“三角形”關鍵教學點的教學實施

胡鵬程 張弘

摘 要：本文以單元教學的視角，將初中階段三角形的教學分為三角形的再認識、圖形間的數量關系、特殊三角形三個子單元.根據教學的邏輯關系，確定出三角形每個子單元的關鍵教學點，并進一步給出教學建議，通過整體把握、連貫教學，促進學生形成三角形的良好認知結構.

關鍵詞：三角形；關鍵教學點；單元教學

三角形是一種基本的幾何圖形，是最簡單的封閉的直線型圖形.學生經歷三角形的系統學習，不僅可以形成研究平面幾何圖形的基本思路，還可以有效地促進其推理能力和幾何直觀的發展.初中數學教學中有著重要價值的核心教學內容稱為初中數學關鍵教學點［1］.本文，從單元教學的角度出發，闡述“三角形”中的關鍵教學點的確定與實施策略.

1 三角形概述

首先，初中階段，學生對幾何圖形的認識順序為基本幾何圖形（線與角），直線型圖形（三角形和四邊形），曲線型圖形（圓）；其次，對一個幾何圖形的研究，一般包括定義、性質、判定三個方面，并按照先一般再特殊的形式逐漸推進.從圖形結構上看，三角形是后續認識四邊形和圓的基礎，特別是在研究直線型圖形時，往往都通過割或補，將其轉化為三角形的問題予以解決；從幾何學習的角度看，對三角形研究的問題和研究的方法為四邊形和圓的學習提供了思路.兩個平面圖形之間的關系是指位置關系和數量關系，在數量關系方面，初中階段正是通過全等三角形和相似三角形的學習來說明對于兩個平面圖形的數量關系研究什么、如何研究；在位置關系方面，三角形是研究圖形的平移、軸對稱、旋轉的重要載體.

三角形的學習在發展學生的推理能力和幾何直觀方面有著積極意義.平行線的學習只要求簡單說理，是發展推理能力的起點；從三角形開始，平面幾何的學習，強調通過分析條件與結論之間的關系來完成推理論證.因此，三角形是發展推理能力的重要階段.幾何直觀需要更多的圖形性質與邏輯推理的支持［2］，三角形豐富的圖形性質，以及學習過程中所涉及的大量的邏輯推理成為發展學生幾何直觀的重要載體.

2 “三角形”的關鍵教學點的確定

2.1 教學分析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱義教課標）在“圖形的性質”和“圖形的變化”兩個主題中對三角形提出了21點內容要求，人教版初中數學教材（以下簡稱教材）又將這些內容要求具體分解到《三角形》《全等三角形》《軸對稱》《勾股定理》《相似》和《銳角三角函數》等章中.三角形在研究內容上有三角形自身固有的性質和圖形間的數量關系兩個方向，基于數學內容邏輯關系的視角，可將“三角形”劃分為三角形的再認識、圖形間的數量關系、特殊三角形三個子單元.

“三角形的再認識”子單元對應《三角形》和《銳角三角函數》的教學，“再認識”具體表現在學習內容和認識程度兩個維度.作為小學學習的順延，《三角形》研究了三角形三邊之間的關系和三角之間的關系，《銳角三角函數》研究三角形邊、角之間的關系，這些學習內容是小學階段所沒有的.學生在小學階段通過識別圖形（淡化特征）、概括關鍵特征的形式初步認識三角形，并通過對圖形的動手操作感知“三角形的內角和是180°”和“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，這都屬于感性的認識；初中階段則明顯上升到理性層面，學生從下定義、表示、分類三個方面理解三角形的概念，并按照先組成要素（邊和角），再相關要素（中線、高線、角平分線、外角）的順序系統地認識三角形，還對“三角形的內角和是180°”提出了證明的要求.

“圖形間的數量關系”子單元的教學通過《全等三角形》和《相似》來完成.初中階段重點研究兩個平面圖形間的數量關系是全等和相似.首先，三角形是最基本的幾何圖形；其次，全等是特殊的相似.因此，初中階段以三角形為例研究全等，讓學生經歷全等三角形的研究，并類比全等的學習研究兩個圖形的相似，以促進學生對兩個圖形之間的數量關系的理解.

“特殊三角形”子單元涉及《軸對稱》和《勾股定理》兩章.教材對幾何的編排，按照先一般再特殊的形式，等腰三角形和直角三角形是兩種特殊的三角形，它們除了具有一般三角形的所有性質外，還有很多特殊的性質.從對稱的角度研究等腰三角形可以直觀地、方便地得到等腰三角形的諸多性質，因此教材將等腰三角形的學習安排在《軸對稱》一章中；將《勾股定理》作為單獨一個章節，能凸顯勾股定理在直角三角形的諸多性質中的核心地位.

