初中數學函數應用題解題策略

鄒麗琴

摘 要：函數是初中數學的重難點，對學生的邏輯思維能力、抽象思維能力都提出了更高的要求.應用題是函數知識在現實中的應用，學生需要從實際問題中抽象出具體的函數問題，并運用相關的知識和技能進行求解.本論文就以此切入，分析了當前初中生在解答函數應用題時面臨的諸多障礙，接著結合具體的應用題，針對函數應用題的解題方式進行了詳細的探究，并據此調整課堂教學方案，循序漸進提升初中生的函數應用題解題能力.

關鍵詞：初中函數；應用題；解題策略；課堂教學

在最新的《義務教育數學課程標準》中，確定了函數是對現實世界數量關系進行刻畫的重要數學模型，旨在引導學生通過對變量之間的對應關系、變化規律的探究，掌握運用函數模型解決實際問題的方法，并從中感悟函數的應用價值.同時，鑒于函數的內涵，學生在對函數探究的過程中，也促進了數學思維能力的全面發展.在函數學習中，應用題是其重要組成，不僅涉及知識面廣，且與學生的實際生活密切相關，對初中生的基礎知識、思維能力均提出了更高的要求.鑒于此，全面加強函數應用題教學已成為一線教師關注的重點.

1 初中函數應用題解題要求與現狀分析

1.1 初中函數應用題解題要求

鑒于初中函數應用題的內涵，對初中生的解題提出了更高的要求：

首先，具備扎實的基礎知識.學生解答函數應用題目之前，必須要具備扎實的數學基礎知識，能夠將其串聯成為系統化的知識體系.明確一次函數、二次函數、反比例函數的基本概念、性質、函數圖象等.只有做到這一點，學生在解答函數應用題時，才能靈活運用基礎知識，從不同的角度進行切入，形成不同的解題思路.

其次，應具備極強的審題能力.鑒于函數應用題的內涵，學生在解題之前，必須要具備極強的審題能力，認真厘清題目中的已知條件，分析其中蘊含的數量關系，最終從現實問題中將函數關系抽象出來，進而運用相關的知識進行解答.

1.2 初中生函數應用題解答障礙

結合調查數據顯示，當前初中生函數應用題解題能力低下，暴露出諸多問題：

第一、審題能力低下，在題目閱讀理解中面臨諸多障礙.審題是解題的基礎與關鍵，直接決定了后續的函數應用題目解答.在調查中發現，多數學生在審題時，都存在不夠仔細、不夠全面的問題，甚至在讀題目時一發現有價值的線索，就慌忙進入到解題中；還有部分學生在審題時，還存在思路混亂、不夠清晰的現象，甚至難以在審題時發現知識點的內在聯系，無法運用所學的知識解答題目.

第二、粗心大意，對應用題目加工、處理不夠嚴謹.鑒于函數應用題的內涵，在解答題目時，學生必須要從現實中將數學問題抽象出來，以便于學生運用所學的知識進行靈活解答.但學生在實際解題中，部分學生常常因為粗心大意，對題目加工、處理比較淺顯，致使其在解題時常常出現化簡錯誤、解答錯誤、自變量取值范圍錯誤等，嚴重制約了初中生的函數應用題解答能力.

2 初中數學函數應用題常見解題方法探究

2.1 基于待定系數解答題目

待定系數法在初中函數應用題解答中尤為常見.通常，當函數應用題目在題設中明確了兩個變量值存在二次函數關系，以及具體存在的幾對變量值，并在此基礎上對函數解析式進行解答.此時，即可靈活運用待定系數法進行解答.

例1 超市中某種商品的進價為20元.經調查顯示，該商品每天的銷售量為ω臺，每天銷售單價是x元，已知ω滿足ω=-2x+80，假設該商品每天的銷售利潤為y元.

求：（1） x、y之間的函數關系式？

（2） 該商品銷售單價是多少時，每天可獲得最大利潤？最大利潤會達到多少？

（3） 在保證銷售量的基礎上，如果超市要想從該商品中獲得150元的利潤，則商品的銷售單價應確定為多少元？

解析：這是二次函數在實際生活中的應用，極具實際意義.學生在解答這一問題時，不僅要認真審題，理清其中的數量關系，還應靈活利用待定系數的方式，完成題目的求解：

（1） 結合該商品每天的銷售利潤、每天銷售的數量，即可得出x、y之間的函數關系式：y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600.

