數學思想方法在高中數學解題中的應用

陳林

【摘要】從以往高中數學教學實踐效果來看，很多學生反映數學習題解答困難，數學成績難以實現質的飛躍.究其原因，與學生未能準確理解和掌握數學思想方法有一定的關系.本文從概述高中數學教學中滲透數學思想方法的必要性展開，著重分析和探討數學解題過程如何有效應用數學思想方法，并提出相關建議.

【關鍵詞】高中數學；數學解題；數學思想方法

高中數學教學中數學思想方法的理解和掌握是教學的重點，也是難點，與具體的知識點并列成為數學兩大“河流”.所以，為了能夠提高學生數學學科學習效果，增強學生數學知識水平及綜合能力，需要在數學解題中逐一指導學生理解和掌握數學思想方法.

1 概述

1.1 數學思想

數學思想是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果.它是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識.在數學知識學習或者數學問題解答的過程中，需要學習者形成正確的數學思維，才能夠形成正確的數學觀點，才能制定正確的學習或解題策略，有效地學習數學知識或者解決數學問題，達到事半功倍的效果.

1.2 高中數學教學中滲透數學思想方法的必要性

目前可應用的數學思想方法有多種，比如數形結合思想、類比思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想、方程思想、分類討論思想、不等式思想等，不同方法的應用特點不盡相同，所發揮的作用也有所不同.將數學思想方法恰當地應用于高中數學教學之中，不僅符合新課程改革的要求，還能夠幫助學生形成和強化數學思維，進而幫助學生養成主動學習能力、獨立思考能力等，促進學生全面發展.

對以往高中數學教學實踐情況予以分析，在傳統教學觀念影響下，課堂教學以教師講授知識為主，學生被動地接受知識，并未主動思考數學知識，更不要說靈活地運用數學知識解題，學生自主學習能力難以得到提升[1].數學學習的重點不僅是讓學生掌握，并有效地運用數學知識解題，還要求學生能夠產生數學思想，在面對不同類型數學題目時能夠靈活地運用數學思想方法，準確解題，同時參透數學學科本質，歸納總結，進一步完善自身知識體系及綜合能力.所以，無論是從促進學生全面發展的角度，還是從提高數學教學有效性的角度來講，數學教學中有效應用數學思想方法是非常必要的.

1.3 高中數學思想方法教學原則

高中數學教學中應合理且有效地應用數學思想方法，以便引導學生主動學習、思考及探究，提高個人知識水平、個人能力及個人素養等.但要想真正做到這一點，需要遵循以下原則.

其一，重視過程性.數學思想方法并不是游離在數學學習之外的另一種學習內容，它產生于數學理論知識與解題過程，不能單獨存在.所以，為了使數學思想方法在數學教學中充分發揮作用，首先需要教師正確認識到數學思想方法的應用價值，其次需要教師在組織學生學習數學知識、引導學生解答數學習題的過程中發現、認識、了解及總結數學思想方法，逐漸形成數學思想應用體系，使之能夠在自主學習或者獨立解題的過程中靈活應用數學思想方法，達到事半功倍的效果[2].

其二，重視反復性.幫助學生構建數學思想應用體系并非一朝一夕就能夠實現的，需要反復練習、反復總結、反復積累，如此才能夠達到融會貫通的狀態.基于此，數學教師在組織學生進行數學學習或者復習的過程中要為他們創造實踐鍛煉的機會.比如針對不同類型習題，要求學生運用不同數學思想方法進行思考與解答.這一過程中觀察學生解題實際情況，進而判斷他們是靈活地運用數學思想方法還是生搬硬套.如若后者，教師應注意了解學生數學學習的特點，遵循因材施教的原則，采取恰當的方式方法來指導學生.比如先指導學生解答生活化的數學習題，之后指導學生解決抽象性的數學習題，讓學生從“從具體到抽象”概括與總結數學思想方法，進而深刻理解數學思想方法.

