初中數學一題多解“三維聚合”教學探究

摘 要：在核心素養導向的教學背景下，初中數學教學正在由傳統的知識點教育模式向當下的創新思維培養模式轉變。一題多解解題教學是初中數學教學的常用方法，教師可以從“基礎”“思維”“創新”三個維度出發，以“夯實基礎”“啟迪思維”“激發創新”為價值追求，通過“三維聚合”分層發展學生的數學思維，逐漸提升學生解決問題的能力。

關鍵詞：“三維聚合”；一題多解；初中數學；創新思維

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）28-0125-04

初中數學教學正由傳統的知識點教育模式向當下的創新思維培養模式轉變，著力引導學生從知識積累者轉變為具備創新性和概括性思維的問題解決者。為此，筆者為初中數學解題教學設計了一題多解“三維聚合”的實踐路徑。一題多解指的是對同一道題目從不同的角度展開問題分析，采用不同的方法進行求解，實現解題方法的多樣化，進而發現不同方法之間的聯系和差異，更加深刻地理解數學原理和概念，掌握數學原理和概念的本質。將一題多解的解題教學與“三維聚合”的實踐路徑相結合，在一題多解的解題教學中從“基礎”“思維”“創新”三個維度對學生進行聚合式思維訓練，可以有效發展學生的數學思維，培養學生的創新意識，提升學生解決問題的能力，進而促進學生數學核心素養的發展。“三維聚合”的實踐路徑，不僅是一題多解解題教學方法的創新，更是對初中數學教育理念的深刻思考：教師不僅要關注學生基礎知識的積累，而且要對學生進行創新性和概括性思維的培養，不斷提升學生解決問題的能力。

一、初中數學一題多解“三維聚合”教學的源起及價值追求

（一）一題多解“三維聚合”教學的源起

《義務教育數學課程標準（2022年版）》首次確立了核心素養導向的課程目標，明確提出：課程目標以學生發展為本，以核心素養為導向，進一步強調使學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗（簡稱“四基”），發展運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），形成正確的情感、態度和價值觀［1］2。“四基”中的基礎知識重在理解和掌握，基本技能重在理解和應用，基本思想重在體會和感悟，基本活動經驗重在實踐和積累；“四能”注重學生在問題解決過程中綜合能力、創新能力的培養。

在數學問題解決過程中，學生需要具備敏銳的觀察能力，能夠發現題目中關鍵的數學信息及潛在的數學條件；深刻的問題分析能力，能夠將題目中的問題進行有機地解構，拆分出若干個簡單的子問題，并逐一解決；周密的推理和系統的歸納能力，能夠從已知條件出發，逐步推導出未知的結果。筆者所提出的一題多解“三維聚合”教學通過從“基礎”“思維”“創新”三個維度對學生進行解決問題訓練，可以有效提升學生的創新性和概括性思維能力和解題技巧，促進學生形成“會用數學的眼光觀察現實世界”“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”［1］5-6（簡稱“三會”）的數學核心素養，進一步發展學生的“四基”“四能”。

（二）一題多解“三維聚合”教學的價值追求

在一題多解“三維聚合”教學中，不同維度的教學有不同的價值追求（如下頁圖1）。其中的“基礎”維度，對應“四基”，重在夯實學生的數學基礎，強化學生對數學知識的深刻理解和扎實掌握。一題多解能夠使學生從不同角度切入問題，深入挖掘解題的不同方法，這不僅有利于學生鞏固基礎知識，而且能夠加深學生對知識的關聯性理解，從而為創新思維的萌發提供肥沃的土壤。“思維”維度，對應“四能”中的發現、提出和分析問題的能力，重在啟迪學生的思維，發展學生數學思維的靈活性與多樣性。孫旭花等運用一題多解的方法，在教學實踐中成功激活了學生對三角形中位線定理的思考，引出了學生的多種解題思路，不僅訓練了學生數學思維的靈活性與多樣性，而且深化了學生對三角形中位線定理的本質理解［2］。這種從不同角度思考問題的方式，是培養學生創新思維的重要途徑，能夠使學生在面對復雜問題時勇于突破常規，尋找新穎、有效的解題方法。“創新”維度，重在激發學生的創新意識，對應“四能”中的解決問題能力，關注學生解決問題的過程以及對解題過程的反思與解題能力的提升。李碧提出，將“一題多解”與“一題多變”等策略相結合，能夠精準培養學生的解題能力，優化學生的解題過程，提升解題教學的效果，通過引導學生反思不同解法的優劣，發展學生解決問題的綜合能力和創新能力［3］。

