基于核心素養的初中生幾何計算能力培養實踐

摘" 要：在學生核心素養的培養要求下，初中幾何教學不能過多偏向理論、定義講解，要以學生的數學思維啟發為重點，結合實際題型培養和增強學生的空間幾何意識和計算能力，讓學生不再畏懼幾何題型，實現知識與能力的有效提升。文章闡釋了初中數學核心素養內涵，分析了初中幾何課程的特點和在初中幾何教學中培養學生計算能力的必要性，并通過引入具體題型進行了培養方法的詳細探討，希望能為其他初中數學教師的教學工作提供一定經驗參考，進一步提升初中數學教學質量。

關鍵詞：初中數學;核心素養;幾何計算能力

一、初中數學學科核心素養的概念

數學教育目標可以分為顯性目標與隱性目標兩大內容，而核心素養屬于隱性目標。數學核心素養主要包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六個方面。新課標明確提出初中生應具備的核心素養包括“抽象能力”“運算能力”“幾何直觀”“推理能力”“模型觀念”等。這就要求初中數學教師應以新課程標準為導向，在初中數學教學中，除了重視學生對數學概念、公式、法則、定理的理解和掌握，更注重啟發學生的數學邏輯思維，培養學生靈活、正確運用數學方法，通過準確計算解答數學題型解決實際問題的能力。

二、初中幾何課程特點及培養學生幾何計算能力的必要性

（一）初中幾何課程的主要特點

1. 抽象性。初中幾何是一門抽象性很強的學科，它涉及形狀、位置、大小和變換等概念，核心在于抽象思維的運用。學生需跨越具象與抽象之間的認知鴻溝，將實際物體的理想化模型與其內在屬性相聯系。例如，理解“點”無大小、“線”無寬度的概念，以及探索多邊形、圓等幾何圖形的性質，都需要學生在腦海中構建清晰的抽象模型，這不僅考驗學生的想象力，還是培養其邏輯思維和問題解決能力的重要途徑。2. 系統性。初中幾何的教學設計強調知識的系統性和連貫性。通過逐步深入講解基本概念、定義、公理，再到復雜的幾何定理和證明方法，教師引導學生構建起一個由簡至繁、層層遞進的知識體系。這種系統性的學習過程不僅幫助學生掌握了豐富的幾何知識，更培養了他們嚴密的邏輯思維和推理能力。在解題過程中，學生學會了如何運用已知信息，通過邏輯推導得出未知結論，這種能力在日后的學術研究和日常生活中都將發揮重要作用。3. 圖像性。幾何學的圖像性特征為學生提供了一個直觀的學習平臺。借助幾何圖形，學生能夠直觀觀察和分析圖形的屬性，如角度、長度、面積等，從而更深入地理解和記憶相關的幾何概念與定理。圖形的直觀展示不僅有助于學生形成清晰的空間概念，還能激發他們的創造力和探索欲，培養敏銳的觀察能力和空間想象力。在解決幾何問題時，圖形的輔助能夠將抽象概念變得具象化，便于學生從多個角度思考問題，找到解決問題的關鍵路徑。

（二）培養學生幾何計算能力的必要性

1. 提高學生空間思維的必要。幾何計算需要學生運用幾何知識和技巧進行推理和計算，培養學生的幾何計算能力可以提升他們解決與形狀、位置、大小和變換有關問題的數學思維。2. 提高學生解決生活實際問題的必要。幾何計算能力對學生的日常生活有實際應用價值。比如，測量房間的面積、計算建筑物的體積等，都需要幾何計算能力。初中幾何教學重視學生幾何思維及計算能力的培養，有助于學生正確理解、闡釋生活實踐中的幾何類現象和問題，并用于實踐。3. 有效助力學生數學知識學習的必要。幾何計算能力是學生學習高中幾何和其他數學分支的基礎，在學生理解和應用更復雜的幾何概念和定理時，能起到重要作用。

三、初中幾何教學中培養學生計算能力的有效方法

為培養學生的幾何思維，提升他們題型解答和計算的能力，在此引入典型例題進行教學方法的探討。例題如下：如圖1所示，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+4經過點A（-3，0）和點B（3，2），與y軸相交于點C，請解決以下問題：

