中職數學抽象素養：內涵、培育與策略

關鍵詞：中職數學；數學抽象；核心素養

核心素養是學科育人價值的體現，是學生通過學習逐步形成的正確價值觀、必備品格和關鍵能力。2020年教育部發布的《中等職業學校數學課程標準》明確提出六大數學學科核心素養，即數學運算、直觀想象、邏輯推理、數學抽象、數據分析和數學建模。數學抽象是數學發展的基本思想，是數學核心素養之一。在中職數學教學中，很多教師對數學抽象的認識不到位，只關注教學結果，忽視完整的抽象過程，導致學生的數學抽象素養不能得到很好的發展。分析中職數學抽象素養的內涵、表現及培養價值，探究以培育學生數學抽象素養為目標的教學策略，提高學生的思維能力，提升數學課程的品質，是中職數學教學要解決的重要問題。

一、中職數學抽象素養的內涵與主要表現

（一）數學抽象的概念及其內涵

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，提出數學研究對象的思維過程。主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念和概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征。

數學抽象通常可分為兩個階段。第一階段，通過對現實世界中數量與數量關系、圖形與圖形關系的抽象，得到數學的基本概念。第二階段，合理解釋第一階段得到的數學概念以及概念之間的關系，并使之符號化、形式化和公理化。

（二）數學抽象素養的主要表現

1．獲得數學概念和規則

數學概念和規則的形成通常須經歷兩種不同層次的抽象過程。一種是從外部事物中抽象出數學的概念。如從勻速直線運動中，抽象出正比例函數的概念。另一種是在數學內部對已有概念進一步抽象的結果。如從滿足共同屬性“對其中一個變量x的每一個值，都有唯一的y與之對應”的兩個變量關系中，進一步抽象出函數的概念。

2．提出數學命題與模型

數學命題與模型不僅是對數學事實的陳述，而且具有一定的工具性，體現數學在生產生活中的廣泛應用。比如，探索三角函數誘導公式的單位圓模型，還可用于理解三角函數的周期性；細菌繁殖速度、銀行復利計息等都與指數函數模型有關。對數學命題與模型的抽象，不僅要關注抽象的結果，更要關注抽象的過程，其中蘊含的數學思想方法對解決問題具有普遍的指導意義。

3．形成數學方法與思想

數學思想是對數學知識、方法、規律的一種本質認識，具有概括性和普遍性的特點，是數學方法的靈魂。數學思想方法的形成源于數學概念、命題、模型的抽象過程，也蘊含在數學問題的解決過程之中。例如，函數單調性的概念形成過程中體現出數形結合的思想，用二分法求方程近似解的過程中蘊藏著函數思想與逼近思想等。數學思想方法不僅是數學抽象的產物，還有助于學生更好地理解數學抽象。

4．認識數學結構和體系

對數學結構和體系的抽象是數學抽象的更高層次水平，它主要表現為：在高觀點下梳理已學知識、系統描述相關知識體系、用核心概念串聯數學知識等。通過對數學結構和體系的抽象，使學生整體把握數學知識發生和發展的脈絡，認識不同領域數學知識之間的內在聯系，感受數學理論體系的完整性和統一性。

二、中職數學抽象素養的培育價值

（一）數學抽象素養的學科價值

數學抽象是理性思維的基礎，是數學的本質特征，貫穿于數學發展的全過程。它高度的概括性、準確性、模型化以及層次性，使得數學成為高精度、廣應用、強結構的學科。在曾經的海灣戰爭中，美國利用Navier-Stokes方程和有熱損失能量方程作為計算模型，估算點燃所有油井的后果。在當今社會，各類疾病模型也為傳染病的預防和控制做出重要的貢獻。由此可見，數學抽象獨特的價值不僅為歷史所證實，也在現代社會發展中持續發揮著作用。

（二）數學抽象素養的育人價值

首先，學生從實際背景中抽象出數學概念、命題與模型等，有助于積累具體的抽象活動經驗。其次，數學抽象有助于學生養成一般性思考問題的習慣，把握數學的本質。例如，利用三角函數能夠合理地描述鐘擺、潮汐等周期性現象。最后，數學抽象的思維方式有助于發展解決問題的能力。比如，面對道路交通中的急剎車問題，抽象出停車距離模型，就行車安全提出建議。因此，培育學生的數學抽象素養，能發展抽象概括能力，提升理性思維水平，形成適應社會發展和個人成長的必備品格和關鍵能力。