一題多解“三維聚合”的實踐路徑，強調三個維度的相輔相成、相互促進，是對初中數學教學理念的一次創新實踐。在一題多解“三維聚合”教學中，基礎解題方法是一題多解的前提，教師通過講解題目的基礎解法，幫助學生鞏固基礎知識，讓學生掌握基本的解題方法和步驟，從而確保每一個學生對數學基本概念、定理、公式等有準確的理解；啟迪思維的靈活性與多樣性是一題多解教學的核心，教師鼓勵學生跳出基礎解題方法的固有模式，通過運用多種解題策略和技巧，深化對問題的理解，培養更加全面和靈活的數學思維；激發創新是一題多解教學的目標，教師鼓勵學生通過獨立思考和深入分析，激發好奇心和探索精神，敢于嘗試和尋求反饋，能夠識別他人的謬論和誤導，同時鼓勵學生進行團隊合作和相互分享，注重營造創新學習、團隊學習的良好氛圍。

二、初中數學一題多解“三維聚合”教學舉隅

初中數學教學中大量內容與解題教學有關。科學劃分知識點的結構層次是實現一題多解“三維聚合”教學價值的重要基礎。教師在授課之前需要先深入了解教材內容，對教材知識進行結構劃分，把握知識結構和知識點的難易層次，再根據學生的實際學情精心設計一題多解練習，遵循基礎為先、思維與創新并重的教學原則，把握好教學的節奏，有目的、有計劃地發掘學生的學習潛能，引導學生逐漸夯實基礎知識、拓展思維空間，深化數學理解，激發創新意識，提升解決問題能力。

以教學人教版七年級下冊“平面直角坐標系”習題7.2綜合運用題第9題（如圖2）為例。此題綜合了小學階段所學三角形面積知識和初中階段本章新學的平面直角坐標系知識，將傳統的三角形面積解法置于平面直角坐標系的背景當中。教師在解題教學過程中，應立足學生已有認知，帶領學生在基礎解法學習、思維拓展訓練、創新思維躍遷的過程中逐層深入地探索知識點之間的本質關聯，逐漸提升學生解決問題的能力。

（一）基礎解法學習，引發數學思考

關于三角形面積的求解方法，按照小學的學習經驗，一般思路是直接運用面積公式求解；若不能直接利用面積公式求解，則可以考慮間接求解。添補法求面積是一種較常使用的求解幾何圖形面積的方法。這種方法的使用情境通常是遭遇了一些相對復雜的圖形，在直接運用面積公式難以快速求解的情況下改變思路，通過添加一個或多個簡單的圖形，使其與原圖形組合成一個更容易進行面積計算的圖形，通過計算組合圖形的面積并減去新添加的簡單圖形的面積，最終得出原圖形的面積。

解法一：運用添補法求解三角形的面積

解：如圖3，過點A、B分別作y軸和x軸的垂線CA、DB，二者延長線交于點E，垂足分別為C、D。由已知點A、B的坐標可知，OC=AE=4，OD=6，BE=BD=2。因此，S矩形ECOD=4×6=24，S△ABE=[12]×4×2=4，S△ACO=[12]×2×4=4，S△BOD=[12]×6×2=6，∴S△AOB=S矩形ECOD-S△ABE-S△ACO-S△BOD=24-4-4-6=10。

