高中一年級第2試

一、選擇題

1．若sinα>0，sin2α<0，則tanα2的取值范圍是（）

（A）（-∞，+∞）.（B）（0，+∞）.

（C）（1，+∞）.（D）（0，1）.

2．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，若對任意的x滿足f（x-1）=f（x+7），且f（1）=2，則f（2017）-f（2016）的值是（）

（A）1.（B）-1.（C）2.（D）-2.

3．已知函數f（x）=2x+2b，-x-4b，x<1，x≥1，當b≠0時，有f（1-b）=f（1+b），則b的值是（）

圖1

（A）-35.（B）-37.

（C）37.（D）35.

4．如圖1，正方體ABCD＼|A1B1C1D1中，點O是正方形BCC1B1的中心，點E是AD的中點，則折線段C1OE在正方體6個面上的投影不可能的是（）

5．If the function f（x）=-5x-15x+1-a is an odd function， then the value of a is（）

（A）-5.（B）-1.（C）0.（D）5.

6．定義abcd=ad-bc，則當α∈0，π6時，函數f（α）=sinαcos2αcos2α-cosα的最大值是（）

（A）-1716.（B）-3+14.

（C）3-14.（D）116.

7．若定義在R上的函數f（x）滿足f（a+b）=f（a）+f（b）+2，其中a，b為任意實數，則（）

（A）f（x）+2是奇函數.

（B）f（x）+2是偶函數.

（C）f（x）-2是奇函數.

（D）f（x）-2是偶函數.

8．有以下命題：

①函數f（x）=sinx+3sinx在x∈（0，π）時的最小值是23；

②在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形或直角三角形；

③若正實數a，b，c滿足a>c且b>c，則

a1+a+b1+b>c1+c.

其中，正確的命題是（）

（A）①②③.（B）①②.（C）②③.（D）①③.

9．已知函數f（x）在［0，+∞）上是增函數，且g（x）=-f（|x|），若g（lgx）>g（1），則x的取值范圍是（）

（A）［1，10）.（B）110，+∞.

（C）110，10.（D）110，1∪（10，+∞）.

10．對實數x，y，定義運算*：

x*y=x，y，x-y≤1，x-y>1.

設函數f（a）=（a2-1）*（3a-a2），a∈R，若方程f（a）=b恰有兩個零點，則實數b的取值范圍是（）

（A）-∞，-74∪{-1}∪-34，2.

（B）-∞，-74∪-34，2.

（C）-∞，-74∪-34，2.

（D）-∞，-74∪{-1}∪-34，2.

二、填空題

11．已知x>0，

x+1x≥2，

x+4x2=x2+x2+4x2≥3，

x+27x3=x3+x3+x3+27x3≥4，

…，

由此可以推出x+mxn≥n+1（n∈N*），

則m的最小值是.

12．已知函數

f（x）=（x+2017）2+sin2017xx2+2017

的最大值和最小值分別為M，m，則

M+m=.

13．已知a2-12+12-a2+43=（23-a）b，則a2b2017=.

14．若函數

f（x）=|x+1|+|x-a|-2

的定義域為R，則實數a的取值范圍是.

15．已知實數a>0，a≠1.

命題p：y=loga（x2+1）在x∈（0，+∞）單調遞減；

命題q：x2-6x+4a2-12a+10=0有兩個實數解x1，x2，若x1<x2，則0<x1<1.

若“p∨q”為真，“p∧q”為假，則a的取值范圍是.

16．Sn is the sum of the first n items for the sequence of {an}. If Sn satisfies （n-1）Sn+1=（n+1）Sn（n∈N*），and a2=1，then the general formula of this sequence is an=（n∈N*）.

圖2

17．已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω>0，|φ|<π）的圖象的一部分如圖2所示，若A，B兩點的坐標分別為A196，1，B173，3，則φ=.

18．已知集合M={1，2，3，4，5，6}，P={a，b，c，d}，若PM，那么符合條件的集合P有個，所有符合條件的集合P中的元素之和是.

19．若f（x）=3x-4a+5x-a在［1，4］上單調遞減，則常數a的取值范圍是.

20．已知a=log643，b=lg2lg5，c=16log0.90.8，則a，b，c由小到大的排序是.