2 數學思想方法在高中數學解題中的應用

2.1 不等式思想在高中數學解題中的應用

不等式思想就是高中數學教學中應掌握的重要思想之一.從歷年高考數學考查的重點來看，不等式思想考查的概率較高，比如提出最值數學習題、參數取值數學問題等.為了能夠讓學生真正理解不等式思想，在高中數學教學的過程中，教師應當注意了解學生的實際情況，比如知識掌握情況、認知程度、理解程度等，從循序漸進的原則來引導學生了解、認識及運用不等式思想.

2.2 分類討論思想在高中數學解題中的應用

高中數學教學中除不等式思想運用比較頻繁，分類討論思想的應用也是非常重要的，既能夠幫助學生強化數學知識，又能夠讓學生形成數學思維，增強問題解決能力.當然，要想真正做到這一點，需要教師深入研究教材，客觀地分析分類討論思想應用方向，進而結合學生的學習特點，合理地規劃設計數學習題，指導學生在解題的過程中歸納分類討論思想，加以吸收和內化.通常情況下數學中分類討論思想應用比較頻繁、廣泛，教師可以以此為切入點，具體設計參數習題、函數習題、不等式習題等[3].

例1 給出不等式（x+4a）（x－6a）2a+1>0（a為常數，a≠－12），分別解析a>0、a<0及a=0三種情況下，x的取值.

例1是一道典型的分類討論的習題，在學生解題的同時，教師應觀察學生解題情況，引導他們分類思考與討論，以便更加準確地解答問題.即：首先這是一道含有參數的不等式，參數a變化，會改變2a+1、4a、6a的取值.為了能夠更加詳細地解析此題，可將a分成四種情況，即a>0、a=0、－12

2.3 對稱思想在高中數學解題中的應用

增強學生數學習題解答能力，需要教師深入地研究教材及高考試題，準確地把握重點和難點知識，由此引申出典型習題及習題解答過程中形成的數學思想.進而觀察學生知識學習情況及習題解答情況，明確學生數學思想欠缺情況，進而在指導學生進行習題解答的過程中滲透數學思想方法，教授和培養學生.對于高中數學教學而言，對稱問題的考查頻率也較高，比如平面對稱、軸對稱或者中心對稱習題的提出.此種情況下，教師應將對稱思想方法運用到相關習題之中，讓學生逐漸了解、認識及總結反思對稱思想，幫助他們構建系統的思想應用體系.

2.4 數形結合思想在高中數學解題中的應用

數形結合思想應用是非常常見的，既能夠簡化教學內容，幫助學生更好地理解數學知識、掌握知識，又能夠輔助學生有效解題.所以，為了能夠提高高中學生解題能力，在高中數學教學中應指導學生利用數形結合思想進行解題，讓他們逐漸理解并且掌握數形結合思想，使之能夠在后續的學習之中有效運用這一數學思想方法，獲得良好的學習效果.

從本質上來講，數形結合思想就是將抽象的數學語言轉變化為直觀的圖形，讓學生能夠一目了然地理解題意，更容易判斷題目考查的知識點，進而結合相應的知識點來思考問題，探尋正確的解題思路，快速且準確地解題.

當然，要想使數形結合思想能夠充分發揮作用，教師在指導學生解題的過程中運用數形結合思想，需要注意以下幾點.首先，應當讓學生通過“數”與“形”的轉化，真正地理解題意，掌握已給條件及需要求解的問題，進而明確其中蘊含的邏輯關系；其次，應當通過分析題意來思考要考查的知識點，對知識點予以回顧；最后，利用知識點來探尋解題思路，進而有效解題[4].

例2? 給出方程式x+4－x－1=6，求解x.