立足平面直角坐標系這個新的知識背景，在重新感受了添補法的解題方法后，學生對以往的學習經驗進行了遷移：這道題能否用分割法求解呢？

（二）知識遷移應用，拓展解題思維

一題多解的基本思路是知識的綜合應用，最常見的應用是知識轉化，通過對舊知識的遷移應用，發現和理解新的數學規律。這樣的解題思維，不僅有利于學生鞏固基礎知識，而且有利于學生對知識進行關聯性理解，從而進一步培養學生的問題意識和創新意識，發展學生解決問題的能力。因此，在解題教學中，教師應鼓勵學生通過遷移舊知掌握一題多解的思維方法，拓展解題思維。運用分割法求三角形的面積，同樣是小學的數學學習經驗，是先將不規則圖形分割成規則圖形后再求幾個規則圖形的面積的和的一種解題方法。這種方法適用于各種不規則圖形的面積計算，可以簡化計算過程，提高解決問題的效率和準確性。教師對學生的遷移思考給予鼓勵，鼓勵學生跳出基本解題方法的固有模式，通過運用多種解題策略和技巧，從不同角度切入問題分析，尋找解決問題的不同方法和思路，從而深化對問題的認識和理解。

解法二：運用分割法求解三角形面積

解：如圖4，過點B做BC∥x軸，交OA于點C，則BC=5，點A到BC的距離為2，點O到BC的距離為2。∴S△AOB=S△ABC+S△OBC=[12]×5×2+[12]×5×2=10。

在知識遷移應用的過程中，有學生由圖中的網格生發聯想，聯想到了三角形AOB的形狀有一定的特殊性，于是決定用初一新學勾股定理的逆定理嘗試去證實自己的聯想。于是有了學生的解法三。

解法三：運用勾股定理的逆定理求解三角形面積

解：∵點A（2，4），點B（6，2），∴OA=[22+42]=[25]，OB=[62+22]=[210]，AB=[（2-6）2+（4-2）2]=[25]；∵（[25]）2+（[25]）2=（[210]）2，∴OA2+AB2=OB2，△OAB為直角三角形，S△OAB=[12OA·AB]=[12]×[25]×[25]=10。

在平面直角坐標系背景下，運用點坐標求線段的長是一種常用方法。

（三）基于數形結合，創新解題思維

一題多解既注重培養學生從不同角度思考問題的意識和習慣，更注重引導學生靈活運用數形結合的思想方法，創造性解決問題。在平面直角坐標系背景下，用鉛錘法求解各邊不與坐標軸平行的多邊形的面積，是一種創造性解決問題的方法。鑒于此法在課堂中是個別學生用到的，多數學生并不理解，需要教師給予適當講解，以此培養學生的創新思維。

解法四：運用鉛錘法求解三角形面積

方法講解：如圖5，過點A、B分別作y軸和x軸的垂線CA、DB，二者延長線交于點E，垂足分別為C、D；再過點A作AF∥y軸，交OB于N，交x軸于F，這時S△AOB=S△AON+S△ABN，于是S△AOB=[12AN]×（OF+FD）=[12AN]×OD，其中，AN為鉛錘高，OD為水平寬，這樣，在平面直角坐標系背景下，可進一步得到一個三角形的面積公式，S△=[12]×水平寬×鉛錘高。這種新的求解三角形面積的方法，便是鉛錘法。該方法的證明過程如下。

∵S△AON=[12AN·OF，]S△ABN=[12AN·FD，]

∴S△AOB=S△AON+S△ABN =[12AN·OF]+[12AN·FD]

=[12AN·（OF+FD）]

=[12AN·OD]

于是公式成立。運用該公式直接求解上述三角形AOB的面積，還需要求出線段AN的長度，此解法其實又用到了后面所學的相似三角形的性質，解法如下。

解：∵△OFN[∽]△ODB，∴[NFBD=OFOD，]NF=[OF·BDOB]

