構造基本圖形 凸顯幾何直觀

［ 摘 要 ］幾何圖形的變化往往能夠揭示數學的本質，讓學生體會到數學的魅力．研究者以一節“正方形的截線段變化”的探究課設計為例，通過構造基本圖形，讓學生形成解題思路，產生幾何聯想，積累解題經驗，培養幾何直觀，提升核心素養．

［ 關鍵詞 ］課堂教學；基本圖形；幾何直觀；核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中指出，數學是研究數量關系和空間形式的科學，基本圖形作為空間形式的重要組成部分，對于培養學生的幾何直觀能力和空間想象能力具有重要意義．而構造，則是指通過觀察、分析圖形，發現圖形之間的內在聯系，進而借助添加輔助線等方式，將復雜的圖形轉化為基本圖形，例如構造“8字型”“斜A型”“母子型”相似等，以便更好地解決問題．

通過構造基本圖形，首先可以將復雜的圖形轉化為簡單的圖形，從而降低問題的難度；其次，基本圖形具有許多獨特的性質，利用這些性質可以簡化問題的解決過程；最后，構造基本圖形可以提高學生的幾何直觀能力和空間想象能力，為學生后續的學習打下堅實的基礎．

教材分析

本節課之前，教材已經安排了相似三角形的學習，為本節課的學習提供了充分條件．而在學習了相似三角形以后，題目中往往比較多地出現了有關于兩條線段相截求其中一條被截線段一部分長度的題目，或是求被截線段兩部分比例問題．這在教材當中也有所體現，如浙教版九年級數學上冊第142頁中作業題的第4題與第5題．基于此，筆者就以基本圖形的變換為線索設計了這節課．

學情分析

在此之前學生學習了相似三角形，對于相似三角形的幾種基本模型比較熟悉，這節課的前幾小題比較簡單，學生通過少量時間的思考便可解答．主要難點在最后一次翻折變形，也就是軸對稱變形，學生需要通過之前總結的經驗來構造輔助線．教師在學生做題時應稍加引導．

基于教學過程的數學問題解答與分析

1.展示基本圖形，引入課題如 圖 1， 在 正 方 形 ABCD 中 ，AD = 6，點E與點F分別為DC與BC的動點，連結AE，DF交于點G．

（1） 當E，F分別為DC，BC的中點時，求證：AE ⊥ DF，并求出AG的值．

師生活動 教師出示此題，讓學生在導學單上作答，教師巡視指導．解答完成后讓學生回答此題的解法，教師從中提取關鍵解法進行板書．

生1：可以利用△ADE △DCF求得角之間的關系，再利用互余證出垂直關系，接下來利用Rt△ADE中的一個“母子型”相似來求得AG．

生 2：在 AE ⊥ DF 已證的前提下，可以先用面積法求出DG，再用勾股定理求出AG ．

生 3：可以建立平面直角坐標系，以D為原點，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸建立平面直角坐標系，從而求出各點坐標來求解．

教師：老師說一種方法，將AE與BC延長相較于點H，能不能用這種方法求出AG呢？

生 （眾）：可以利用“8 字型”相似來求解．

教師從中提取解決截線段求解的幾種方案：相似、三角函數、勾股定理、建系，并提出其中的局限性．相似往往比較難找，但是恰恰是解決這類問題比較常見的方法，特別是在矩形這類圖形中構造“8字型”相似比較常見，因為“8 字型”可以將斜的線段關系轉換到矩形的邊所在的直線上．而勾股定理的局限性在于必須構造出直角三角形才能解決問題．而建系則對圖形整體要求比較高，在整體是矩形或是直角三角形的圖形中比較常見，而這題也剛好符合建系的標準．

教學分析 此題的圖形出自勾股圖的一部分，在學生學習全等與正方形之后常有出現，主要難點在于利用互余證明角相等．學生學習了相似以后也可以利用相似更好地解決問題，這體現了舊題新解的思想．借助此題，讓學生回想之前學過的方法，以起到一個復習的作用．同時，也讓學生對截線段這類題型的解法有一個歸納，在之后的解題中有路可走，而不是一路抓瞎．在基礎問題得到解決后，教師進一步深化問題并進行拓展．通過改變題目的條件和要求，讓學生更加靈活地運用所學知識解決問題．

2.稍加改變，鞏固解法

在上述例題題干的基礎上，筆者稍加改變形成之后的題目：

（2） 如圖 2，當 E與 C重合，F仍然為BC中點時，求AG的值．

（3）如果E仍然與C重合，而F是 BC 上的任意一點，設 FC = m，你能用m的代數式表示出AG嗎？師生活動 教師出示此題，先讓學生在導學單上作答，教師巡視指導，然后由學生給出解題過程．

此題相對比較簡單，學生利用不多的 時 間 便 可 解 出 ， 有 的 利 用 了△ADG與△GFC構成的“8字型”相似進行解答，也有的通過建系進行解答．因為AG本身沒有在直角三角形中，所以沒有學生通過構造直角三角形利用勾股定理進行解答．