三、解答題

21．已知函數

f（x）=log2a+1［x2+（a-1）x+1］.

（1）若f（x）的定義域為R，求a的取值范圍；

（2）若f（x）的值域為R，求a的取值范圍.

22．已知函數f（x）=sinx4cosx+5（x∈R）.

（1）判斷f（x）的奇偶性；

（2）求f（x）的最大值和最小值，并求相應的x值.

23．已知各項都是正數的數列{an}中，Sn是其前n項和，且滿足2Sn=2a2n+an-1.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）已知數列{bn}中，b1=32，bn+1=b2n+bn-an2（n+1），求數列{bn}的通項公式.

參考答案

一、選擇題

1.因為sin2α<0，

即2sinαcosα<0，

又sinα>0，

所以cosα<0，

因此π2+2kπ<α<（2k+1）π，k∈Z，

于是π4+kπ<α2<π2+kπ，k∈Z，

從而tanα2>1.故選（C）.

2.在f（x-1）=f（x+7）中，用x+1代x，得f（x）=f（x+8），

故f（x）是以8為周期的周期函數.

又因為f（x）是定義在R上的奇函數，

所以f（0）=0，

因此f（2017）-f（2016）

=f（252×8+1）-f（252×8+0）

=f（1）-f（0）=2.故選（C）.

3.當b>0時，1-b<1，1+b>1，

所以由題設的函數，得

f（1-b）=2（1-b）+2b=2，

f（1+b）=-（1+b）-4b=-5b-1，

因題設f（1-b）=f（1+b），

所以-5b-1=2，

解得b=-35<0，

這與“b>0”矛盾；

當b<0時，1-b>1，1+b<1，

所以由題設的函數，得

f（1-b）=-（1-b）-4b=-3b-1，

f（1+b）=2（1+b）+2b=4b+2，

類似于前，有-3b-1=4b+2，

解得b=-37<0，故選（B）.

4.選項（A）是上、下面的投影，選項（B）是前、后面的投影，選項（C）是左、右面的投影，故選（D）.

5.由題設得

f（-x）=-f（x），

即-5-x-15-x+1-a=--5x-15x+1-a，

所以-（5-x+1）（5x+1-a）

=（5-x+1-a）（5x+1），

即-5+a·5-x-5x+1+a

=5+5-x+1-a·5x-a，

整理得（a-5）（5x+5-x+2）=0，

因為5x+5-x+2>0恒成立，

所以a-5=0，即a=5，故選（D）.

6.根據題設的定義，得

f（α）=sinαcos2αcos2α-cosα

=-sinαcosα-cos22α

=-12sin2α+sin22α-1

=sin2α-142-1716，

因為α∈0，π6，

所以2α∈0，π3，

因此sin2α∈0，32，

又32-14>14-0，

于是當sin2α=32時，f（α）取得最大值，為

-3+14，故選（B）.

7.令a=0，則

f（b）=f（0）+f（b）+2，

所以f（0）=-2.

令a=x，b=-x，則

f（0）=f（x）+f（-x）+2，

所以f（x）+f（-x）=-4，

于是f（x）的圖象關于（0，-2）對稱，

則f（x）+2的圖象關于（0，0）對稱，

故選（A）.

另解設g（x）=f（x）+2，

則g（a+b）=f（a+b）+2

=f（a）+f（b）+2+2

=g（a）+g（b）.

令a=0，則g（b）=g（0）+g（b），

所以g（0）=0.

令a=x，b=-x，則

g（0）=g（x）+g（-x）=0，

所以g（x）是奇函數，

故選（A）.

8.對于①，有

sinx+3sinx≥23（x∈（0，π）），

再由sinx的有界性知，上式取不到等號，所以①錯誤.

對于②，由sin2A=sin2B得

2A=2B，即A=B，

或2A=π-2B，即A+B=π2，

所以②正確.

對于③，因為a>c，a，c∈R*，

所以a+ac>c+ac，

即a1+a>c1+c，

同理b1+b>c1+c，

所以a1+a+b1+b>2c1+c>c1+c，

因此③正確.故選（C）.

