zhì)，從而培養(yǎng)他們的幾何直覺(jué)和推理能力。

二、“瓜豆原理”在初中數(shù)學(xué)圖形旋轉(zhuǎn)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）“瓜豆原理”在旋轉(zhuǎn)概念理解中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)中，為幫助學(xué)生更好地理解和掌握旋轉(zhuǎn)概念，教師可運(yùn)用“瓜豆原理”。這一原理將旋轉(zhuǎn)過(guò)程比作瓜和豆的關(guān)系，想象一個(gè)瓜（主動(dòng)圖形）和一個(gè)豆（從動(dòng)點(diǎn)或圖形），當(dāng)瓜繞某點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)中心）旋轉(zhuǎn)一定角度時(shí)，豆也會(huì)按照相同的角度繞同一中心旋轉(zhuǎn)。例如，在解決關(guān)于三角形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的題目時(shí)，可以讓學(xué)生想象三角形是一個(gè)“瓜”，而三角形的一個(gè)頂點(diǎn)或一條邊上的某個(gè)點(diǎn)作為“豆”。當(dāng)三角形繞某點(diǎn)（如頂點(diǎn)A）旋轉(zhuǎn)45度時(shí)，學(xué)生需要理解并計(jì)算出“豆”（如頂點(diǎn)B或C，或BC邊上的一點(diǎn)D）的新位置。通過(guò)“瓜豆原理”，學(xué)生能直觀地看到，無(wú)論“瓜”如何旋轉(zhuǎn)，“豆”總是以相同的角度和相同的方向跟隨旋轉(zhuǎn)，從而加深對(duì)旋轉(zhuǎn)概念的理解。

（二）利用“瓜豆原理”直觀展示旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角度

為了讓學(xué)生更直觀地理解旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角度的概念，我們可以利用“瓜豆原理”進(jìn)行演示。在課堂上，我們可以使用教具或多媒體工具，展示一個(gè)圖形（如圓形、三角形等）繞某一固定點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)中心）旋轉(zhuǎn)的過(guò)程。例如，在解決關(guān)于圓繞圓心旋轉(zhuǎn)的題目時(shí)，可以將圓看作“瓜”，圓心作為旋轉(zhuǎn)中心，圓上的任意一點(diǎn)作為“豆”。當(dāng)圓繞圓心旋轉(zhuǎn)60度時(shí)，學(xué)生可以看到，圓上的每個(gè)點(diǎn)（包括“豆”）都繞圓心旋轉(zhuǎn)了60度。通過(guò)這種方法，學(xué)生能直觀地理解旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度的概念，還能學(xué)會(huì)如何計(jì)算旋轉(zhuǎn)后圖形的位置。

（三）“瓜豆原理”在旋轉(zhuǎn)問(wèn)題解決中的應(yīng)用

在解決旋轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)，“瓜豆原理”提供了直觀且有效的方法。通過(guò)這一原理，學(xué)生可以將復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的角度和位置計(jì)算。例如，在解決一道關(guān)于線段繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后長(zhǎng)度的題目時(shí)，可以將線段看作“瓜”，線段的一個(gè)端點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)中心，另一個(gè)端點(diǎn)作為“豆”。如人教版九年級(jí)上冊(cè)第70頁(yè)第7題：

如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP′，連接PP′，CP′。

（1）當(dāng)點(diǎn)P′落在邊BC上時(shí)，∠PP′C的度數(shù)為" " " " " ；

（2）當(dāng)線段CP′的長(zhǎng)度最小時(shí)，∠PP′C的度數(shù)為" " " " " 。

第一問(wèn)比較直接，當(dāng)點(diǎn)P′落在BC上時(shí)，可以得到∠PP′C＝120°。

第二問(wèn)有一定難度，因?yàn)橐玫紺P′的最小值需要確定點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后再利用垂線段最短，確定CP′的最小值，求出此時(shí)∠PP′C的度數(shù)。這個(gè)就是我們的瓜豆原理了。本題中可以看出P為主動(dòng)點(diǎn)，P′為從動(dòng)點(diǎn)，∠PBP′＝60°是定值。

通過(guò)上邊的圖，很明顯觀察到點(diǎn)P的軌跡是線段，那么P′的軌跡也同樣是線段，那么就可以得到當(dāng)CP′與點(diǎn)P′的軌跡垂直時(shí)最小，因?yàn)榇咕€段最短。此時(shí)只需要畫(huà)出圖形，通過(guò)證明得出△BAP ≌△BOP′，故有△BOP′是等腰直角三角形，∠OP′B是45°，所以∠PP′C＝∠OP′B＋∠OP′C－∠PP′B＝45°＋90°－60°＝75°。