教學分析：此題對上題當中的基本圖形進行了一個簡單的變形，難度不大，主要目的是讓學生對之前的解法進行一個簡單的運用，起到一個鞏固的作用．

3.加深難度，靈活運用

如圖3，（4）在（2）的條件下，將△DCF沿DF翻折，使C落在C'上，DC'交AC于點H，求AH的值．

師生活動 教師出示此題，讓學生在導學單上作答，教師巡視指導，解答完后讓學生回答此題解法．此題難度較大，需要學生有一定時間的思考，對之前總結的方法有一個深入的認識，下面是學生所提出的解法．

生 4：連結 C'G，如圖 4，證明△ AHD △ C'HG， 從 而 得 到 AH ∶C'H = AD ∶ C'G = AD ∶ CG．根據前面的結論可以求得CG，從而得到之前比例式的值，然后設 AH = x，將DH，HG，C'H 這些線段表示出來，通過列方程解出AH．

生 5：想到構造“8 字型”，如圖 5，延長 DC'交 CB 的延長線于點M，C'M 與 AB 交于點 N，從而構造出△AHD △CHM的“8字型”相似模型，得到AH ∶ CH = AD ∶ MC，將問題的求解關鍵轉換到 MC 這條線段上．這里還注意到有一個“斜 A型”的相似即△MC'F △MCD，從而可以得到MF ∶ MD = C'F ∶ CD.只要設MB = x，根據之前的比例式即可列出方程求解．

生 6：想到利用直角 C'來構造一個“一線三直角”模型，如圖6，過點 C'作 AB 的平行線交 AC，AD，BC 于點 Q，M，N，得到△DC'M△C'FN，從而得到DM ∶ C'N = C'M ∶NF = C'D ∶ C'F = CD ∶ CF． 設AM = x，表示出 DM 與 NF，通過之前的比例式即可表示出C'M與C'N，再根據 C'M + C'N = DC即可列出方程求解．求出 AM 后，AQ 與 C'Q 也就已知，然后利用△QHC' △CHD這一對“8 字型”相似模型即可求得QH，與AQ相加得出AH．

教學分析 此題體現了圖形的軸對稱變換，在基本圖形上進行軸對稱變換也是很常用的題目形成方法．對于做了之前題目的學生馬上能夠思考到這個圖形當中CG，AG，DG可求，生4想到的是直接構造涉及AH的相似模型；生5想到的是在矩形當中比較常用的求截線段長度的方法，即構造“8字型”的相似模型來將斜線段比例轉化為鉛垂或水平線段的比例；生6則是根據一個直角想到可以構造“一線三直角”模型來幫助解題，這里雖然將AH分割了，但分割的兩部分都在比較特殊的圖形當中，也是比較不錯的解法．

4.總結反思，課堂小結

教學內容 對本節課所學的知識進行小結．

師生活動 教師提出在這節課中有何收獲，學生主要就如何解決截線段長度問題進行總結，主要集中在構造與截線段有關的相似模型．教學分析 這節課主要從基本圖形出發，層層深入變換，幫助學生熟練運用相似等方法來解決截線段長度問題．同時，也讓學生對之前學過的方法進行復習和歸納，為以后求解類似問題提供思路和方法．教學反思

在幾何教學中，教師對一些重要的概念和能力的培養要有一定的認識．

首先，對于基本圖形與變換的重要性，有更深的理解．基本圖形中往往有著明確的基本量，而當其進行變換時，可以從基本量中找出變換后圖形中的量改變與否．例如，在正方形中通過截取線段，可以利用相似來將斜的線段比例進行等比轉換，從而增加條件的獲取．

其次，明確推理能力在幾何教學中的重要性．在解決幾何問題時，學生需要根據條件判斷哪些量是確定的，哪些量是可以改變的．基本圖形中往往有一些明確的基本結論，學生如果能從復雜的幾何題中提取或構造出一些基礎圖形，將會更快地找到解題方法．

此外，教師要意識到在教學中注重培養學生的幾何直觀能力．學生自身需要意識到圖形的變化，同時在日常教學中教師也要不斷引導學生認識圖形的變化．這種能力的獲得并非一蹴而就，需要通過長時間的引導和訓練．因此，在教學中教師應盡量引導學生去主動觀察和思考，以提高他們的空間觀念和幾何直觀能力．

最后，認識到模型觀念在數學教學中的重要性．學生在解題中往往會遇到條件缺失的情況，對此，教師首先要讓學生認識到初中數學問題都是萬變不離其宗的，其次要鼓勵學生利用已學的基本圖形和基本結論來解決新問題，從而提高學生的應用意識和創新意識．

綜上所述，在未來的教學中，教師需要更加注重培養學生的推理能力、幾何直觀能力和模型觀念，以提高他們的數學思維和解決問題的能力．同時，教師也需要不斷反思自己的教學策略，以便更好地指導學生進步．