在指導學生進行該習題解析的過程中，首先讓學生自行嘗試解題，學生可能直接對這一方程式進行求解，而在求解的過程中會遇到困難，導致他們不僅浪費時間，還難以準確解題.此時教師提點學生從繪畫函數y=x+4－x－1的圖象入手，之后求解y=6條件下x的取值；緊接著教師引導學生思考除了可以繪畫函數圖象求解，還通過繪畫何種圖形進行方程式求解，學生聯想到繪畫數軸，分析方程式的幾何意義，進而準確解答；最后，教師讓學生回顧數學習題解答過程，思考運用什么方法解答的習題，進而歸納總結數形結合思想，增強學生對數形結合思想的認識.

2.5 化歸與轉化思想在高中數學解題中的應用

常規情況下化歸思想在幾何問題、方程問題、運算問題等方面均有體現.無論是為了提高學生解題能力，還是為了提高學生數學成績，在高中數學教學的過程中教師都應當注重指導學生掌握化歸思想，讓學生能夠找到解決以上問題的訣竅，更加輕松且有效地解題，讓數學學習變得更輕松、更容易，增強學生數學學科學習的自信心.

當然，要想真正做到這一點，教師應當根據學生的學習特點，比如知識水平、學習能力、學習態度，遵循由淺入深的原則，為學生設計蘊含化歸思想的幾何習題、方程組習題及實數運算習題等，引導學生發現和認識化歸思想，即將一種形式的數學問題轉化為另一種形式，加以歸納總結，尋找正確的解題思路，進而準確且快速地解題.通過反復訓練、反復實踐，學生勢必能夠理解和掌握化歸思想方法.

2.6 函數與方程思想在高中數學解題中的應用

高中數學教學中，函數與方程思想貫穿始末，它是最基本的數學概念，也是非常有效的數學思想.所以，為了提高學生數學學科學習效果，增強他們的解題能力，在指導學生進行數學習題解答的過程中運用函數與方程思想是非常適合的.需要特別說明的是，為了使學生能夠準確理解和掌握該數學思想方法，需要教師先考查學生函數與方程相關知識掌握情況，發現學生存在的學習不足，有效地教授學生，夯實數學基礎.在此基礎上將函數與方程思想應用于數學習題之中，引導學生歸納總結數學思想，有利于學生構建完善的數學思想應用體系.

3 注意事項

但要想使數學思想方法充分發揮作用，在具體應用的過程中注意以下兩點.

其一，備課階段教師應當深入地研究教材，吃透教材，掌握其中所涉及的數學思想方法，比如數形結合思想、函數與方程思想等.在此基礎上結合學生的學情，巧妙地設計數學問題，設計考查知識點的數學習題及數學思想，那么后續組織學生進行習題解答的過程中，既能夠讓學生復習數學知識，又能引導學生歸納總結數學思想方法，增強對數學思想的認識與理解.

其二，數學教學的過程中，尤其是數學概念教學，應當引導學生推導數學概念形成過程，并且注重運用數學思想方法，讓學生在有效學習數學知識的同時，對數學思想方法有一定了解[5].

4 結語

無論是從理論還是從實踐的角度來講，數學思想方法應用于數學教學之中都是非常必要的，能夠切實有效地幫助學生解答問題，增強他們的解題能力.當然，要想真正做到這一點，需要教師了解不同類型習題所涉及的數學思想，進而合理地應用數學思想方法，指導學生有效解題的同時，幫助學生認識和掌握數學思想方法.

參考文獻：

[1]鄧斌.數學思想方法在高中數學解題中的應用[J].中學課程輔導（教學研究），2021（13）：115.

[2]韓沂霖.數學思想方法在高中數學解題中的應用探討[J].速讀（上旬），2019（3）：60.

[3]李紅玉.數學思想方法在高中數學解題中的應用[J].數學大世界（中旬版），2020（8）：68.

[4]汪成.數學思想方法在高中數學解題中的應用研究[J].中學生數理化（學習究），2021（11）：26-27.

[5]趙玉麟.數學思想方法在高中數學解題中的應用[J].新教育時代電子雜志（學生版），2019（17）：0104.