數學思想方法在初中數學教學中的應用策略

【摘要】所謂數學思想方法，其實包括兩種情況，其一數學思想，是對數學方法的本質性和知識性的認知，是遵循理性認知規律來認識數學，其二數學方法，是從根本上解決數學問題的具體手段，是針對數學思想的具體操作反映.數學思想是數學學習的精髓所在，學生只有真正領會了數學思想方法，才能高效地把握知識點，應用知識點，提高數學能力.文章以轉化與化歸思想、數形結合思想、分類討論思想、整體思想為例，結合適當的教學案例，論述了數學思想方法在初中數學教學中的應用，旨在使學生能更好地掌握數學知識，實現數學核心素養的發展.

【關鍵詞】數學思想方法；轉化與化歸；數形結合；分類討論；整體

引 言

在教學中如何滲透數學思想方法？這是一個螺旋上升的過程，更是一個長期滲透的過程.教師不但要在日常教學中結合具體的問題慢慢滲透數學思想方法，更重要的是結合實例分析，從簡單向復雜的層次滲入，在學生基本掌握數學思想方法之后再借助強化訓練反復融合，從而達到吃得消、咽得下、消化得了的境況.

一、滲透轉化與化歸思想，提升應變能力

轉化與化歸思想是一種最為基礎的數學思想，也是初中階段學生容易接受的思想方法.熟練把握轉化與化歸思想對提高課堂效率有著非常重要的作用.轉化與化歸思想整體體現為把“不熟悉的知識”轉化為“熟悉的知識”，把“復雜的知識”轉化為“簡單的知識”，故又稱“轉化思想”.

例如，學生在學習華東師大版數學七年級下冊“解二元一次方程組”內容時，通過“消元法”將二元一次方程組轉化為一元一次方程，從而達到將復雜的方程組轉化為單一方程的目的.再如，學生在學習華東師大版八年級下冊“分式方程的解法”時，對于如何突破分式方程的解法問題，教材同樣滲透了轉化與化歸思想，將分式方程轉化為整式方程，學生通過解決整式方程，達到學習分式方程的目的.教材中滲透轉化與化歸思想的內容還有很多，如在學生學習立體圖形的過程中，教材將平面圖形滲透進去，從而達到將立體圖形問題轉化為平面圖形問題的目的，實現平面圖形與立體圖形相互轉化；學生在學習無理方程時可以將其轉化為有理方程來解；學生在面對多邊形問題時可以將其轉化為三角形問題來處理；等等.

此題在原則上已經超出課標要求的內容，但是根據上述提示，學生可以將無理方程轉化為有理方程來解，借助換元法將根號里面的x2+2x用另一符號表示出來，從而將這個方程轉化為一元二次方程，再通過解答一元二次方程完成作答.

二、滲透數形結合思想，提高遷移能力

數形結合思想是初中數學中一種非常重要的數學思想，是將數學中抽象的數學語言、數量關系和具體直觀的圖形相結合，利用抽象思維和形象思維的有機結合，借助圖形來反映數量之間的關系，借助數來描述圖形的本質內涵.這種數學思想十分巧妙地將抽象的數學語言、數量關系和直觀圖像結合在一起，起到了“以形助數”和“以數輔形”的效果，可以幫助學生有效解決許多常見問題.

例如，學生在學習華東師大版七年級上冊“絕對值與相反數”相關內容時，在思考“兩個數比較大小，絕對值大的那個數一定大嗎？”問題時，將5與3、-5與-3進行比較，結合數軸，標記兩個數字的位置，再根據其到原點的距離來比較絕對值，如圖1所示：

教材體現數形結合思想的內容非常多，這種方法在使用過程中能夠很巧妙地使一些學生認為難以入手的問題得到有效解決，特別是在方程與函數之間的關系、幾何圖形最值的判斷過程中，數形結合思想尤為重要.

例2 在某一次綜合性實踐活動過程中，某創意小組中的A同學將大小不一的兩個三角板按照如圖2方式擺放.其中∠ACB和∠DEB的度數都是90°，∠B=30°，BE和AC的長度相等，均記為1.

