巧用二次函數(shù)，突破數(shù)列最值問(wèn)題

顧寧 王永生

摘要：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).數(shù)列最值問(wèn)題是各類(lèi)測(cè)試的常考點(diǎn).求數(shù)列最值的方法因題而異，其中二次函數(shù)法是求解數(shù)列最值問(wèn)題的常用方法.為提高數(shù)列最值問(wèn)題求解效率，應(yīng)提高二次函數(shù)應(yīng)用意識(shí)，借助二次函數(shù)性質(zhì)、圖象特點(diǎn)，順利尋找到解題切入點(diǎn).

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；數(shù)列；最值問(wèn)題；突破

眾所周知，數(shù)列是一種特殊的函數(shù).這一特點(diǎn)為使用函數(shù)知識(shí)解決數(shù)列問(wèn)題提供了可行的依據(jù).在高中階段，數(shù)列問(wèn)題的解決中或多或少應(yīng)用到了函數(shù)知識(shí)，尤其在解決數(shù)列最值問(wèn)題時(shí)，注重二次函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，可獲得事半功倍的解題效果.

1 求數(shù)列項(xiàng)的最值

A.a7

B.a8

C.a6或a9

D.a10

由于n∈N*，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，可知f（n）的最大值在對(duì)稱(chēng)軸或其左右取得.

最大項(xiàng)為a6或a9.

故選答案：C.

點(diǎn)評(píng)：該題難點(diǎn)在于通過(guò)累乘求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式［1］.同時(shí)，要能從二次函數(shù)視角切入，通過(guò)分類(lèi)討論得出最值.

2 求代數(shù)式的最值

例2 已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，其中a1>0，公差d<0，若對(duì)任意的n∈N*，總存在k∈N*，使得S2k-1=（2k-1）Sn，則k-9n的最小值為（）.

A.-74

B.-64

C.-53

D.-43

分析：結(jié)合“S2k-1=（2k-1）Sn”以及等差數(shù)列性質(zhì)構(gòu)建ak和Sn的關(guān)系式，由已知條件通過(guò)推理得出的d和a1的關(guān)系，利用等量代換將要求解的代數(shù)式的值轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù)，進(jìn)而求解.

故選答案：C.

點(diǎn)評(píng)：該題難度較大，解題的關(guān)鍵在于從已知條件入手，通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评淼贸鱿嚓P(guān)參數(shù)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，將代數(shù)式的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題［2］.

3 求參數(shù)的最值

分析：運(yùn)用數(shù)列的第n項(xiàng)和前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系，并結(jié)合奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)推理出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式以及Sn的表達(dá)式，構(gòu)建n和m的關(guān)系，借助關(guān)于n的二次函數(shù)求出m的最大值.

解：由anan+1=2Sn，得an+1an+2=2Sn+1，an≠0.兩式相減得an+1an+2-anan+1=2Sn+1-2Sn，即an+1＼5（an+2-an）=2an+1.又an+1≠0，所以an+2-an=2.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由a1=1，得a3=3，a5=5，……，a2k-1=2k-1.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由a1=1，anan+1=2Sn，得a2=2，a4=4，……，a2k=2k.

當(dāng)n∈N*時(shí)，f（n）單調(diào)遞增，則f（n）的最小值為f（1）=2，故m的最大值為2.

4 求前n項(xiàng)和Sn的最值

例4 已知數(shù)列{an}中，a1=-23，an+1+an=2n-44（n∈N*）.

（1）求an；

（2）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值.

分析：運(yùn)用已知條件分別推理出數(shù)列{an}奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，結(jié)合二次函數(shù)不難求出Sn的最小值［3］.

解：（1）根據(jù)題意，有

②-①，得an+2-an=2.

又由a2+a1=2-44，a1=-23，得a2=-19；同理可得a3=-21，a4=-17.

所以a1，a3，a5，……，是以a1=-23為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列；a2，a4，a6，……，是以a2=-19為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列.

（2）由（1）可知，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

綜上，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn取得最小值-243；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn取得最小值-242.

點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)需充分理解題意，正確運(yùn)用題目給出的已知條件，從數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)入手進(jìn)行分類(lèi)討論，得出對(duì)應(yīng)的an，Sn，然后運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求出最終結(jié)果.

綜上所述，運(yùn)用二次函數(shù)求解數(shù)列最值問(wèn)題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用數(shù)列知識(shí)進(jìn)行正確的推理、巧妙的轉(zhuǎn)化，化難為易，通過(guò)整理向二次函數(shù)靠攏.

參考文獻(xiàn)：

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[2]武笎.談數(shù)列問(wèn)題中求最值項(xiàng)的常用策略[J].數(shù)學(xué)之友，2023（1）：54-56.

[3]孟金梅.等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問(wèn)題的解法分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（1）：93-94.