試誤法在破解初中數學易錯題中的應用

摘 要：試誤法是一種基于嘗試和糾正錯誤的學習方法，強調通過實踐中的錯誤來促進學生自我反思和主動學習。在初中數學教學中，學生由于知識掌握不牢固、思維不夠嚴謹等原因，常出現解題錯誤。教師應結合試誤法的基本原理及其在初中數學教學中的應用價值，探討試誤法在破解易錯題中概念理解不清、忽視隱含條件、運算不準確、思維定式、考慮不全面等問題時的應用，通過引導學生進行錯誤反思與糾正，培養學生的數學素養。

關鍵詞：初中數學；試誤法；嘗試錯誤；易錯題

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）28-0106-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數學課標》）提出，教學活動應引發學生積極思考，鼓勵學生質疑發難，幫助學生深化對知識點的理解。然而在初中數學教學中，部分教師在易錯題的處理上，往往能夠對易錯題中的知識點及出錯的關鍵節點進行“精準預判”，在學生犯錯前便進行了“及時干預”，從而使學生成功規避了錯誤。教師要求學生將易錯題歸類整理到錯題本上，定期回顧，從而避免再犯類似的錯誤。誠然，這些教學處理短期內也許會立竿見影，能讓學生在解題過程中“一路高歌”。但是，教師不得不去思考一些問題：學生在這樣的“坦途”中難道就不會犯錯了嗎？學生的邏輯思維和問題解決能力能否得到有效的發展？學生在學習中犯錯是客觀存在、任何人都無法避免的一種自然現象，與其聽之任之，不如“為我所用”：教師可有目的地創設一些錯題，讓學生辨識、分析錯誤，提出自己的疑問和不同見解，增強其識錯、析錯能力，從而提高其對錯誤的“免疫力”。試誤法是一種基于嘗試和糾正錯誤的學習方法，強調通過實踐中的錯誤來促進學生自我反思和主動學習。下面，筆者以試誤教學法基本模式為指導，探討試誤法在破解初中數學易錯題中的應用，通過引導學生進行錯誤反思與糾正，加深學生對數學知識的理解與掌握，提高學生的數學素養。

一、試誤法的基本原理及教學模式

筆者提倡的試誤法源于桑代克的試誤學習理論：動物經過多次嘗試與失敗，最終吃到了食物。反觀人類的行為，何嘗不是如此，唯有不斷嘗試才能減少錯誤行為、增加正確行為，最終找到解決問題的辦法。桑代克認為，學生在學習過程中難免會犯錯誤，但這些錯誤并非全然無益，反而可以成為寶貴的學習資源，通過不斷的嘗試與糾正錯誤來推動學習的深入進行。試誤即嘗試錯誤，嘗試的主體是學生。在教學中，教師應鼓勵學生多嘗試，不怕犯錯，在錯中學，減少錯誤的認知，逐漸形成正確的認知。學生利用原有知識經驗，試探性地、反復地去探索新知識、新方法，發現自身的不足，并在此基礎上進行自我反思和修正。嘗試不是盲目的，而是在教師的適當點撥下進行的有針對性的嘗試。因此筆者認為，試誤法是指創設一定的試誤情境，讓學生在大膽嘗試中發現錯誤、分析錯誤和糾正錯誤，從而深刻地理解知識，培養自主學習能力和問題解決能力，是一種能夠促進學生思維發展的教學方法。

試誤法的基本教學模式可以概括為“嘗試—錯誤—反思—糾正”（如圖1）。在試誤教學中，教師根據經驗預判學生易疏忽、易出錯的知識點并將其設計成易錯題。首先，學生進行嘗試性解答，按固有思維模式思考、分析，或許得出錯誤答案。隨后，教師鼓勵學生多次嘗試解答。通過分析、檢查和驗證，一部分學生及時發現了錯誤，而另一部分學生未及時發現錯誤，需經過教師點撥、重新審題后才能發現錯誤。強烈的認知沖突激發學生主動探索的熱情，深入剖析犯錯的原因，經過審視、交流得以修正。最后，學生在總結與反思中，將正確的知識和方法內化，形成經驗與本領，預防今后不再犯類似的錯誤。

二、試誤法在初中數學教學中的應用價值

（一）有利于學生知識的鞏固和理解

知識的記憶與理解是解決問題的前提條件。從小學到初中的學習過程中，學生積累了許多快速記憶數學知識的技巧，但受技巧不適用和概念抽象性的限制，學生對新知識總是記得不夠牢固、理解不夠深刻。數學家波利亞說過：“學習任何知識的最佳途徑是由自己去實踐探究。”在試誤學習中，學生親自去感受知識的重要性，親身經歷知識生成的過程，在教師的點撥下反復嘗試錯誤、反復運用知識，對錯誤知識進行審查、修正，構建合乎自身理解方式的正確認知。此外，學生在分析、糾正錯誤的過程中，還理順了各知識點之間的聯系，頭腦中的知識印象更深刻、邏輯關系更清晰，從而在問題解決中做到了對新知識的長久記憶和深刻理解。