這種方法簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，有效提高了學(xué)生的解題效率。

（四）“瓜豆原理”在旋轉(zhuǎn)與平移組合變換中的應(yīng)用

在實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題中，圖形不僅涉及旋轉(zhuǎn)，還涉及平移等組合變換。通過(guò)“瓜豆原理”，可以幫助學(xué)生更好地理解和解決這類問(wèn)題。例如，在解決關(guān)于圖形先旋轉(zhuǎn)后平移的題目時(shí)，可以將圖形看作一個(gè)“瓜”，旋轉(zhuǎn)中心和平移方向上的某個(gè)點(diǎn)分別作為“瓜”和“豆”的初始位置。根據(jù)題目要求將“瓜”繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定角度，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形，再將旋轉(zhuǎn)后的圖形沿平移方向平移一定距離，得到最終的圖形。在這個(gè)過(guò)程中，“豆”也會(huì)跟隨“瓜”進(jìn)行相同的旋轉(zhuǎn)和平移變換。這樣學(xué)生就可更清晰地看到旋轉(zhuǎn)和平移的組合變換過(guò)程，從而更好地理解和解決這類問(wèn)題。

（五）“瓜豆原理”在旋轉(zhuǎn)圖形面積與周長(zhǎng)計(jì)算中的應(yīng)用

在計(jì)算旋轉(zhuǎn)圖形的面積和周長(zhǎng)時(shí)，“瓜豆原理”同樣可以發(fā)揮重要作用。通過(guò)這一原理，可以將復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)圖形簡(jiǎn)化為更簡(jiǎn)單的圖形進(jìn)行計(jì)算。例如，在解決關(guān)于三角形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后面積和周長(zhǎng)的題目時(shí)，可以將三角形看作一個(gè)“瓜”，旋轉(zhuǎn)中心作為定點(diǎn)，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)作為“豆”。當(dāng)三角形繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定角度后，雖然圖形的形狀發(fā)生了變化，但面積和周長(zhǎng)等屬性仍然可以通過(guò)“瓜豆原理”進(jìn)行計(jì)算。具體來(lái)說(shuō)，可以將旋轉(zhuǎn)后的圖形看作是由原圖形經(jīng)過(guò)一系列簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)和平移變換得到的，因此可以通過(guò)計(jì)算原圖形的面積和周長(zhǎng)，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)進(jìn)行修正，得到旋轉(zhuǎn)后圖形的面積和周長(zhǎng)。這種方法能簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，提高學(xué)生的解題效率和準(zhǔn)確性。

三、初中數(shù)學(xué)圖形旋轉(zhuǎn)教學(xué)中“瓜豆原理”的反思

在初中數(shù)學(xué)圖形旋轉(zhuǎn)教學(xué)中，“瓜豆原理”的運(yùn)用，能為學(xué)生提供深入理解旋轉(zhuǎn)知識(shí)的新視角。但在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，教師也需要對(duì)這一原理進(jìn)行反思，以更好地發(fā)揮在教學(xué)中的價(jià)值。

首先，需要反思“瓜豆原理”在教學(xué)中的適用性。雖然有助于學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度以及旋轉(zhuǎn)后的圖形變化等方面，但它并非適用于所有類型的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題。在教學(xué)過(guò)程中，教師需靈活選擇教學(xué)方法，根據(jù)問(wèn)題的具體類型和難度，結(jié)合“瓜豆原理”與其他教學(xué)策略，以取得最佳的教學(xué)效果。其次，需要反思“瓜豆原理”在教學(xué)中的局限性。盡管這一原理能夠幫助學(xué)生直觀地理解旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，但它可能無(wú)法完全揭示旋轉(zhuǎn)背后的數(shù)學(xué)原理和邏輯。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生深入探究旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)和規(guī)律，培養(yǎng)他們的抽象思維和邏輯推理能力。最后，需要反思“瓜豆原理”在教學(xué)中的實(shí)施方式。教師可通過(guò)構(gòu)建具體的“瓜豆”模型、利用多媒體工具演示以及組織學(xué)生動(dòng)手操作等方式實(shí)施“瓜豆原理”，但不同的實(shí)施方式對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果產(chǎn)生不同的影響。因此，教師需要不斷優(yōu)化教學(xué)方法，以更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

總之，“瓜豆原理”在形式上和解法上給我們提供了簡(jiǎn)單而又易操作的解題方法?！肮隙乖怼痹诔踔袛?shù)學(xué)圖形旋轉(zhuǎn)教學(xué)中的應(yīng)用，不僅有助于學(xué)生理解和掌握旋轉(zhuǎn)概念，還能提高他們的解題能力和數(shù)學(xué)思維能力。通過(guò)這一原理的引導(dǎo)，學(xué)生可以將抽象的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形和角度計(jì)算，從而更深入地理解旋轉(zhuǎn)的奧秘。但在實(shí)際應(yīng)用中，需要注意其適用性和局限性，并根據(jù)問(wèn)題的具體類型和難度靈活選擇教學(xué)方法。教師還需要不斷探索和優(yōu)化教學(xué)方法，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，提高他們的學(xué)習(xí)效率。

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