任憑遞推多變幻，奇偶分析煥精彩

周寧 林新建

［摘? 要］ 根據(jù)學(xué)生已有的解題經(jīng)驗，利用奇偶分析對2021年八省適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)第17題提出不同于標準答案的做法，引導(dǎo)學(xué)生解題時應(yīng)注意問題結(jié)構(gòu)特征的表達，以及本質(zhì)內(nèi)涵的認識，從真正理解數(shù)學(xué)問題的角度培養(yǎng)學(xué)生的解題活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)生的實踐能力.

［關(guān)鍵詞］ 遞推數(shù)列；奇偶分析；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

基金項目：福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度教改專項課題“基于核心素養(yǎng)的農(nóng)村校高中數(shù)學(xué)校本作業(yè)設(shè)計研究”（編號：Fjjgzx21-327；主持：周寧）.

作者簡介：周寧（1985—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育工作，曾榮獲福州市中小學(xué)教師技能大賽高中數(shù)學(xué)組一等獎.

2021年1月八省適應(yīng)性考試結(jié)束后，很多學(xué)生對第17題數(shù)列解答題的抱怨很大——認為難度很大，與解答題第一題的難度不匹配，不少教師也認為超綱超標． 筆者認真研讀這道題后，認為這道題具有很好的教學(xué)價值，值得深入研討． 筆者基于課標、高考真題的要求對這道題進行了溯源分析與解法探索，以期對今后的備考有所啟迪，敬請批評指正．

啟示及備考建議

從上述的分析可以看出，這類問題的解決方法實際上在歷年的高考真題中已有所體現(xiàn)，難度并沒有想象中那么大． 但是學(xué)生的解答效果很差，這就值得教師深思：在教學(xué)中存在什么問題？從這道題中可以吸取什么經(jīng)驗教訓(xùn)？

1. 抓住結(jié)構(gòu)表征，直觀解題方向

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，有的學(xué)生手足無措，無從下手，一個主要原因在于沒有理解這是什么數(shù)學(xué)問題． 要真正理解數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵在于對題設(shè)條件（包括隱含條件）和結(jié)論結(jié)構(gòu)特征的思考和聯(lián)想，架構(gòu)已有經(jīng)驗與待求問題之間的橋梁，將問題進行轉(zhuǎn)化并解決．

對于遞推數(shù)列，《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》指出，能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差（等比）關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題． 例1就是在奇偶分析中發(fā)現(xiàn)其中蘊含的等比數(shù)列，通過對等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化實現(xiàn)問題的解決，而這開啟成功解決的鑰匙就是把條件的結(jié)構(gòu)表征轉(zhuǎn)化為具有規(guī)律的數(shù)列． 那么奇偶分析法的結(jié)構(gòu)表征是什么呢？奇偶分析法就是分類討論思想在數(shù)列中體現(xiàn)的一種方式，因此當遞推關(guān)系式中含有符號數(shù)列（－1）n時，自然要對n分奇偶進行討論確定符號，而處理相間項的遞推式如a－a=4×3n-1時，可以從該遞推式中發(fā)現(xiàn)當n分奇偶時呈現(xiàn)的規(guī)律，然后利用奇偶分析法求解．

因此在解題教學(xué)中，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題，進行模型建構(gòu)，獲得策略性解決方法是非常有必要的．但這不是死記硬背，而應(yīng)當讓學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上獲得. 盡量鼓勵學(xué)生自己通過結(jié)構(gòu)特征建構(gòu)模型，在實踐過程中體會知識方法的產(chǎn)生與發(fā)展，形成良好的思維方式，從而提升學(xué)習(xí)能力．

2. 重視本質(zhì)內(nèi)涵，領(lǐng)悟思想方法

本題（例1）有一種聲音：用競賽中的特征根法很容易解決，但對普通高中生來說難度過大，因此作為高考題不合適. 實際上這種觀點是片面的．

高考中也曾出現(xiàn)過不少競賽改編的試題，但出題人的本意并非把競賽的知識方法納入平時的教學(xué)，因為這些改編題根據(jù)課標和教材要求的知識方法就可以解決，只要在教學(xué)中著眼于課標和教材，把知識講清楚，把方法講透徹，本質(zhì)弄明白，學(xué)生就不會出現(xiàn)面臨新的問題情境時束手無策的局面．

對于遞推數(shù)列問題，只要讓學(xué)生理解其本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化或構(gòu)造規(guī)律數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列等）進行求解，在這個方向的指引下結(jié)合構(gòu)造思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、方程思想等對遞推數(shù)列進行奇偶分析，自然有能力實現(xiàn)問題求解．只有深刻把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從數(shù)學(xué)思想方法的角度去理解方法的內(nèi)涵，學(xué)生才會自然地接受解題方法，發(fā)展解題思維，提升核心素養(yǎng)．