（二）有利于學生防錯能力的提升

學生的失誤或犯錯在所難免。教師應認識到“錯誤”這一資源的教育價值，巧妙利用“錯誤”作為教學素材，開展相應的試誤訓練。學生曾經在某個關鍵節點犯錯，從此就學會了在此處規避錯誤。相應地，學生犯錯次數越多，防錯意識和本領就越強。可見，適度的試誤訓練能有效提高學生對錯誤的“免疫力”。例如，求直角三角形的邊長時，學生看到勾股數就按勾股定理草率處理便容易出錯。若讓學生分析錯誤原因，并以變式題進行反復練習和鞏固，之后學生便會大大減少此類錯誤的發生。

（三）有利于學生邏輯思維的發展

邏輯思維作為數學教學的核心，成為培養數學核心素養的落腳點［1］。邏輯思維能力的發展有賴于學生主動參與學習探究，并進行邏輯推理，而在推理的每個環節中學生難免會犯錯。在初中數學教學中，教師合理運用試誤法訓練學生的邏輯思維能力（如圖2），應貫穿整個邏輯推理過程。學生通過嘗試和糾正錯誤來探索數學問題，在試誤的過程中反復思考、分析、推理，從而深入理解數學概念，發展邏輯思維。

（四）有利于學生批判性思維的發展

教學中，教師常常強調教材知識的重要性，但也要認識到教材知識并不是反映世界的“絕對標準”。教師應耐心傾聽學生的疑問，給予積極的反饋和指導，培養學生的批判性思維。在批判性思維訓練中，教師要鼓勵學生以自身經驗去判斷過程和結論的合理性，在實踐檢驗中積極展示試誤成果并發表獨到的見解，保持批判質疑的態度，逐步排除錯誤，獲得正確結論。試誤法在數學批判性思維訓練流程（如圖3）中起到了核心作用［2］。學生在試誤的過程中，需要對自己的解題思路進行不斷的審視與反思，培養對問題的敏銳洞察力和獨立分析能力，從而形成自己的數學觀點和思維方式。

三、試誤法破解初中數學易錯題的實踐

《2022年版數學課標》提出，教師要引導學生通過邏輯分析和數據加工的方式解答問題，培養學生的數學思維。然而，抽象思維處于萌芽階段的初中生，容易受到感性經驗和形象思維的影響，在解答某些數學題時常出現曲解題意、思維不縝密、書寫不規范、計算失誤等現象，這些容易引發學生答題錯誤的題型通常被稱為易錯題。教師可以采用試誤法來破解初中數學易錯題，從而加深學生對知識或概念的記憶和理解，培養學生的歸納思維、演繹思維和創造思維。

（一）用試誤法幫助學生準確理解數學概念，避免混淆和誤解

李邦河院士認為，數學是應用概念而非技巧。理解數學概念是學好數學的前提，數學概念理解準確與否，直接影響到問題能否成功解決。學生在應用概念求解數學題的過程中，有時對概念的內涵理解不清，如對數與式中的有理數、無理數和實數理解不清；有時對概念理解不透徹，如對統計與概率中的中位數、眾數和平均數理解不透徹；有時會混淆多個相似的概念，如混淆對稱圓中的軸對稱與全等、直線對稱與軸對稱等概念。這些因素往往導致學生出現認識、理解偏差，造成解題出錯。圖4為運用試誤法破解概念理解不清類易錯題的典型案例。

該題型考查學生對相反數概念的認識與理解。學生如果不考慮符號，只從字面上去理解相反數，即只要符號相反便互為相反數，就會與正確答案失之交臂。學生再次嘗試后，發現自身的理解方式與單項選擇的要求不相符。經過反復推敲、檢查，學生糾正了錯誤，最后獲得了經驗：帶多個符號的數還要進一步轉化，“+”號可省略。在此類易錯題中運用試誤法，學生對概念的理解更加透徹，辨別易混概念的能力更強，可養成嚴密的數學思維。

（二）分析題目中隱含的條件，培養學生細心審題的習慣

在數學學習過程中，學生一般需要綜合分析題目中所有已知條件才能解決問題。但有些已知條件卻巧妙地隱藏在題中數學概念或者關鍵詞句的背后，不易被發現。而這些隱含條件往往是解題的突破口，倘若學生忽視它們或者無法挖掘，則失去了解題過程中那把最重要的“鑰匙”，從而無法解題或者得出錯誤的結果。實踐表明，試誤法能較好地解決這類有隱含條件的易錯題。如圖5所示，解決此類題型時，教師要引導學生以一元二次方程這個數學概念為切入點，細致觀察、分析題干，挖掘所有顯性和隱性信息，綜合各個已知條件，再次對錯誤答案進行剖析，結合一元二次方程概念的特定條件進行審視、修正。在破解此類易錯題的過程中，學生能有效地應對信息過載，深入挖掘問題的根源，培養了數學邏輯思維能力。

