建構“生本”課堂，落實數學核心素養

［摘? 要］ 為了落實學生的數學核心素養，教師應以生為出發點，引導學生用數學思維思考問題，用數學方法解決問題，經歷數學探究過程，領悟數學本質，體驗數學思想方法. 在日常教學中，教師要認真研究教材、研究學生、研究教學，基于“三個理解”合理地設計、組織教學活動，以此提高學生自主學習能力，落實數學核心素養.

［關鍵詞］ 數學核心素養；三個理解；學習能力

作者簡介：施良結（1980—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作.

在新課改的推動下，數學課堂教學越來越關注學生學習能力和思維能力的發展，那么在教學中，具體應如何落實呢？筆者以“函數的極值”為例，談幾點看法.

分析學情，以學定教

1. 內容分析

本課研究的主要內容是極值概念，極值與導數的關系，以及求極值的方法和步驟. 在學習本課內容前，學生已經學習并掌握了導數概念，理解了應用導數研究函數單調性的方法，本課內容作為繼用導數研究函數單調性的又一應用，其在本章“導數”的教學中有重要價值，既是前面所學內容的延續與深化，又為后面利用導數研究可導函數做鋪墊.

在概念教學中，主要采用的是數形結合思想方法，讓學生親歷概念形成、發展和應用的過程，有效提高學生觀察、分析和歸納等數學思維能力，發展學生數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養.

2. 學情分析

對于高中生，他們具有一定的數學抽象、歸納、推理等能力，并掌握了數形結合、特殊到一般、一般到特殊等數學思想，加上本課學習前，學生已經學習了導數概念，研究了導數的幾何意義以及函數單調性與導數的關系，以上能力、方法、經驗為開展“以學為本”的教學活動提供了保障.

3. 教學目標

在充分研究學情后，確定本課教學目標如下：

（1）理解函數極值概念，掌握求函數極值的步驟與方法；

（2）體驗數形結合、歸納推理等思想方法的應用，理解數學研究方法；

（3）通過自主學習與合作探究相結合的方式，提升學生的學習能力和思維品質.

以學為本，依學而教

1. 巧借問題，引入概念

在課堂教學中，教師應從學生的實際出發，依據學情設計恰當的問題，以此提升課堂參與度，讓學習在思考和解決問題的過程中真正發生. 在本課教學前，教師對學生的已有知識、經驗、能力進行了系統分析，基于學情設計了相應問題.

師：根據已有經驗，請同學們思考下面這個問題：觀察下列函數的圖象，圖中各點有怎樣的共同特征？

生1：A，B，E，G分別在圖象某一段的最低位置，C，D，F分別在圖象某一段的最高位置.

師：觀察得很仔細. 通過觀察得到了“最高”“最低”的概念，那么這7個點具有怎樣的共同特征呢？（學生繼續觀察）

生2：它們兩側函數的單調性正好相反.

師：非常好，還有其他發現嗎？（學生不語）

師：觀察一下，過這些點的切線有怎樣的特點呢？（教師提示）

學生在草稿紙上積極操作，教師巡視并對個別學生進行指導.

生3：我發現這些切線與x軸平行，即切線的斜率為0.

師：真是一個非常棒的發現. 結合以上發現，請大家概括一下各點的共同特征. （教師鼓勵學生互動交流）

生4：我們小組將以上發現總結歸納為以下3點：①與附近的點相比，這些點要么是最低點，要么是最高點，與之對應的，這些點在一定的區間內，其函數值要么是最小值，要么是最大值；②這些點兩側的函數單調性正好相反；③過這些點的切線斜率為0.

師：總結得非常好！這些點的共同特征就是我們今天要研究的重點.在數學上，稱這樣的點為極值點，它們的函數值稱為函數的極值. （教師板書“函數的極值”）

接下來，在教師的引導和啟發下，學生又得到了極大值和極小值的概念. 教師組織學生思考、討論、表達，從而用簡潔、精準的數學語言給出了完整的極值概念.

設計意圖 借助“形”的直觀讓學生觀察各點在圖象中的特殊位置，引導學生總結歸納這些點的共同特征. 在問題的引領下，讓學生合作探究，既提升了課堂參與度，又培養了學生的直觀想象能力和抽象概括能力，發展了學生的數學核心素養.