1. 求這條拋物線的表達式;2. 點P是拋物線在第一象限內的一點，聯結AP，如果點C關于直線AP的對稱點D恰好落在x軸上，求直線AP的截距;3. 在第2小題的條件下，如果點E是y軸正半軸上的一點，點F是直線AP上的一點，當△EAO與△EAF全等時，求點E的縱坐標。

圖1" 平面坐標系

本題是初中數學中關于二次函數的典型問題。在此之前，學生已經做了一定量的題目，對概率知識也有了一定的認識和掌握基礎。但是他們缺乏對知識梳理和計算方法的總結，特別是在對題目條件的抽象與運用、解題時，學生應該掌握一般策略。為此，教師需要在教學中引入幾何思維，著重培養學生應用幾何知識進行計算的能力。具體教學實踐方法如下：

（一）引導學生讀圖并回顧知識點

在正式講解本題前，教師可以先讓學生認真讀題審圖，然后結合相關問題來思考。比如，學生讀完題干后，從第1問入手，思考應該如何求二次函數的解析式。通過教師的啟發，學生容易想到，只需要將A（-3，0）、B（3，2）兩點帶入，并求解關于a、b的二元一次方程組，就可以得到這個函數的解析式。在充分肯定學生的基礎上，教師可以繼續提問引導：“本題已經給出了解析式y=ax2+bx+4，所以相對簡單，但如果沒有給出類似的函數解析式，那么又該如何求解呢？”對這個問題，很多學生在解題實踐中存在困難，鑒于此，數學教師需要引導他們深入挖掘題目中的已知條件，應用待定系數法求解函數解析式。教師引導學生認真讀圖審題并回顧二次函數的三種常用解析式，以及求解函數解析式的常用方法——待定系數法，學生會體會到：做題不僅是將這一道題做好、做對，更為重要的是能夠將與本題相關的知識點有機串聯起來，達到以題目復習鞏固已學知識點的目的。

（二）借助畫圖分析，點撥學生幾何解題思路

“畫圖分析”是解決幾何類問題的基本方法，這一點在第3問中直觀體現。通過分析可以發現，第3問的難點完全可以劃歸到第2問來解決，為此，可采用如下教學方式：首先，讓學生結合畫圖進行分析，學生可以從第2問挖掘出對稱這個知識點，進而明白本題的關鍵就是利用對稱知識來求解，由此能夠將已知條件中的基本概念或性質轉化為等量關系或者幾何計算。這樣學生可以得到如下解題思路：首先可以得到直線AP垂直平分CD，進而得到AC=AD。然后在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC=AD，從而得到D的坐標為（2，0）。記CD的中點為M，根據點M為線段CD的中點，給出M點坐標，然后求出直線AP的解析式，最后求出截距。

這里還有一個重要問題：P的坐標怎么來確定？對這個問題，教師在教學過程中，應避免習慣性地直接向學生提供方法，給出最終答案。而是應該將問題留給學生，讓他們去思考和探索。有一些學生能夠想到利用中點坐標的知識，分析得出P的橫縱坐標，分別是C、D兩點橫縱坐標的算術平均值。但是由于教材上并沒有這樣可以直接使用的結論，因此需要教師引導學生結合比例線段等知識繪出坐標點，再進行解答。

（三）歸納相關知識與方法，培養學生多元幾何計算能力

在初中的幾何計算中，教師在要求學生做題時，不僅要就題論題，還要將做題的經驗進行提煉升華——將計算的方法進行歸類、將不同的解法進行對比，從而將初步的感性經驗上升到理性的總結、歸納。這個過程也是鍛煉學生抽象能力的過程，即不斷思考找到問題的本質。為了讓學生熟悉并對比不同的方法，教師可以采用如下方法：