（三）用試誤法幫助學生提高運算準確性，減少計算錯誤

《2022年版數學課標》重視培養學生的運算能力。學生在初中數學計算類試題出錯的頻率比較高，常常表現為跳躍式做題、運算順序出錯、去括號或去分母漏掉符號、移項不變號等。許多學生單純地將這些表現歸因為粗心大意。其實在這表象的背后，學生存在著對數學概念一知半解、對計算法則理解不準、缺乏簡化運算意識等問題。因此，教師應從這些問題入手尋找錯因并依法突破，圖6為運用試誤法破解此類易錯題的典型案例。

此類題型涉及底數和指數概念，以及負數的乘法法則。學生對底數不明確或計算法則記憶不牢，導致運算不準確而得到不同的錯解。好奇心驅使學生進一步嘗試分析、運算，迅速找到了錯誤之處，及時予以糾正。學生親身實踐而改掉的錯誤，其教育意義遠勝于教師幫助矯正的錯誤。在嘗試分析、運算過程中，學生的數學思維更加縝密，邏輯推理能力、數據處理和運算能力有所提升。

（四）巧用試誤法破解思維定式類易錯題，培養靈活多變的解題思路

思維定式往往會限制學生的解題思路。在解決基礎題或相似題時，學生容易犯“經驗主義”的錯誤。學生習慣按照固有思維模式去思考解決問題的路徑，單純憑借經驗和直覺去處理問題，沒有根據題設條件的改變去聯想相關知識點，不能進行有效的知識遷移及靈活運用，從而產生各種各樣的錯誤。試誤法鼓勵學生勇于嘗試，學會質疑自己的初步判斷，審視自己的解題思路，通過不斷的試錯和反思，打破思維定式，尋找新的解題路徑，從而培養靈活多變的解題思路。圖7為巧用試誤法破解思維定式類易錯題的典型案例。

圖7中的計算題與學生接觸過的題目似曾相識，由于學生在長期的學習中形成了固定的思維模式，便不假思索地套用已掌握的解題技巧。但檢查后學生發現了錯誤所在：1-[15]=[45]≠[15]，[15]-[19]=[445]≠[145]…。學生仔細觀察發現，相減之后每個結果的分子都為4，然后提取出[14]便解決了問題。學生在試誤中意識到，今后應多加強變式訓練，解決問題時決不能受到已有經驗和固有習慣的干擾，在遷移運用的同時還要隨著具體問題情境、條件的變化而隨機應變。教師通過試誤和變式訓練，有效培養了學生的應變性思維和求異創新的發散性思維。

（五）用試誤法助力學生全面考慮問題

觀察每個事物，需要全面、系統地洞察事物的本質。數學問題含有多個已知條件，任何一個條件皆為解決問題的關鍵，遺漏某一條件就可能會因失之毫厘而謬以千里。不少學生由于思維能力不足，缺乏整體意識或者審題粗心大意，往往只關注問題的一部分，片面觀察、考慮不周全而錯失正確答案。試誤法是破解這類易錯題的有效方法，詳見圖8。在試錯的過程中，學生逐漸意識到自己的疏漏之處，學會了從多個角度審視問題，從而養成了全面思考的好習慣。

學生在解答圖8中的題時，只單獨觀察圖形，忽視已知條件就草率下了結論，得到錯誤結果。在知錯環節，學生意識到自身思考問題過于簡單，已知條件都還未用上。經過整體觀察，學生綜合運用所有題設條件和已有認知展開證明，最終正確地解決了問題。試誤法有效地培養了學生的系統性思維和批判性思維，讓學生認識到分析問題時不能帶有主觀偏見，要進行多元思考，學會從多個角度和層面去分析和解決問題。

總而言之，試誤法是一種符合學生認知規律、行之有效的學習方法，能有效破解初中數學典型易錯題，提高解題效率，還能培養學生的數學思維，提升學生的數學素養。在初中數學教學實踐中，教師應為學生創設寬松的試誤環境，保證學生的試誤主體地位，深入剖析易錯題的錯因，靈活運用試誤法，讓學生在知錯、析錯、糾錯和防錯的過程中體驗戰勝挫折、走向成功的快樂。

參考文獻

［1］朱忠明，楊清.中學生數學素養的生成邏輯與培養路徑：以初中“方程”為例［J］.中小學教師培訓，2020（12）：55-58.

［2］張東年，賈隨軍.批判性思維培養的數學教學實踐研究［J］.中小學課堂教學研究，2023（11）：68-72.

（責編 韋榕峰）