（2） 在這一問題解答中，應以上一問題為基礎，結合所求出的二次函數以及函數的圖象和性質，求出其最大利潤值與銷售的單價.因為y=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，結合二次函數的性質即可得出，當x=30時，y最大=200.

（3） 在求這一問題時，即可運用待定系數法，將y=150代入函數中，則有-2（x-30）2+200=150，求出對應的x值，x1=25，x2=35，又因為銷量ω=-2x+80，因此當x=25時，不僅可以達到最大的銷量，還可以保證每日的銷售利潤達到150元.

2.2 基于數量關系解答題目

函數應用題目與學生的實際生活緊密相連，常常置于實際生活情境中.鑒于此，在解決這一類函數應用題時，必須要認真分析題目內容，分析其中蘊含的數量關系，并基于此形成本題的解答思路.

例2 在建設“五個重慶”的項目中，為了給當地的居民構建一個宜居的環境，規劃修建了一個文化廣場（如圖1所示）.該廣場以ABCD作為矩形，分別以四條邊為直徑，向外做半圓.假設整個廣場的周長為628m，假設矩形的邊長AB為ym，BC為xm.

（1） 運用含有x的表達式將函數y表示出來.

（2） 根據計劃，在ABCD矩形內，種植花草鋪設鵝卵石，每平方米的造價為428元.在四個半圓之內種植花草鋪設花崗巖，每平方米的造價為400元.

① 假設工程費為W元，求關于x的函數關系式？

② 假設投入1000萬元的成本，是否能夠達到預期的建設目標？若可以請列出設計方案，若不能請說明理由.

解析：這一題目就以實際問題作為背景，理清題目中的數量關系，是解答這一問題的關鍵.針對（1）來說，可利用分割的方式，將本題目的圖形進行拼湊，之后運用圓的周長計算公式即可解答，即：根據題干中的已知條件得知：πy+πx=628，即：3.14y+3.14x=628，又因為x+y=200，所以y=200-x.

針對第（2）個問題來說，可結合圖形的特點，求出其鋪設的面積，即可獲得該工程的總造價.即：

W=428xy+400πy22+400πx22

=428x（200-x）+400×3.14×（200-x）24+400× 3.14×x24

=200x2-40000x+12560000.

之后，即可運用配方法求出最小值，并對結果進行驗證，即：將W=200（x-100）2+1.056×107＞107，因此假設不成立，投入1000萬元的成本，無法達到預期的建設目標.

2.3 構建模型解答題目

在解答函數應用題目時，可立足于數學模型的角度，運用函數的圖象與性質，以此打開解題的突破口.這一方式在日常解題中尤為常見，同時也對學生提出了更高的要求.

例3 如圖2所示，已知拋物線m：y=ax2+b（a＜0，b＞0），與x軸相交于A、B兩點，且A在B的左側，與y軸相交于C點.將該拋物線繞著B旋轉180°，即可獲得一個新的拋物線n，C1為頂點，并與x軸相交的另一點為A1.

求：（1） 當a=-1，b=1時，寫出拋物線n的解析式.

（2） 四邊形AC1A1C屬于哪一類的四邊形？判斷并說明理由.

（3） 假設四邊形AC1A1C為矩形，求解a、b滿足條件的關系式？

解析：本題目極具綜合性，對平行四邊形性質、矩形性質，以及函數知識進行了考察.在解答這一問題時，即可借助構建數學模型的思想，結合題目中的已知條件、相關圖形，據此利用函數的圖象與性質進行解答.

針對第（1）問來說，根據題干中的已知條件，先將a=-1，b=1代入，把拋物線m的解析式求出來，即：y=-x2+1，令x=0，則有y=1.

因為C點的坐標為（0，1），令y=0，則有x=±1.

又因為C1點和C點關于B點中心對稱，因此拋物線n的解析式為y=（x-2）2-1=x2-4x+3.

在解答第（2）問時，可從AA1、CC1分別關于B點中心對稱，因此即可得出AB=BA1，BC=BC1，因此四邊形AC1A1C屬于平行四邊形.

在解答第（3）問時，可依據矩形的性質，要想保證四邊形AC1A1C是矩形，則應滿足條件AB=BC，由此即可形成本題的解題思路：

令x=0，則y=b，因此C點的坐標為（0，b），

令y=0，即可得出ax2+b=0，所以x=±-ba.

即A點的坐標為--ba，0，B點的坐標為-ba，0.

因此AB=2-ba，BC=OC2+OB2=b2-ba.

要想使得四邊形AC1A1C是矩形，則必須要滿足AB=BC.