教學思考 數學抽象能力不是與生俱來的，它的形成需要一個長期過程，需要建立在豐富的感知認識的基礎上. 在教學中，教師要為學生提供一些素材，引導學生去觀察、去分析、去提煉、去概括，從而抽象出對象的本質特征. 如在本課教學中，教師首先給出直觀的函數圖象，讓學生通過觀察、交流，發現圖象上這些點的共同特征. 另外，通過親身經歷概念的生成過程以及由特殊到一般的推理過程，有利于學生理解和記憶概念，有利于提升學生的學習能力.

2. 比較辨析，形成概念

在以上教學中，雖然學生親身經歷了概念的生成過程，但此時學生對概念的理解還是比較粗淺的. 因此，教師有必要創設一些比較辨析的活動，讓學生在活動中進一步理解概念的內涵，加速形成概念.

師：結合極值概念以及以前已學的函數，你能列舉幾個關于極值點的例子嗎？

教師鼓勵學生互動交流，學生很快就列舉出了許多熟悉的函數極值點的例子，課堂氣氛活躍.

師：圖5是函數y=f（x）的圖象，請指出函數y=f（x）的極大值和極小值.

結合函數的極值概念，學生快速就給出了答案.

師：剛剛大家回答得非常好，結合概念準確地給出了答案. 誰來說一說，你們是如何判斷橫坐標為a，h的兩點不是極值點的呢？

生5：因為無法判斷這兩點左右兩側的單調性是否相反.

生6：也不符合“過該點的切線斜率為0”這一條件. （生6補充道）

師：回答得非常準確，由此你得到了什么結論呢？

生7：函數在一個區間的端點處都不是極值點.

師：非常好，結合以上發現，對于函數的極值，你是否有了新的認識？

生8：函數的極值可以是一個或多個，不過區間端點處的函數值一定不是極值.

生9：函數的極大值和極小值沒有必然的聯系，在不同的區間范圍內，極大值可以小于極小值.

師：說得非常好！極值就如同生活，在某個階段我們可能會遇到低谷，但是只要我們有著必勝的信念就一定會觸底反彈，走向更為廣闊的天地，攀登人生一個又一個高峰.

設計意圖 為了讓學生完整、系統地理解概念，教師先讓學生列舉了一些實例，然后利用圖象深化對函數的極值的認識. 在歸納極值的特點時，教師“以生為本”，提高了學生的參與熱情，讓學生在自主交流和合作探究中體驗到了數學學習樂趣，提高了探究能力. 另外，在教學中，教師滲透德育，啟發學生正確地對待學習與生活，樹立正確的人生觀，不斷進取，勇攀高峰.

3. 拓展延伸，深化概念

數學知識具有較強的邏輯性，若想將知識學懂學透，就要跳出單一知識的束縛，著眼于全局，將相關的知識放在一個大的結構中，通過探尋新舊知識前后的聯系，將新知識納入已有認知結構中，以此豐富學生的原有認知體系，提高學生解決問題的能力. 函數的極值與前面所學的函數的導數、函數的單調性等知識息息相關，因此教師有必要通過一定的啟發和引導幫助學生將相關知識串聯起來，從而實現知識的深化和融合.

師：對于可導函數y=f（x），若在區間M上f′（x）>0，則f（x）在區間M上是增函數；反之，若f′（x）<0，則f（x）在區間M上是減函數. 對于這一性質，你感覺與函數的極值的哪個特點存在聯系呢？

學生齊聲答：極值點左右兩側函數的單調性是相反的.

師：很好，請大家利用以上5個函數圖象（圖1至圖5），思考并討論一下，兩者有什么關系呢？（教師預留時間讓學生充分交流討論）

生10：由函數的極值概念可知，極值點處的切線斜率為0，左右兩側函數的單調性相反，這個可以說明函數極值點左右兩側的導數值異號. 因此求函數極值點時，我們可以充分利用這一特點，先由f′（x）=0解出x的值，然后檢驗該點左右兩側的導數值是否異號，若異號則可以判斷該點為極值點.

師：總結得非常精彩！檢驗一定不能忘記，因為有些可導函數y=f（x），雖然滿足f′（x）=0，但是在x=x處卻無法取到極值. 如f（x）=x3，由f′（x）=0得x=0，而x=0不是函數f（x）=x3的極值點.（教師展示f（x）=x3的圖象，讓學生觀察、體驗）

接下來，教師引導學生利用表格總結歸納函數的極值與導數的關系（見表1），以此借助表格的直觀深化對知識的理解.