9.易知函數f（|x|）是偶函數，

且在（-∞，0］上是減函數，

在［0，+∞）上是增函數，

所以函數g（x）也是偶函數，

且在（-∞，0］上是增函數，

在［0，+∞）上是減函數.

當lgx≥0時，由g（lgx）>g（1），得

lgx<1，解得1≤x<10.

當lgx<0時，由

g（lgx）>g（1）=g（-1），

得lgx>-1，解得110<x<1.

綜上，x的取值范圍是110，10.

故選（C）.

10.當a2-1-3a+a2≤1，

即-12≤a≤2時，

f（a）=a2-1∈［-1，3］，

且f-12=-34，

f（0）=-1，f（2）=3.

當a2-1-3a+a2>1，

即a<-12或a>2時，

f（a）=3a-a2∈（-∞，2），

且f-12=-74，f（2）=2，

由此可畫出f（a）的圖象，如圖3所示.

圖3

由圖象可知

b∈-∞，-74∪

{-1}∪-34，2，

故選（A）.

二、填空題

11.不難發現

1=11，4=22，27=32，…

2=1+1，3=2+1，4=3+1，…

所以m=n2，

顯然當m>n2時，x+mxn>n+1（n∈N*）恒成立，

所以m的最小值是nn.

12.將（x+2017）2展開，可知

f（x）=1+22017x+sin2017xx2+2017，

其中22017x+sin2017xx2+2017為奇函數，

所以22017x+sin2017xx2+2017的最大值與最小值之和為0.

因此M+m=2.

13.因為a2-12≥0，12-a2≥0，

所以a2=12，即a=±23.

當a=23時，左邊=43，右邊=0，顯然不成立，舍去.

當a=-23時，

左邊=43=右邊=43·b，

所以，必須b=1，

于是a2·b2017=12．

14.函數f（x）的定義域為R，等價于不等式|x+1|+|x-a|≥2恒成立，

即（|x+1|+|x-a|）min≥2，（*）

恒成立，

因為|x+1|+|x-a|

=|x+1|+|a-x|

≥|（x+1）+（a-x）|

=|a+1|，

所以，（*）式即|a+1|≥2，

解得a≤-3或a≥1，

故實數a的取值范圍是

（-∞，-3］∪［1，+∞）.

15.若命題p為真，則0<a<1.

若命題q為真，

令f（x）=x2-6a+4a2-12a+10，

則由題設，得

f（0）=4a2-12a+10>f（1）=1-6+4a2-12a+10<0

恒成立，

解得12<a<52.

又“p∨q”為真，“p∧q”為假，等價于

“p真q假”或“p假q真”，

即0<a<1，a≤12或a≥52，

或a>1，12<a<52，

所以a的取值范圍是

0<a≤12或1<a<52.

16.由（n-1）Sn+1=（n+1）Sn，得

Sn+1Sn=n+1n-1（n≥2），

所以S3S2·S4S3·…·SnSn-1

=31×42×…×n-2n-4×n-1n-3×nn-2，

因此SnS2=n（n-1）2.

將n=1代入（n-1）Sn+1=（n+1）Sn，得

a1=S1=0，

因為a2=1，

所以當n=2時，S2=a1+a2=1，

從而Sn=n（n-1）2（n≥2），

又S1=1×（1-1）2亦滿足上式，

所以Sn=n（n-1）2（n∈N*），

于是Sn-1=（n-1）（n-2）2（n≥2），

因此an=Sn-Sn-1

=n（n-1）2-（n-1）（n-2）2

=n-1（n≥2）.

又a1=1-1亦滿足上式，

所以an=n-1（n∈N*）.

17.因為點A在函數f（x）的圖象上，

所以f196=2sin19ω6+φ=1，

即sin19ω6+φ=12，

則19ω6+φ=2kπ+5π6（k∈Z）.①

又點B在函數f（x）圖象上，

所以f173=2sin17ω3+φ=3，

即sin17ω3+φ=32，

則17ω3+φ=2nπ+π3（n∈N）.

