觀察結構特征 優化思維定式

［摘? 要］ 高考數學試題題目新，信息量大，指導性強.對高考試題的研究有利于指導中學數學教學，在日常教學中除了強調對基礎知識全面深刻理解和融會貫通運用外，還應關注解題方法和解題過程的優化，不斷提高學生分析問題和解決問題的能力.

［關鍵詞］ 數列；觀察探究；“四基四能”

作者簡介：張彬政（1976—），高級教師，四川省教書育人名師、四川省模范教師、四川省骨干教師、四川省鼎興名師工作室成員，受省政府、市政府、縣政府三級表彰，市委、市人民政府授予 “優秀教師”稱號. 在《數學教學通訊》《中小學數學》《數理化學習》《數理化解題研究》《語數外學習》《中學生數理化》《數學大世界》《中學生理科月刊》《招生考試報》等刊物上發表過論文35篇.

觀察是人們對周圍世界的客觀事物和現象，在自然條件下，按照客觀事物本身存在的實際情況，研究和確定它們的性質和關系的方法， 是一種很重要的思維活動.數學觀察則是對數學問題，在客觀情境下考察其數量關系及圖形性質的一種方法.通過觀察來搜集新材料，發現新事實，探索對象的本質，洞察出隱在深處的數量關系和圖象的性質以及問題間的內在聯系. 通過觀察來認識數學問題的本質、揭示數學規律、發現數學思想和方法. 數學觀察能開闊學生的思路，發展學生思維的靈活性，使數學知識結構和學生原有的數學認知結構建立起聯系，培養學生思維的靈活性、廣闊性與深刻性.

試題呈現

（2020年高考全國Ⅲ卷理數第17題）設數列｛ａ｝滿足a=3，a=3a－4n．

（1）計算a，a，猜想｛ａ｝的通項公式并加以證明；

（2）求數列｛2nan｝的前n項和S．

分析 第（1）問主要考查數列通項模型的簡單應用，屬于基礎題. 第（2）問是一個等差數列和等比數列之積求和的數學問題，可利用錯位相減法求解，屬于中檔題. 考查學生對基本知識的掌握程度及運用所學知識解決實際問題的能力. 體現了新課標對“知識了解”考查的要求：對知識有初步、感性認識，知道它是什么，按照一定程序和步驟進行模仿，在相關問題中能識別和認識它并加以應用.

觀察問題特征、直擊問題本質、優化思維定式

大千世界，千變萬化，數學問題亦如此，想憑借一種固定的方案，快速且準確地解決各種問題，肯定行不通. 這就要求學習者要有一雙善于發現問題的慧眼，能洞察問題的本質，并利用思維的敏捷性來舉一反三達到融會貫通的效果［1］. 從心理學的角度來看，認識一件事物的最初形式是感覺與知覺，觀察屬于知覺的高級形式. 觀察是集目的性、計劃性與持久性于一體的心理活動過程. 因此，加強新事物的觀察，是建構新知的最基本途徑，也是學生產生疑問并釋疑的基本前提. 數學觀察應根據學生的基礎、認知水平點撥思維.數學觀察探究什么？數學觀察探究的方向是什么？數學觀察探究的途徑是什么？怎樣做好數學觀察探究方法的收集與處理？學生在教師的引領下，以自己的方式、習慣、情感和認知規律去探索、去研究、去發現、去感悟、去理解，得出合理的結論和思考的方法，提高解題能力，提升學科素養.

由題目第（1）問可得2nan=（2n+1）2n，涉及數列求和. 數列求和常見的方法有分組轉化法、裂項相消法、錯位相減法. 分組轉化法求和的關鍵是將數列通項轉化為若干個數列通項的和或差；裂項相消法的基本思路是將通項拆分，產生相互抵消的項；錯位相減法主要用于求｛ａｎｂｎ｝的前ｎ項和，其中｛ａ｝，｛ｂ｝分別為等差數列和等比數列．

題目第（2）問歸類為求｛ａｎｂｎ｝的前n項和，其中｛ａ｝，｛ｂ｝分別為等差數列和等比數列，是典型的用錯位相減法求和例題. 但如果｛ｂ｝為等比數列，｛ａ｝不是等差數列呢？可先觀察探究以下問題，認識數學問題的本質，揭示數學規律，發現數學思想和方法，提升“四基”“四能”.

觀察探究1 ?求數列的前n項和.

觀察到分母為積這一特點，這是數列求和中的“積求和”典型例子，可采用裂項相消法將通項拆分，快速得出S=1－. 有人認為“積求和”，可以取對數求解，但是取對數對此題行不通. 這里為什么要裂項？觀察到分母是兩個相鄰自然數的乘積，只有通過裂項，才能相消求和.這題通過觀察式子的結構特征得出的基本經驗是“積求和，裂項相消”，那么“積求和，裂項相消”對“求｛ａｎｂｎ｝的前n項和，其中｛ａ｝，｛ｂ｝分別為等差數列和等比數列”這類題是否行得通呢？這可以通過裂項相消法達到目的，但不是所有的數列“積求和”都行，比如“求數列｛ｓｉｎ（ａｎｂｎ）｝的前ｎ項和，其中｛ａ｝，｛ｂ｝分別為等差數列和等比數列”．

觀察探究2 ?繼續求解題目第（2）問——求｛（2n+1）2n｝的前n項和.

結束語

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》規定數學的課程目標是：通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗；提高從數學角度發現和提出問題、分析和解決問題的能力. 因此，教師在教學中要教會學生通過觀察認識事物的本質以及知識間的相互關聯，把握數學本質，啟發思考，改進教學，讓學生樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神，不斷提高實踐能力，提升創新意識，利于“四基”強化和“四能”提升［4］.

參考文獻：

［1］ 張彬政. 學科核心素養理念下提升高中學生數學思維品質的教學策略［J］. 數學教學通訊，2022（04）：38-39.

［2］ 中華人民共和國教育部考試中心.《中國高考評價體系》［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 中華人民共和國教育部考試中心.《中國高考評價體系說明》［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［4］ 章建躍.高中數學教材落實核心素養的幾點思考［J］. 課程·教材·教法，2016，36（07）：44-49.