=[2×26]=[23]，∴AN=[4-23]=[103，]S△AOB=[12]×[103]×6=10。

運用鉛錘法求解上述三角形AOB的面積，筆者在解法講解中給學生滲透了由特殊到一般的方法，旨在引導學生在創新解題方法的過程中注重方法由特殊到一般的形成過程，使學生所創新的解題方法能夠經受住實踐的檢驗。例如，學生上述解法三便帶有一定的特殊性，僅限于此三角形，而未必能夠推廣為一般的用法。

三、初中數學一題多解“三維聚合”教學的注意事項

在一題多解“三維聚合”教學實踐中，教師不僅是知識的傳播者，而且是學生創新思維的引導者、解決問題能力的培養者。教師通過設計有針對性的一題多解練習，引導學生從多個不同角度思考問題，激發創新意識，在探索不同解題路徑的過程中進一步夯實“四基”，發展“四能”，切實提升解決問題的能力。開展一題多解“三維聚合”教學，教師應注意以下幾點。

（一）準確把握解題教學的核心目標

強化思維訓練，提高學生深度分析問題的思維能力，是解題教學的核心目標。為此，教師應在解題教學中精心設計問題與教學引導環節，引領學生逐步揭開問題的面紗，發現問題的本質，明確解題的目標，然后引導學生將復雜問題拆解為若干個簡單的子問題，梳理解題的條件并逐一攻克各個子問題，從而在解題實踐中逐步學會構建解題框架，最終形成個性化的思維模型及相關問題的解決策略。

（二）注重解題教學的多元解法展示與思維拓展

在講解題目時，教師應廣泛展示包括常規方法、巧妙方法及創新方法在內的多種解題方法，每種解法均配以詳盡的優缺點分析，助力學生全面理解并選用更適合自己的方法。在夯實基礎知識的同時，鼓勵學生跨越傳統邊界，對不同解法進行批判性思考，不斷拓寬解題思路，發展思維的靈活性與深刻性。

（三）注重學生的解題實踐與解法體驗

理論教學應與實踐應用并行。教師應策劃富有挑戰與趣味性的題目，讓學生在動手操作中親身體驗各種解法的獨特魅力。鼓勵學生自主探索未知領域，勇于提出新的解法并在課堂上分享交流，激發其學習熱情與創新精神。

（四）注重發掘學生的創新潛能

在解題教學中，教師應鼓勵學生勇于突破常規，嘗試新穎獨特的解題思路。為此，教師應努力設計一些開放性的問題，給學生留下自由發揮的時間和空間，培養其獨立思考、創新求變的思維能力，讓學生在不斷探索與嘗試中，成長為能夠靈活應對并解決各種復雜問題的高手。

（五）注重引導學生在交流、對比中持續提升思維水平

在一題多解教學中，教師應注重引導學生進行解題方法的對比與交流活動。通過小組討論、分享解題心得等，讓學生學會全面審視各種解法的優缺點及適用條件，形成更加深刻的理解與認識。這一過程不僅有助于學生掌握更多解題技巧，而且有助于學生在思維碰撞中激發靈感與創意，實現思維水平的持續提升。

總之，一題多解“三維聚合”解題教學從“基礎”“思維”“創新”三個維度對學生進行解題方法和數學思維的分層訓練，可以不斷增強學生的應用意識和創新意識，讓學生在解決問題的過程中全面回顧和總結所學知識，不斷拓寬解題思路和方法，激發創新思維，提高靈活運用數學知識與方法解決實際問題的能力。以核心素養為教學導向，數學教師在學生數學核心素養發展和創新思維培養中扮演著至關重要的角色，應持續探索與實踐一題多解“三維聚合”的教學方法，不斷提升教學技能與專業素養，確保能夠緊跟教育發展的形勢，深刻洞察教育心理學的精髓，從而以高質量的教學，促進學生數學核心素養的發展。

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］孫旭花.數學問題設計的誤區和出路［J］.教育研究與評論，2023（3）：51-56.

［3］李碧.元認知理論在高中數學解題教學的應用［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2021（16）：42-44.

（責編 白聰敏）