三、中職數學抽象素養的培育策略

基于前面的分析框架，以江蘇教育出版社出版的中職教材《數學》內容為例，具體闡述在教學中培育學生的數學抽象素養的四個策略。

（一）從概念教學中經歷數學抽象的思維過程

1．創設問題情境，注重過程引導，促進概念形成

數學家弗賴登塔爾認為，數學教育不能采用向學生硬性嵌入抽象概念的方式進行，良好的情境是數學概念教學的前提。基于學生的認知特點，創設具體的教學情境，激發學生對情境背后知識的探索欲，以問題引導學生參與抽象過程，促進數學概念的生成。

以導數概念教學為例，導數概念是對變速直線運動的瞬時速度高度抽象的結果。首先，教師以奧運會十米跳臺決賽視頻為導入，引發學生對物體運動快慢的討論。然后，教師提出問題：“如何求運動員在t時刻的瞬時速度？”“如何求曲線上某一點處的切線斜率？”“上述兩個例證的共同屬性是什么？”“如何描述導數的概念并用符號表示？”以問題串引導學生從物理、幾何背景中分離出數學屬性，概括兩個不同例證的共同屬性——函數在某一點處的瞬時變化率，從而抽象出導數的形式化定義。

通過情境的創設、問題的驅動，學生參與到辨別、分化、類化、概括、符號化等數學活動中，在多樣化的活動中積累數學抽象的經驗，為數學抽象素養的發展打下堅實的基礎。

2．利用圖形直觀，學會逐級抽象，提煉數學本質

從圖形關系中抽象出數學概念是數學抽象的主要內容之一。“數”與“形”是數學研究的基本對象，利用“形”的直觀，理解“數”的抽象，有助于快速提煉數學本質，提升抽象概括能力。

在函數單調性的教學中，教師利用直觀圖形設置探究活動，讓學生經歷完整的抽象過程。其一，觀察常見初等函數圖像，感受函數圖像的變化規律，從中分化出函數遞增、遞減的屬性；其二，以函數f（x）=x和f（x）=x-為例，描述函數圖像的增減性，抽象出函數的基本性質——單調性；其三，用文字語言概括函數圖像“上升”“下降”的特性；其四，借助函數f（x）=x2的解析式，用符號準確表述‘f（x）隨著x的增大而增大”“f（x）隨著x的增大而減小”，得到增、減函數的形式化定義；其五，通過上述抽象，系統描述函數單調性的一般化定義。

探究活動的環節設置，讓學生參與數學概念的再發現過程，感受數學抽象的層序性。從直觀圖形感知，到自然語言表述，再到形式化表達，逐級抽象出函數單調性的定義，從不同層面培養學生的數學抽象素養。

（二）借助數學實驗拓寬數學抽象的形成途徑

弗賴登塔爾曾提出，在傳統的課唐里，再創造方法不可能得到自由的發展，它要求有個實驗室，學生可以在那兒開展個別活動或是小組活動。數學實驗是為了某種數學理論，檢驗某個數學猜想，解決某類數學問題，實驗者運用一定的物質手段，在數學思維活動的參與下，在特定的實驗環境下進行的探索和研究活動。數學實驗是數學抽象素養落地的重要載體。教師在課堂中合理地植入一些實驗性活動，將抽象的數學結構蘊含在具體化的活動中，通過學生動手、動腦的操作，體會數學創造的樂趣，加深對知識的理解。

例如，對數運算性質教學，傳統教材中僅僅體現數學的結論，強調運算性質的證明，忽視了運算性質的發現過程。教師采用數學實驗的方法，讓學生經歷性質發現的全過程，還原數學創造的本來面目。

實驗：自選M，N的數值，用計算器計算其余各列的值，將相關數據填入下面的數學實驗表。觀察計算結果，提出猜想并證明。

實驗中，學生計算數據、發現規律，用數學語言呈現結論，完成了一次由“數量關系”到“運算公式”的抽象。教學中，教師引導學生對所得結論進行驗證，得出以10為底的對數運算性質。但以10為底的對數運算性質是狹義的，以任意非1正數為底的對數運算性質才具有最大范圍的適用性。這需要教師引導學生進行再創造：“換個底數，結論還成立嗎？”學生通過進一步探究，得到對數運算的一般化性質，實現從特殊到一般的思維發展。在精心設計的實驗教學中，學生感受到數學抽象的逐級遞進，體會數學抽象的高度概括性和結論一般性。