即：2-ba=b2-ba，經化簡得知4-ba=b2-ba，即ab=-3.

因此，要想得四邊形AC1A1C是矩形，則應滿足ab=-3.

2.4 基于分段處理解答問題

在函數應用題目中，常常會遇到一些特殊的題目，這些題目中所有的條件都是分段給出的，在針對這一類型的應用題目進行解答時，重點是確定出分段的臨界點，借助分段的形式，分別確定函數關系式，并借助“逐段求解、再取最值”的思路進行求解.

例4 某商品進行了為期30天的預售.已知該商品進貨的價格為20元，經過預售之后發現，每天的銷售量m和銷售時間x之間存在函數關系：m=-2x+80，x∈［1，30］，x為整數.在前20天之內，每一件商品的銷售價格n和銷售時間x之間的關系為n=x2+30，x∈［1，20］，x為整數.在之后的10天以內，每件商品的銷售價格k和銷售時間x之間的關系為k=45，x∈［21，30］，且x為整數.

求：（1） 該商品每天銷售利潤l和銷售時間x之間的關系式是什么？

（2） 在預售期內，哪一天的利潤最大？且最大利潤為多少？

解析：在本題目中，即可結合題目中所給出的已知條件，融入“分段處理”的思想，在各個定義域內，求出不同的函數解析式，進而結合函數圖象和性質進行針對性的解答.

在對第（1）問進行解答時，按照這一思路，結合x的定義域，得出不同定義域中的函數解析式，即：當x∈［1，20］時，每天銷售利潤l和x之間的解析式為：l1=（-2x+80）x2+30-20=-x2+20x+800，x為整數；當x∈［21，30］時，每天銷售利潤l和x之間的解析式為：l2=（-2x+80）（45-20）=-50x+2000，

因此，綜上所述，每天銷售利潤l和銷售時間x之間的關系式是：

l=-x2+20x+800（x∈［1，20］，且x為整數）

-50x+2000（x∈［21，30］，且x為整數）.

在解答第（2）問題時，必須要結合分段函數，結合不同函數的圖象和性質，求解最值并展開對比，最終得出最佳的答案.

當x∈［1，20］時，x為整數，l1=-x2+20x+800，由于該二次函數的對稱軸為x=10，且10在定義域之內，此時存在最大值，即：l最大=l（10）=900.

當x∈［21，30］時，x為整數，l2=-50x+2000，由于該函數屬于單調遞減函數，當x=21時，該函數存在最大值，即：l最大=l（21）=950.

綜上，當x=21時，每天銷售利潤l存在最大值，為950元.

3 基于函數應用題解題教學啟示

鑒于函數應用題解題的要求，以及不同的解題方法與思路，初中數學教師唯有據此調整課堂教學方案，借助針對性的函數教學，全面提升初中生的函數應用題解題能力.

首先，加強基礎知識教學.初中函數應用題目復雜多樣，學生在解題時常常出現混淆的現象.鑒于此，要想真正提升初中生的函數應用題目解題能力，學生唯有掌握扎實的基礎知識，才能奠定堅實的解題基礎.鑒于此，在日常教學中，不僅要重視基礎知識教學，還應幫助學生對其進行梳理，必要時可借助思維導圖這一工具，將函數知識整合到一起，使其形成系統化的知識體系，以便于學生形成清晰地知識架構.

其次，強化學生的審題能力.審題是解答函數應用題目的關鍵.尤其是針對函數應用題目來說，數學語言十分精練，并且極具抽象性，具備豐富的內涵.鑒于此，在日常解題教學中，應加強學生的審題教學，如：引導學生在閱讀中掌握主要概念，在審題中借助畫圖的方式明確題目的數量關系，在審題中通過頭腦進行轉換等.如此，經過一段時間訓練之后，學生的審題能力也隨之提升.

最后，強化學生的數學思維.在解答函數應用題目中，學生的思維至關重要.鑒于學生在解答函數應用題目中所需要的數學思想等，教師在日常教學中，應著重強化學生的解題思路，使其總結各種思想方法，最終在針對性的思維訓練中，逐漸形成一定的解題能力.

4 結束語

綜上所述，函數應用題在初中數學中尤為重要，也是考試的熱點和重難點.鑒于此，初中數學教師不僅要重視函數應用題教學，還應立足于學生在解答題目時面臨的障礙，結合不同類型的函數應用題，采用不同的解題方法，使得學生在日常學習中逐漸掌握基本的解題思路和技巧，循序漸進提升自身的數學解題能力.

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