教學案例：“蘇科版八年級數學 4.1平方根（1）”

鄭駿

摘 要：本文基于校本課堂模式研究，結合初中數學教學案例：“蘇科版八年級數學 4.1平方根（1）”，針對課堂的三個關鍵環節，確定目標、達成目標、反饋補償開展了嘗試探索，從而提升課堂教學效能，進一步發展學生核心素養.

關鍵詞：校本課堂模式研究；核心素養；初中數學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“學生通過學習義務教育數學課程，掌握適應現代生活及進一步學習必備的基礎知識和基本技能、基本思想和基本活動經驗；激發學習數學的興趣，養成獨立思考的習慣和合作交流的意愿；發展實踐能力和創新精神，形成核心素養.”［1］筆者以“蘇科版八年級數學 4.1平方根（1）”為例開展校本課堂模式研究.

1 深度備課，細化目標——精確目標

細化教學目標的過程既是對整節課的設計、定位的過程，也是確定教學重、難點的過程.

蘇教版八年級上4.1平方根（1）教學參考書上給出的目標為：1. 了解平方根的概念，會用根號表示數的平方根；2. 了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些數的平方根.

首先教學參考書給出的教學目標是合理，教師要利用這個教學目標設計本節課的教學流程及框架：平方根概念——根號（符號）的教學——通過例題求某些數的平方根.從教師的角度，平方根的概念是非常的簡單，但是因為這里涉及逆運算的過程，所以對于學生而言是非常抽象的.接下來就是如何突破這個難點.既然平方根的概念是難點，那么就可以對照平方根的概念x2＝a進行思考，因此選定二次方程作為載體進行概念辨析.

經過這樣的思考后，最后定下本課的教學目標：1. 了解平方根的概念，會用根號表示數的平方根；2. 了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些數的平方根；3. 會利用平方根的意義解簡單的二次方程；4. 讓學生積極參與數學活動，培養其對數學的好奇心與求知欲.

精確目標其實就是厘清本節課“講什么？”的過程，其核心就是在于深度備課，只有教師對知識的來龍去脈了然于胸，才能準確地設計課堂內容.

2 增加預設，精準提問——精煉過程

2.1 創設情境，引入新課

情境：設圖中的小方格的邊長為1，你能分別說出圖中2個三角形的斜邊AB，A′B′的長嗎？

可以作為創設情境載體的內容有很多，例如：一間面積為15m2的正方形房間，它的邊長是多少？剪4個直角邊長為10cm的等腰直角三角形，把它們拼成一個正方形，這個正方形的邊長是多少……最終選用勾股定理的簡單應用作為載體的原因，一方面是從數學知識上它是連貫的，另一方面也是符合學生的認知需要的.

2.2 合作質疑，探索新知

活動一：研究：當x2＝a時，x是什么數？使x2＝a（a＞0）成立的數有兩個，它們互為相反數.板書：平方根概念；±a；5的平方根表示方法±5.

在勾股定理引入后，用“研究：當x2＝a，x是什么數？”作為過渡，并且提問讓學生自己再舉出一個例子，即體現數形結合，又可以幫助學生形成直觀感受，為揭示抽象的平方根概念做好具體數值的準備，這也是突破難點的方式之一.同時給出“±a”的表示方法以及解決創設情境中A′B′的長為5，進一步幫助學生理解平方根以及相關概念.

為了總結出正數、0、負數的平方根的情況，教材采用了如下的方式：下列各數有平方根嗎？如果有，請寫出來；如果沒有，請說明理由.

9，5，925，0，-49，-8，-36.

這樣的優點在于可以進一步理解平方根的概念，不足之處在于沒有為后面講解開平方也是一種運算，以及開平方運算與平方運算互逆起到鋪墊作用.對比后最終選定下面的呈現方式.當學生正確填空后，教師用提問“9的平方根是什么……”的方式也可以達到教材呈現方式的效果.

活動二：交流：在各括號中能填寫適當的數使等式成立嗎？如果能，請填寫；如果不能，請說明理由，并與同學交流.

（? ）2＝9，（? ）2＝5，（? ）2＝925，

（? ）2＝0，（? ）2＝-49，（? ）2＝-36.

板書：總結：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根.求一個數的平方根的運算叫做開平方.

活動三：判斷下列說法是否正確：（1） -5是25的平方根；（2） 25的平方根是-5；（3） 0的平方根是0；（4） 1的平方根是1；（5） （-3）2的平方根是-3.

設計意圖：由于學生過去遇到的運算結果通常是唯一的，因此讓學生理解一個正數開平方有兩個結果可能會有一定的困難，根據學生的實際情況補充了活動三的有關平方根概念的辨析.

2.3 典型例題，形成方法

例1 求下列各數的平方根：（精確目標1、2）

（1） 25；（2） 1681；（3） 15；（4） 0.09；（5）? （-5）2；（6） 0.1-8.