（三）在反思小結階段培養抽象性思考問題的方式

1．掌握概念的多種形式，認識內在結構的統一性

在概念、命題等教學中，教師應時常帶領學生反思，明辨它們的各種形式，發掘其內在關系，提升抽象思維能力。例如，在等差數列定義的教學中，掌握概念的文字形式與符號形式，有助于把握概念的本質和形式化特征；在等差數列通項公式的教學中，掌握概念的原始形式與各種等效形式，有助于認識知識之間的內在聯系；在等差數列的復習課中，掌握概念的肯定形式與否定形式，有助于更深層次地理解知識，培育批判性思維品質。對等差數列和等比數列，教師要引導學生上升到形式和結構方面去思考，從抽象角度看待等差、等比數列在結構上的一致性：兩者的運算是相互對應的，等差數列中的“加、減”運算分別對應等比數列中的“乘、除”運算。在此基礎上，教師進一步提出問題：“等差數列有前n項和的結論，在等比數列中是否有前n項積的結論？”由此將學生的抽象思維水平推向更高層次。

2．立足“高觀點”視角，培養一般性思考問題的習慣

知識小結是教師完成某項教學任務后的收尾階段，是課堂教學的一個重要環節，有助于學生厘清知識結構、掌握內在聯系、完善知識體系。在小結階段，教師應充分發揮主導作用，重組學生腦海中的知識碎片，教會學生從分散中看到整體、從表象中看到實質。如在研究了拋物線后，由拋物線的定義啟發學生聯想“橢圓、雙曲線是否也可以用這種形式進行定義”，因此從更一般角度得出圓錐曲線的統一性定義。又如，在學習了棱柱、棱錐、棱臺后，帶領學生用統一觀點看待三者之間的關系等。通過教師有意識的引導，學生站在更高層級看待知識之間的聯系，潛移默化地培養一般性思考問題的習慣。

（四）通過研究性作業提升在綜合情境中運用數學抽象的能力

數學家波利亞認為，在授予學生一定數量知識的同時，還應教會他們一定的解決問題的能力。不僅解決常規問題，還包括那些要求有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性和創造精神的問題。將研究性問題融入數學作業，讓學生體驗用數學建模方法解決實際問題的過程，體會所學數學知識的應用價值，培養學生用數學知識抽象、概括、解決問題的意識。

例如在結束函數一章的教學后，教師布置研究性作業“怎樣燒開水最省燃氣”。要求學生以小組為單位，探究問題并提出解決方案。在完成研究性作業的過程中，學生需要參與問題轉化、收集數據、數據擬合、建立模型、檢驗結論等探究活動。與被抽象和加工后的練習題相比，研究性作業呈現的是來源于生活實際的數學問題，學生在實際問題的探究中，尋找數量之間的規律和結構，形成數學模型的抽象歸納，體會完整的從具體到抽象的思維過程。通過對探究過程的回顧、整理、概括和提煉，將探究方法從特殊向一般性概括，體現數學抽象由淺人深的層次發展。在此過程中，學生的數學抽象素養和數學建模素養都得到顯著提升。

生活中的許多問題都可以抽象成數學問題，利用已學的知識來解決。比如，在學習數列之后，提出購房分期付款問題；在學習不等式后，要求學生利用均值不等式求最值等，這些都是研究性作業的來源，也是訓練學生在綜合情境中運用數學抽象的良好時機。

綜上所述，數學抽象需要經歷一系列的探究過程，展開一定的數學思維，才能達到一定的抽象高度。在中職數學教學中，結合課程標準的要求和學生的實際學情，借助問題情境、圖形直觀等經歷抽象的思維過程，從數學實驗中積累抽象活動的經驗，在反思總結中養成一般性思考問題的習慣，在綜合情境中培養運用數學抽象的能力，都是培育學生數學抽象的有效途徑。當然，數學抽象本質上是一種素養，需要長期養成。教師應將培育學生的數學抽象素養作為一項長期的教學目標，貫穿于數學教學的全過程，從課內到課外，從教學到考試，都要涉及數學抽象素養的相關內容，逐步提升學生的抽象素養水平，為中職生的可持續發展提供素養保障。