師：若圖5是y=f′（x）的圖象，你能指出函數y=f（x）的極大值和極小值嗎？

學生積極思考，教師巡視，發現有些學生理解y=f′（x）的圖象和y=f（x）的圖象時出現了干擾，未能順利地解決問題. 教師及時捕捉學生的困惑，啟發學生嘗試畫出y=f（x）的簡圖，由此通過對比異同順利地解決了問題.

設計意圖 探究函數的極值與導數的關系是本課的一個教學難點，為了幫助學生突破這個難點，教師從學生已有知識出發，充分利用數形結合的優勢，引導學生通過觀察、交流，理解并掌握了可導函數取得極值的必要條件和充分條件. 同時，反例的給出深化了學生對充分條件的理解. 另外，教師讓學生以表格的方式呈現函數的極值與導數的關系，不僅便于學生理解和記憶極值概念，而且培養了學生的數學抽象能力，有利于學生落實數學核心素養. ？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

4. 應用拓展，鞏固概念

通過由淺入深的逐層探究，學生已經理解并掌握了極值概念. 為了進一步鞏固極值概念，教師引入了一些練習，并借助概念的具體應用幫助學生積累解題經驗，促進舊知遷移和新知建構.

練習1：求函數f（x）=x3－4x+的極值.

練習2：求函數f（x）=x+的極值.

練習3：已知函數f（x）=x3+ax2－11x+a3在x=1處取到極值，求實數a的值.

練習4：已知函數f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處取到極值10，求實數a，b的值.

設計意圖 充分發揮練習題的示范功能，讓學生掌握解決此類問題的基本方法和步驟，規范書寫格式，培養思維的嚴謹性. 對于以上4道練習題，教師不需要一一講解，應預留一定的時間讓學生去思考、交流，通過練習、板演等活動充分呈現學生的思維過程，結合學生實際反饋調整教學節奏，以此提高教學的有效性.

5. 互動交流，升華概念

課堂教學不僅要讓學生理解知識，掌握技能，還要讓學生掌握數學研究方法，以此促進學生的可持續發展. 在教學中，教師要秉承“以生為本”的教學理念，通過循循善誘的引導，讓學生透過表面深刻地理解概念的內涵和外延，同時通過合理的整合讓學生把相似或相關的內容串聯起來，以此促進知識的內化. 為了便于學生深刻地理解知識，教師可以引導學生互動交流，充分發揮個體差異的優勢，通過不同思維的碰撞來豐富學生的認知體系，提高學生分析和解決問題的能力.

師：請大家談一談，通過本課學習，你有哪些收獲？

設計意圖 教師為學生提供了一個平等交流的舞臺，讓學生將學習中的所思、所悟、所想、所惑再次呈現出來，通過對所學內容的再次梳理形成清晰的知識脈絡，建構完善的認知體系，形成學習能力.

教學思考

在教學中，教師要秉承“以生為本”的教學理念，適時地提出問題，引導學生主動思考、交流，在問題分析和解決的過程中，有效提高學生的學習品質，發展學生的思維能力.

首先，教師要從教學實際出發，精心設計問題，創設教學情境，既要充分預設，又要合理對待生成，使學習真正發生. 教師作為課堂教學的組織者，要結合學生的已有基礎知識和經驗提出問題，既要讓學生“夠得著”，又要讓學生“跳一跳”. 基于最近發展區創設問題，誘發學生思考，讓學生真正參與到課堂中來，通過對問題的思考、分析、探索和解決來鞏固學生的“四基”，提升學生的“四能”.

其次，教師要重視學生自主學習能力和合作探究能力的培養，要為學生創造機會去觀察、去思考、去探索，充分調動學生的主觀能動性，讓學習變成一件主動、快樂的事. 當然，學生的“學”離不開教師適當的“導”，即教師要站在學生的角度提出問題，幫助學生分析問題、解決問題，通過適當的引導讓學生真正融于課堂，用自己的觀察力和思考力獲得真知.

再者，教師要重視知識、方法、經驗等內容的總結和歸納，關注數學思想方法的升華與體驗，引導學生關注問題的本質，掌握數學的研究方法，以此促進學生可持續發展.

總之，在教學中，教師要將學生的發展放在首位，精心設計教學活動，巧妙設計問題情境，為學生鋪設思維臺階，以此提高學生的學習能力，提升學生的數學核心素養.