探求函數(shù)對(duì)稱性質(zhì) 厘清函數(shù)解題思路

袁濤 陸婭君 張和平

［摘? 要］ 函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，而函數(shù)的對(duì)稱性作為函數(shù)的基本性質(zhì)之一，是學(xué)生理解和掌握函數(shù)知識(shí)的關(guān)鍵. 函數(shù)的對(duì)稱性是學(xué)生理解和感悟數(shù)學(xué)“對(duì)稱美”的載體，是數(shù)學(xué)之美的具體表現(xiàn)形式. 作為函數(shù)的重要性質(zhì)之一，函數(shù)對(duì)稱性的考查頻繁出現(xiàn)在歷年的高考真題中（如2021年全國文科甲卷、2018年全國文科新課標(biāo)Ⅲ卷、2016年全國Ⅱ卷等），理解和掌握函數(shù)對(duì)稱性的本質(zhì)是學(xué)生學(xué)好函數(shù)知識(shí)，獲得數(shù)學(xué)發(fā)展，提高數(shù)學(xué)成績的重要基礎(chǔ). 文章基于一道高考真題，分享研究者關(guān)于函數(shù)對(duì)稱性質(zhì)的探究和理解.

［關(guān)鍵詞］ 函數(shù)對(duì)稱性；解題思路；高考真題

基金項(xiàng)目：2021年凱里學(xué)院聯(lián)合培養(yǎng)研究生專項(xiàng)課題“問題驅(qū)動(dòng)下的高中數(shù)學(xué)探究性教學(xué)研究”（LHYJS2107）.

作者簡介：袁濤（1994—），貴州師范大學(xué)碩士研究生，從事數(shù)學(xué)教育研究工作.

通訊作者：張和平（1974—），博士，凱里學(xué)院理學(xué)院教授，從事數(shù)學(xué)教育與測(cè)量研究工作.

真題呈現(xiàn)與解析

（2018年全國文科新課標(biāo)Ⅲ卷第7題）下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=lnx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱的是

（? ）

A. y=ln（1－x） ???? B. y=ln（2－x）

C. y=ln（1+x） ????? D. y=ln（2+x）

分析 此題是關(guān)于函數(shù)圖象對(duì)稱的問題，可以直接根據(jù)函數(shù)圖象的平移和對(duì)稱變換求出結(jié)果，亦可根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法解出答案.

解法1 函數(shù)y=lnx的圖象與函數(shù)y=ln（－x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且所求函數(shù)的圖象需要與y=lnx的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，因此把函數(shù)y=ln（－x）的圖象向右平移兩個(gè)單位可得y=ln（2－x）的圖象，即為所求.

解法2 設(shè)Q（x，y）是所求函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)P（2－x，y）在函數(shù)y=lnx上，可得所求函數(shù)為y=ln（2－x）.

反思 在以上兩種解法的基礎(chǔ)上，還可以通過作出函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象的特點(diǎn)得出正確答案. 但無論采用何種解法，解答此題的關(guān)鍵都在于抓住函數(shù)圖象關(guān)于x=1對(duì)稱的本質(zhì)，只要由此入手求解，便不難得出正確答案. 如果將此題中的具體函數(shù)換成抽象函數(shù)進(jìn)行考查（如y=f（x）與y=f（2－x）的關(guān)系）又當(dāng)如何？至此引起了筆者對(duì)“函數(shù)對(duì)稱性質(zhì)”的思考.

結(jié)束語

數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的生長、數(shù)學(xué)能力的發(fā)展以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成. 在教學(xué)過程中，對(duì)于結(jié)論性的總結(jié)不應(yīng)是簡單告知與證明了事，而應(yīng)從本質(zhì)出發(fā)，講清知識(shí)來源，讓學(xué)生明白知識(shí)間并不是相互隔絕而是有緊密聯(lián)系的，是一個(gè)符合邏輯的知識(shí)體系. 如此，方能幫助學(xué)生梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，搭建新舊知識(shí)間的橋梁，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

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［3］ 劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修一（A版）［M］. 北京：人民教育出版社，2007.

［4］ 章建躍，李增滬. 普通高中教科書·數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（A版）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.