首先，讓學生思考是否可以不用求解函數解析式來解答本題。一些學生能想到使用中垂線和勾股定理求出截距的方法。那么具體應該如何應用呢？教師可以讓學生進行小組探究。多數學生的答案是：從求解點D的坐標入手，假設直線AP與y軸的交點為H，根據中垂線的性質可知HC=HD，這樣HD=4-HO，OD=2。在直角三角形HOD中，利用勾股定理即可求出HO的值。這里通過兩次使用中垂線的性質和勾股定理，避免了比例線段的使用和直線解析式計算，解法更加簡單。中垂線和勾股定理都是學生在八年級下學期學過的幾何知識，通過這一方法的使用，學生會再次意識到勾股定理作為幾何計算的工具，其功能是極其強大的;后面的中垂線和勾股定理，相當于起到了比例線段和函數解析式的求取作用。通過這樣的具體計算，學生能意識到不同運算方法之間的相互替代作用，以及知識之間的聯系。

其次，讓學生采用不同方法求解問題。在教學中，教師引導學生在求出點D的坐標后，使用三角比求出直線AP的截距。具體而言，學生可以先求出∠OCD的正切值，然后倒角得到∠PAD=∠OCD，進而得到∠PAD的正切值，再利用OA的長度求出直線AP的截距。這里，AP是CD的中垂線，x軸與y軸是互相垂直的，對三角形ACD而言，兩條高已經畫出來了。如果將三角比的方法和前面去做一個對比，三角比的方法顯得更加簡潔且計算量更小。當然，這里的三角比也完全可以由一個相似三角形來替代，畢竟三角比就是由相似的直角三角形定義的。事實上，如果學生能夠看到三角形和兩條邊上的高，那么他們就會看到這個圖形有著非常豐富的幾何性質。這對學生的幾何直觀能力培養極其重要。學生在觀察圖形時，要能夠去除一些無關緊要的圖形，留下重要的圖形信息。

為進一步深化學生的解題思維，教師可再次拋出問題：“可以通過不求D點坐標來解決這個問題嗎？”部分學生可以想到，利用對稱得到角平分線，然后利用角平分線的第二定理，即角平分線對邊之比等于兩鄰邊之比。此時提醒學生，角平分線的這條性質并不是定理，在證明或推理的過程中不能直接使用。于是有學生又提出，通過添加平行線，利用8字形來解決;建議直接添加平行線，利用8字形并使用“角平分線上點到角兩邊的距離相等”這條定理。

在課堂上，教師發現，沒有學生使用角平分線結合勾股定理的做法，這一點確實讓人非常詫異，因為這個做法是八年級學生最常使用的方法。由于這一方法和第3問的關系相對密切，所以教師對這個方法進行了講解。課后，對這一點再次進行了反思，學生之所以沒有采用這個辦法，是因為他們的關注點都在整個圖形的右側部分，尤其是點D的坐標。同時學生沒有采用這個方法，也說明他們沒有對整個問題的關鍵點與待求結論進行很好的整合與思考，而是僅根據題目的交代去求相應的點和線段。從此可以看出，數學教師應該鍛煉學生在推理和思考中抽象出條件和問題的本質;在直觀觀察中找出基本的幾何模型，避開讓題目的表面敘述“牽著鼻子走”。

為了引導學生對解題方法進行對比和歸納，教師詢問學生：“知道上述方法的差別嗎？”多數學生表示不太清楚。對一個問題的不同解法進行抽象分類、歸納是一件極其困難的事情。學生對這個問題，一定要有深刻的理解，在此基礎上提出自己的依據，然后進行分類、歸納。從解題的著眼點來看，基本上是從邊和角兩個方面進行入手;從大的方法分類看，教師將之分為解析法和幾何法;從具體計算方法來看，可以把它歸納為等量代換、勾股計算、比例線段、倒角、三角比等。

通過這樣的梳理，學生對幾何計算有了更加清晰的認識，對幾何計算也有了一個整體的方法掌握。

在課堂實踐中，學生的各項能力或者各項核心素養不是孤立的。比如在幾何問題的解決中，都會體現幾何直觀、推理、計算、模型觀念、創新素養等，關鍵問題是數學教師如何對學生的解題方法給予恰當的回應和評價，而學生又是如何從這些回應與評價中理解自己的數學能力。

參考文獻：

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