作輔助圓證明勾股定理

摘要：勾股定理是幾何學里的一個重要定理，教材中是利用面積法證明的.文章另辟蹊徑，通過構造輔助圓運用圓或相似的知識證明勾股定理，進一步發展學生的探究意識與創新精神，培養學生的數學核心素養.

關鍵詞：勾股定理；新證法；創新意識

勾股定理是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，因它的簡潔與實用價值備受人們的青睞，千百年來，人們對它的證明鍥而不舍，生生不息.勾股定理是人教版教學教材八年級下冊的學習內容，課本第24頁介紹了趙爽的“出入相補法”，在第30頁的“閱讀與思考”中介紹了“畢達哥拉斯的證法”“弦圖的另一種證法”“加菲爾德的證法”，以上四種方法都是運用面積結合代數知識進行證明.到了九年級，學生學習了圓，用圓的知識又可以如何證明勾股定理呢？

命題在△ABC中，∠C＝90°，若BC＝a，AC＝b，AB＝c.求證：a2＋b2＝c2.

分析一：由勾股定理結論的平方和的形式變形成平方差的形式，這樣等式的一邊是一條線段的平方，另一邊是兩條線段的和與差的積.圓的半徑相等，圓中一些線段可以通過半徑代換成與某些線段的和或差，而圓的相交弦定理或切割線定理正好符合這一特征.因此，構造輔助圓，把直角三角形的邊看成相交弦或切割線所在線段的一部分，便可證明.

證法一：利用相交弦定理.

如圖1，以點B為圓心，AB的長為半徑作⊙B，交直線BC于點E，F，交AC的延長線于點G.

由垂徑定理，知AC＝CG＝b.

由半徑，知AB＝BE＝BF＝c，所以EC＝BE＋BC＝c＋a，CF＝BF－BC＝c－a.

由相交弦定理，得AC·CG＝EC·CF.

所以b2＝（c＋a）（c－a），即a2＋b2＝c2.

證法二：利用切割線定理.

如圖2，以點B為圓心，BC的長為半徑作⊙B，分別交直線AB于點E，F.由半徑，知AE＝AB－BE＝c－a，AF＝AB＋BF＝c＋a.又BC為半徑，∠C＝90°，則AC是⊙B的切線.

由切割線定理，可得AC2＝AE·AF，所以b2＝（c－a）（c＋a），化簡得a2＋b2＝c2.

分析二：一些平常結論的使用，可使證明過程更簡潔易懂.

先讓我們認識一下與三角形內切圓半徑有關的兩個結論.

結論1：S△＝12lr（l為三角形的周長，r為三角形的內切圓半徑）.

簡證：如圖3，△ABC內切圓為⊙O，切點為H，M，N，連接圓心與各切點，連接圓心與△ABC各頂點.設半徑為r，△ABC周長為l.由切線性質知OH＝ON＝OM＝r，所以S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝12AB·OH＋12BC·ON＋12AC·OM＝12r（AB＋BC＋CA）＝12lr，即任意三角形的面積S＝12lr.

結論2：r＝a+b－c2（r為直角三角形的內切圓半徑，a，b為直角三角形兩直角邊，c為斜邊）.

簡證：如圖4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O為△ABC的內切圓，切點為D，E，F.設半徑為r，斜邊為c，連接OD，OE，OF，則OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.又OD＝OE＝r，所以四邊形CDOE為正方形.由切線長定理，知AF＝AD＝AC－CD＝b－r，BF＝BE＝BC－CE＝a－r.又AF＋BF＝AB，即（b－r）＋（a－r）＝c，所以r＝12（a＋b－c）.

這兩個結論都與三角形的內切圓半徑有一定關聯，利用它們構成一個比例式，其等積式出現平方差的形式，化簡即可證之.

證法三：作內切圓.

由結論2知，Rt△ABC內切圓半徑

r＝12（a＋b－c）.①

由結論1，結合S△ABC＝12ab，得12（a＋b＋c）r＝12ab，即

r＝aba+b+c.②

由①②，得a+b－c2＝aba+b+c.

化簡得（a＋b）2－c2＝2ab，所以a2＋b2＝c2.

分析三：圓內接四邊形有一個重要定理——托勒密定理，即圓的內接凸四邊形兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.

已知四邊形ABCD內接于⊙O，對角線相交于點Q，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD.

證明：如圖5，在DQ上找一點E，使∠DCE＝∠QCB，又∠CAB＝∠BDC，所以△ABC∽△DEC.

于是ABDE＝ACCD，則

AB·CD＝AC·DE.

由∠BCE＝∠ACD，∠DAC＝∠DBC，可知△ACD∽△BCE，

則ADBE＝ACBC，所以

AD·BC＝AC·BE.

所以AB·CD＋AD·BC＝AC·DE＋AC·BE=AC·（DE+BE）=AC·BD.

故AB·CD＋AD·BC＝AC·BD.

有了上面的定理，再利用直角三角形的外接圓構造矩形，并運用矩形性質及托勒密定理即可求證.

證法四：利用托勒密定理.

如圖6，以AB為直徑作⊙O，過點A，B分別作BC，AC的平行線，交于點D.

由直徑所對的圓周角是90°知∠D＝90°，則四邊形ACBD是矩形，且內接于⊙O.

由托勒密定理，知BD·AC＋AD·BC＝CD·AB.又BD＝AC＝b，AD＝BC＝a，CD＝AB＝c，所以a2＋b2＝c2.

分析四：受“證法一”的啟示，將“圖1”中CG去掉，連接AE，AF，由直徑所對的圓周角是90°，出現“雙垂直”結構圖，產生相似三角形，并用相似性質證明.同樣借用“圖1”，直接畫Rt△ABC的外接圓，再使用相似證之.

證法五：構造圓運用相似三角形.

如圖7，以點B為圓心，BA為半徑作⊙B，雙向延長BC交⊙B于點E，F，連接AE，AF.

由EF為⊙B直徑知∠EAF＝90°，又AC⊥EF，則∠CAF＝∠E，∠ACE＝∠ACF＝90°，可證△ACE∽△FCA，則ACCF＝CECA，即AC2＝CE·CF，又CF＝BF－BC＝c－a，CE＝CB＋BE＝a＋c，AC＝b，所以b2＝（c－a）（c＋a），即a2＋b2＝c2.

證法六：外接圓＋面積比.

如圖8，以AB為直徑作圓，過點C作CH⊥AB，垂足為點H，易證△ACH∽△ABC，△BCH∽△BAC.

由相似三角形的面積比等于相似比的平方，得

S△ACHS△ABC＝AC2AB2，S△BCHS△ABC＝BC2AB2.

兩式相加，得

AC2AB2＋BC2AB2＝S△ACH+S△BCHS△ABC＝1.

所以AC2+BC2AB2＝1，即b2+a2c2＝1.

故a2＋b2＝c2.

同樣，借助“證法六”的圖形及輔助線運用“射影定理”，也可證明.

證法七：射影定理.

如圖8，過點C作CH⊥AB于點H，易證∠BCH＝∠A，∠CBH＝∠ABC，所以△BCH∽△BAC.

由相似比得BCAB＝BHBC，即BC2＝BH·AB（此結論即為射影定理），同理AC2＝AH·AB.

所以BC2＋AC2＝BH·AB＋AH·AB＝AB[J]5（BH＋AH）＝AB2，即a2＋b2＝c2.

勾股定理的圖形及結構簡潔優美，溝通了代數與幾何兩個領域，被廣泛用于生活與學習當中，人們對它的探究永無止境，對勾股定理的探究常探常新，永不過時.