A同學將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉.在旋轉過程中，如圖3，G為DC的中點，求點G到直線AB的距離的最大值.

解答此題的關鍵是利用數形結合思想.如圖4所示，取BC的中點O，過點O作OK⊥AB于K，借助旋轉，學生可以發現點G的軌跡是以點O為圓心，以固定長為半徑的圓，學生根據已知條件可以求得OB，從而求得OK的長，則點G到直線AB的距離的最大值即圓半徑與OK的和.

三、體會分類討論思想，發展學生思維嚴密性

數學中的每一個結論都是在特定條件下成立的，如兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行，需要在同一平面內才可以.在日常教學中，有些問題的條件不明確，那么結論就不固定，這就需要教師根據具體的要求在不同的條件下去研究分析.這種將所有問題根據具體情境分成多個種類，轉化為多個小問題來分析研究的數學思想，稱為分類討論思想.

教師在研究教材的過程中，可以發現分類討論處處存在，從“認識有理數”開始就出現了明顯的分類要求，即正有理數、負有理數和零三類形式；學生在學習等腰三角形的過程中，如果題目不明確哪條邊為腰，哪條邊為底，就需要根據要求分類研究；學生在學習勾股定理的過程中，若不清楚哪些是直角邊哪些是斜邊，就需要師生之間進一步分類討論；學生在研究函數問題時，k值大于0還是小于0，二次函數的二次項系數大于0還是小于0，都是需要分類討論的問題.

下面是某個同學用函數觀點認識一元二次方程根的情況時的一部分內容的論述：

（2）當a<0時，拋物線開口向下…

顯然，這個同學在論述過程中主要采用了分類討論的思想方法.

在平時的訓練過程中，教師要多滲透分類討論的思想，強化訓練，帶領學生體會其中的奧秘，積極引導學生多角度思考，多方面研究，在日常教學中培養學生的數學思維.

例3 如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，點D為AB的中點，點P在AC上，且CP=1，將CP繞點C在平面內旋轉，點P的對應點為點Q，連接AQ，DQ.當∠ADQ=90°時，求AQ的長.

很明顯，在CP旋轉的過程中，若滿足條件∠ADQ=90°，則點Q的位置會出現兩種情況，這就需要學生進行分類討論.如圖6所示，討論兩種情況：①點Q在CD上，②點Q在DC的延長線上，利用勾股定理分別進行計算.

四、領會整體思想，培養學生格局意識

整體思想就是在遇到問題時根據其具體情境從題的整體出發，突出對該問題的整體結構的分析和改造，發現問題的結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些代數式或其中一部分看成一個單獨的整體，再根據問題之間的關聯，進行有目的、有意識的整體處理.這種思想方法在教材中往往體現得不是很明確，但是教師在進行教學時要考慮到整體思想，如在代數式的化簡與求值時，在解較為復雜的方程（組）時，在判斷一些幾何圖形特征時都會應用整體思想.在運用這種思想的過程中經常要考慮到整體代入、整體設元、整體運算、疊加疊乘處理、幾何中的補形等方法，教師在教學過程中要注意引導學生細致觀察，領會整體思想，具有格局意識.

當然，數學教材中不僅體現了以上幾種思想方法，還有類比思想、優化思想、統計思想，這些都需要教師在日常教學中適時點撥學生，適時滲透，引導學生在各個方面嚴格要求自己，自我提煉，高度概括，培養良好的數學思想意識.

結 語

數學思想方法不僅指數學思想，還包含數學方法.俗話說得好，“授之以魚不如授之以漁”，傳統的知識傳授已經不能滿足教學要求，學生需要掌握汲取知識的本領和手段，教師要能夠積極引導學生挖掘教材中的關鍵素材，配合適當的練習與歸納，使學生將這些數學思想方法熟記于心，熟練于手，這樣他們的數學解題能力一定會有所提高，數學核心素養也會得到提升.

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