2.2 確定關鍵教學點

基于以上教學分析，筆者確定“三角形”的5個關鍵教學點，如下表.

3 “三角形”的關鍵教學點的教學建議

3.1 教學策略

3.1.1 幫助學生從實驗幾何向論證幾何過渡

雖然學生在小學階段已經由實驗操作獲得了“三角形的內角和是180°”，但該獲得只是一種感知，并非由推理論證得到.因此，義教課標提出在初中階段“探索并證明三角形內角和定理”的要求.由以往教學的經驗看，學生往往把在小學階段獲得的感知當作“基本事實”，既沒有意識到需要證明，也不知道該如何證明.“三角形內角和定理（第1課時）”應把教學目標設定為引導學生體會證明的必要性和添加輔助線的意義，以幫助學生從實驗幾何向論證幾何有序地過渡.

3.1.2 引導學生形成研究思路

《三角形》一章中已經分別研究了三角形三邊之間的數量關系和三角之間的數量關系，那么三角形邊、角之間是否存在數量關系？如果存在，該如何刻畫這種關系？“銳角三角函數（第1課時）”的教學應引導學生體會這種研究思路；《三角形》《軸對稱》《勾股定理》看似不相關的三個章節之間其實存在一條線索，那就是從一般三角形到特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的研究思路，因此，在教“等腰三角形（第1、2課時）”和“勾股定理（第1課時）”時應點明這條思路，而等腰三角形也是學生第一次經歷圖形特殊化的研究，這種經歷在后續的矩形、菱形、正方形不斷重復，并形成經驗；“三角形全等的判定（第1課時）”強調從整體到局部的研究思路，第1課時給出判定三角形全等的整體的研究思路，后續課時則對猜想命題逐一操作驗證.

3.1.3 引導學生感悟數學思想

數學學習的過程不僅要掌握知識，更要感悟其中蘊涵的思想方法.勾股定理被認為是平面幾何甚至數學中最重要的定理之一，不僅僅因為它反映了直角三角形三邊之間的數量關系，更重要的是，它搭建了數與形之間的一座橋梁，定理的證明以及應用中都蘊含著豐富的數學思想.因此，“勾股定理（第1課時）”這節課的教學應特別關注學生對數學思想的領悟.

3.2 具體實施

3.2.1 三角形的內角（第1課時）

本節課可以設計成回顧、生疑、解惑三個環節.回顧，即回顧小學剪拼三角形紙片的過程；生疑，是對操作的嚴謹性產生質疑，形成認知沖突；解惑，就是證明定理，也是整節課的重頭戲.這三個環節是關聯的并且是層層遞進的.回顧環節有兩個抽象，一是把三角形紙片抽象成數學圖形，二是從三個角拼成平角的過程中抽象出證明所需的輔助線.生疑環節具有承上啟下作用，先提出問題：“通過度量或剪拼所得到的結論可靠嗎？能說明任意三角形的內角和都是180°嗎？”在質疑的基礎上進一步提出解惑的需求.解惑環節，教師要關注示范和引導，示范如何根據命題畫示意圖，并寫出已知和求證，示范用數學符號語言進行嚴謹的推導；引導學生從剪拼過程中抽象出證明方法，引導學生對抽象出的證法深入思考，得到多樣性的，乃至一般化的證法.通過三個環節，讓學生體會證明的必要性、思考如何證明，可以有效地幫助學生從實驗幾何向論證幾何過渡，并在此過程中，讓學生感悟數學的邏輯性與嚴謹性，發展學生的推理能力［2］.

3.2.2 銳角三角函數（第1課時）

要想突破本課時的關鍵點，需要解決兩個問題：為什么要研究三角形邊和角之間的關系？怎么研究三角形邊和角之間的關系？

理清知識的邏輯關系，就不難理解研究三角形邊和角之間的關系的原因.教學時，教師可以先對知識進行如下梳理：“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.”指明了任意三角形三邊之間的關系（定性關系），“勾股定理”則進一步指出直角三角形三邊之間的數量關系（定量關系），“三角形內角和定理”反映了三角形三角之間的數量關系.此時再提出：“三角形的邊和角之間是否也存在數量關系？”便水到渠成了.

怎么研究三角形邊和角之間的關系呢？不妨按以下步驟實施教學：

（1） 讓學生回憶在之前的學習中是否遇到過涉及三角形邊和角的關系的問題？如果有，畫出示意圖，并說明.

學生不難想到直角三角形中熟悉的結論：在一個Rt△ABC中，∠C=90°，當∠A=30°時，∠A的對邊與斜邊的比值是12；當∠A=45°時，∠A的對邊與斜邊的比值是22.