例題1在格式方面有兩種呈現形式：

形式1：因為（±5）2＝25，所以25的平方根是±5；

形式2：25的平方根是±25，即±5；

形式1強調的是通過平方運算求平方根，形式2重點在應用平方根的概念.從突破難點的角度，最終選定形式2.選定形式2不是結束，在求1681和15平方根的時候，教師通過提問“什么數的平方等于1681”和“±15是具體存在的數嗎”來強調平方、開平方是兩種互逆運算.根據學情，補充求（-5）2和0.1-8的平方根的例題，體現開平方運算與其他運算的混合計算，提高學生的綜合計算能力.

例2 求下列各式中x的值：（精確目標3）

（1） x2＝16；（2） 2x2＝8；（3） 4x2-81＝0；

（4）? （x-1）2＝9.

例3 已知3a-22和2a-3是正數m的兩個平方根，求m的值.（精確目標2）

補充例題2和例題3是為了學生能進一步理解平方根的概念，理解開平方與平方是互逆運算.因此不是從方程角度提問，而是應當對照板書上平方根的概念，引導學生從這個角度認識，也為今后解一元二次方程提供依據.

精煉過程其實就是厘清本節課“怎么講？”的過程.其核心在于掌握學情，理解教學內容，最終將這兩者連接起來，達成教學目標.

3 鞏固延伸 精準反饋

3.1 鞏固練習，互動展示

練習填空

（1）? 5的平方根是_____________；

（2）? 0.04的平方根是_____________；

（3）? 62536的平方根是_____________；

（4）? x2＝121 ，則x的值是_____________；

（5） 若代數式81y-1的平方根只有一個，則y的平方根是_____________.

為了便于控制時間，在糾錯過程中，抓住學生的普遍問題以及與本節課密切聯系的問題.例如：x2＝121，學生解答為x＝11.這個錯誤的原因是沒有理解“一個正數有兩個平方根”，這個就必須重點糾錯；而62536的平方根什么？是因為學生忘記625是哪個整數平方，由于時間關系，糾正即可.

3.2 發展能力，拓展延伸

已知2x-1的平方根為±3，3x+y-1的平方根為±4，求x+2y的平方根.

前面的內容是已知一個非負數求這個數的平方根，本題則是已知一個非負數的平方根求這個非負數.其目標本質還是要了解開平方運算與平方運算互逆.

課堂教學中設計針對性很強的鞏固練習和拓展題，可以幫助教師精準發現學生學習過程中的問題.課堂上教師要關注每一個學生的課堂反饋情況，及時進行教學活動的二次矯正，并對后續教學提供針對性的強化訓練.

精準反饋設計在課前，實施在課內，延伸在課后.數學課堂中留足學生反饋時間，通過課堂反饋，教師要及時進行教學活動的二次矯正，并對后續教學提供針對性的強化訓練.同時通過教師之間的交流很好地掌握學生作業中的共性問題，并對學生共性問題進行二次強調和強化矯正.課內的及時反饋和補償，可以使延伸的作業成為學生對課堂所學的正確認知的進一步鞏固、深化和拓展.

4 課堂小結

感悟收獲：（1） 平方根的概念及表示方法；（2） 求非負數的平方根；（3） 開平方運算與平方運算互逆.

教師根據課堂需要，既可以使學生對已學知識和方法進行歸納整理，又可以拓展思維，將課堂延續到課外.建立學生課堂思維導圖，回顧課堂基礎知識、基本技能，也是精確目標達成情況的再呈現，是學生對課堂學習再認識、再總結、再升華.

通過本節課的授課，反思總結如下：教學目標的制定尤其重要，可以從以下4個維度去控制.

4.1 具體

結合課標、教材的要求，實施目標分解，精確分解到每一個課時具體可落實的目標.對比蘇科版和人教版教材，深度整合教材內容（添加、改編、合并、刪減），使目標達成過程最優化（新知教學過程簡潔不繁復、例題難度適中與知識技能聯系緊密、拓展難度適當不過分、練習能鞏固教學內容體現教學重難點）.

4.2 可測

數學課程目標包括結果目標和過程目標.結果目標準確使用“了解、理解、掌握、運用”等術語表述，過程目標準確使用“經歷、體驗、探索”等術語表述，使目標可測.

4.3 分層

制定目標需要體現一定的“分層”“滿足不同學生發展需要”等要求.具體做法為在課堂設計中增加有一定難度的問題，對成績較好學生的要求和成績較低學生的要求可以不一致.

4.4 激勵

要求目標中要有“激勵有效”的成分，讓每一個學生“產生的積極的、正面的情感體驗”，從而達成“情感態度與價值觀”目標.

課堂核心部分，需要教師深研教材，以蘇科版教材內容為主，對于章節中不合乎學生學情的內容可以做適當調整.學生在自主學習的基礎上，通過教師引導、動手實踐、主動探索與合作交流等方式構建新知，并獲得基本的數學活動經驗.教師要引導學生從已有的知識經驗中，生長新的知識經驗，完成新知建構過程.教師要精選典型例題，例題選擇要立足學情、立足教學目標中的核心目標，以蘇科版教材內容例題為第一選擇，之后根據學生學情選擇有一定思維含量的例題作為有益補充，以更好地達成教學目標.在學生獨立思考的基礎上，通過生生互動或師生互動，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.