如圖4，點A所在的周期與點B所在的周期相差2個周期，所以

17ω3+φ=2kπ+4π+π3（k∈Z），②

由②-①，得5ω2=7π2，

圖4

解得ω=75π，

代入①式得

φ=2kπ-185π，

又|φ|<π，

所以φ=25π．

18.集合M中含2個元素的子集有15個：

{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，

{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，

{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，

那么這些集合的補集也有15個，每個均含4個元素，且這些集合中，有10個含元素“1”，有10個含元素“2”，…，即每個數字均出現10次，

故所有元素之和是

10×（1+2+3+4+5+6）=210.

19.因為f（x）=3x-4a+4x-a=3+5-ax-a，

所以f（x）的圖象是由反比例函數g（x）=5-ax按（a，3）平移而得.

因為g（x）=5-ax在［1，4］上單調遞減，

所以5-a>0，

即a<5.

圖5圖6

如圖5，若x∈［1，4］位于f（x）圖象的右支，

則a<1，

因此a<1.

如圖6，若x∈［1，4］位于f（x）圖象的左支，

則a>4，

因此4<a<5.

故常數a的取值范圍是

（-∞，1）∪（4，5）.

20.因為a=log643=16log23

>16log28=16log2232=14，

且a=log643<log644=13，

所以14<a<13.

因為lg2>0，lg5>0，

所以b=lg2lg5<lg2+lg522=14.

因為c=16log0.90.8>16log0.90.81=13，

所以c>13>a>14>b，

故b<a<c.

三、解答題

21.（1）要使函數

f（x）=log2a+1［x2+（a-1）x+1］

的定義域為R，需要x2+（a-1）x+1>0恒成立.

所以Δ=（a-1）2-4<0，

解得-1<a<3.

因為2a+1>0，且2a+1≠1，

所以a>-12，且a≠0.

綜上，a的取值范圍是

-12，0∪（0，3）.

（2）要使函數

f（x）=log2a+1［x2+（a-1）x+1］

的值域為R，需要函數

g（x）=x2+（a-1）x+1

的值域包含（0，+∞）.

所以Δ=（a-1）2-4≥0，

解得a≤-1，或a≥3.

因為a>-12，且a≠0，

所以a≥3.

22.（1）由f（x）+f（-x）=0，得

f（x）是奇函數.

（2）令t=4cosx+5（t∈［1，9］），

則cosx=t-54，

所以sin2x=1-cos2x

=1-t2-10t+2516

=-t2+10t-916.

因此（f（x））2=sin2x4cosx+5

=-t2+10t-916t

=-116t+9t+1016.

令g（t）=t+9t（t∈［1，9］），

則g（t）在t∈［1，3］時，單調遞減；

在t∈（3，9］時，單調遞增，

所以當t=3時，g（t）min6；

當t=1或t=9時，g（t）max=10，

即6≤g（t）≤10.

因此0≤（f（x））2≤14，

于是-12≤f（x）≤12，

故當cosx=-12，sinx=32，

即x=2π3+2kπ（k∈Z）時，

f（x）max=12；

當cosx=-12，sinx=-32，

即x=4π3+2kπ（k∈Z）時，

f（x）min=-12.

23.（1）因為2Sn=2a2n+an-1，①

所以2Sn+1=2a2n+1+an+1-1，②

由②-①，得

2an+1=2（a2n+1-a2n）+（an+1-an），

即2（a2n+1-a2n）-（an+1+an）=0，

因此（an+1+an）（2an+1-2an-1）=0，

因為an+1，an均為正數，

所以an+1+an>0，

于是2an+1-2an-1=0，

即an+1-an=12.

又因為當n=1時，

2S1=2a1=2a21+a1-1，

解得a1=1，或-12（舍去），

所以數列{an}是首項為1，公差為12的等差數列，

因此an=1+12（n-1）=n+12.

（2）因為an=n+12，

bn+1=b2n+bn-an2（n+1），

所以bn+1=b2n+bn-14，

即bn+1+12=bn+122.

又因為b1=32，

所以對于任意n∈N*，

bn+12>0，

因此log2bn+1+12=log2bn+122.

設cn=log2bn+12，

則cn+1=2cn，

又c1=log2b1+12=1，

所以{cn}是首項為1，公比為2的等比數列，

因此cn=2n-1.

于是bn+12=2cn=22n-1，

故bn=22n-1-12.