（2） 讓學生對上述結論做一般化的猜想.

這是一個難點，需要先從上述結論中抽象出“∠A確定時，∠A的對邊與斜邊的比值是定值”，再得到一般化的猜想：在一個Rt△ABC中，∠C=90°，當∠A是任意銳角時，∠A的對邊與斜邊的比值都是定值.

3.2.3 三角形全等的判定（第1課時）

本課時的關鍵之處有兩個：一是形成判定三角形全等條件的整體的探究思路，二是提煉出學習判定定理的一致性的路徑.實際教學中，教師應引導學生獲得以下結論：（1） 利用定義當然可以判定兩個三角形全等，但三條邊對應相等，三個角對應相等的條件太強了，可以弱化；（2） 弱化條件，也就是在“三條邊對應相等，三個角對應相等”中選擇部分條件，簡捷地判定兩個三角形全等；（3） 列出圖1所示的探究思路；（4） 根據探究思路寫出所有的猜想命題；（5） 可以用舉反例的方法判定假命題，通過畫圖操作，驗證真命題，并形成每個判定定理的探究路徑（如圖2）.

3.2.4 等腰三角形（第1課時）

在一般三角形的基礎上用特殊化的視角分析、研究，得到“等邊對等角”和“三線合一”是“等腰三角形（第1課時）”的關鍵所在.

教學“等腰三角形（第1課時）”時，不妨提出以下幾個活動任務，讓學生開展項目化學習：

任務1：從一個一般三角形的紙片中，通過只剪一次的操作，得到一個等腰三角形.

驅動性問題：

（1） 你有幾種操作方法？如何判斷你所得到的三角形是等腰三角形？

（2） 你認為在“剪”的過程中，影響結果的關鍵步驟是什么？

任務2：探究等腰三角形的性質.

驅動性問題：

（1） 對于“等腰三角形的性質”，具體要研究什么？你認為以往幾何圖形性質的探究過程中的哪些經驗可以借鑒？

（2） 等腰三角形的組成要素和相關要素有哪些？

驅動性問題：

在“剪”的過程中，等腰三角形的哪些元素重合？從數量關系和位置關系兩個角度，你能得到關于等腰三角形性質的哪些猜想？

若條件允許，可以鼓勵學生從圖形的特殊化出發，進一步研究等邊三角形、直角三角形等幾何圖形的性質.

任務：對等腰三角形進一步特殊化.

驅動性問題：

（1） 你可以從哪些方面將等腰三角形進一步特殊化？

（2） 如果要研究特殊化后的等腰三角形的性質，你打算如何研究？請你設計一個研究方案.

3.2.5 勾股定理（第1課時）

滲透數學思想方法是勾股定理教學的一個重要價值，具體教學實施如下：

（1） 在推導定理的環節，先從等腰直角三角形入手，讓學生觀察、分析三邊平方之間的數量關系，然后提出問題：其他的直角三角形是否也有同樣的結論？指引學生猜想任意直角三角形三邊之間的數量關系，滲透特殊與一般的思想.

（2） 在練習鞏固的環節，設計以下練習：設直角三角形的兩直角邊長分別為a和b，斜邊長為c.① 若a=5，b=12，求c；② 若a=1，c=2，求b；③ 若b=15，c=25，求a.完成練習后，啟發學生從方程思想的角度分析：a2+b2=c2提供了a，b，c三個量之間的一個等量關系，進而抽象出“知2可求1”的結論.

（3） 在課堂小結環節，教師可以引導學生從內容和證明方法兩個方面感悟勾股定理中蘊含的數形結合的數學思想：從內容看，勾股定理建立直角三角形三邊之間的數量關系；從證明方法看，通過圖形的拼接、組合，利用圖形面積的等價關系證明定理，實現形與數的有機結合.

4 結語

義教課標要求“注重教學內容的結構化”.關鍵教學點是一個章節、甚至是一個領域的知識網絡結構中“結點”位置的課，抓住關鍵教學點也就抓住知識的聯系點、能力的提升點、素養的發展點，因此可以認為實施關鍵教學點正是對教學內容結構化的一種理解.整體視角下的“三角形”的教學，不僅有利于教師宏觀地理解數學、把握教材，也有助于學生形成良好的認知結構.學生在“三角形”中所習得的研究幾何圖形的基本問題和方法有助于他們學習后續四邊形、圓等不同幾何圖形時產生正遷移.

參考文獻：

［1］ 張弘，胡鵬程.素養觀下初中數學關鍵教學點的教學范式與思考［J］.福建教育，2023（15）：49-51.

［2］ 史寧中.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.